비네 방정식

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고전역학에서, 비네 방정식(Binet equation)은 주어진 퍼텐셜에 대한 이체 문제의 궤도에 대한 이차 비선형 상미분 방정식이다.

역사[편집]

프랑스의 수학자 자크 필리프 마리 비네(프랑스어: Jacques Philippe Marie Binet)가 유도하였다.[1]

정의[편집]

이체 문제는 일반적으로 환산 질량을 통해 일체 문제로 바꿀 수 있다. 즉, 일반적으로 다음과 같은 형태의 방정식을 얻는다.

\mu\ddot{\mathbf r}=F(r)\hat{\mathbf r}.

여기서 \mu환산 질량이고, \mathbf r은 입자의 위치, F(r)는 입자에 가해지는 이다. 각운동량 보존에 의하여, 일반적으로 \mathbf r은 각운동량에 수직인 평면에 국한된다. 이 2차원 공간에 극좌표 (r,\theta)를 잡자. 그렇다면 입자의 궤도는 r(\theta)의 꼴로 나타낼 수 있다.

도움변수 u(\theta)r의 역수로 정의하자.

u(\theta)=1/r(\theta).

그렇다면 u는 다음과 같은 미분 방정식을 만족한다. 이를 비네 방정식이라고 한다.

u''+u+\frac{\mu}{L^2u^2}F(1/u)=0.

여기서 L은 계의 (질량 중심으로부터의) 총 각운동량 L=\mu r^2\dot\theta이다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. Binet, J. (1831년). Mémoire sur la détermination des orbites des planètes et des comètes. 《Journal de l'École Polytechnique》 13: 249–288.