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해밀턴 역학 에서 좌표 변환에 쓰이는 함수에 관한 것입니다.
조합론 에서 쓰이는 생성함수(
generating function )에 대해서는
생성함수 (수학) 문서를 참고하십시오.
해밀턴 역학 에서 모함수 (母函數, generating function )는 두 개의 일반화 좌표 간의 정준변환 을 연결해주는 함수이다.
기존의 일반화 좌표
{
p
i
,
q
i
,
t
}
{\displaystyle \{p_{i},q_{i},t\}}
정준변환 에 의한 새로운 좌표
{
P
i
,
Q
i
,
t
}
{\displaystyle \{P_{i},Q_{i},t\}}
해밀턴 방정식 의 형태를 유지하려면 다음과 같은 형태의 해밀턴의 원리 를 만족하면 된다.
δ
∫
t
1
t
2
[
∑
i
P
i
Q
˙
i
−
H
^
(
P
i
,
Q
i
,
t
)
+
d
F
d
t
]
d
t
=
0
{\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\sum _{i}P_{i}{\dot {Q}}_{i}-{\hat {H}}(P_{i},Q_{i},t)+{dF \over dt}\right]dt=0}
여기서
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
해밀토니언 이고
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
경로 의 양 끝에만 관계된 값이 되고, 이는 변분 하면 없어지게 된다. 따라서, 최종적으로 얻는 해밀턴 방정식 은
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
모함수 라 한다.
그런데 좌표변환 관계식
Q
i
=
Q
i
(
p
i
,
q
i
,
t
)
{\displaystyle Q_{i}=Q_{i}(p_{i},q_{i},t)}
P
i
=
P
i
(
p
i
,
q
i
,
t
)
{\displaystyle P_{i}=P_{i}(p_{i},q_{i},t)}
에 의해 위의 식이 제약이 되기 때문에
F
{\displaystyle F}
{
q
i
,
Q
i
,
t
}
{\displaystyle \{q_{i},Q_{i},t\}}
{
q
i
,
P
i
,
t
}
{\displaystyle \{q_{i},P_{i},t\}}
{
p
i
,
Q
i
,
t
}
{\displaystyle \{p_{i},Q_{i},t\}}
{
p
i
,
P
i
,
t
}
{\displaystyle \{p_{i},P_{i},t\}}
기본적으로 다음과 같은 네 종류의 모함수가 있다.
종
모함수의 꼴
모함수의 미분
1종
F
=
F
1
(
q
i
,
Q
i
,
t
)
{\displaystyle F=F_{1}(q_{i},Q_{i},t)\,\!}
p
i
=
∂
F
1
∂
q
i
{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial F_{1}}{\partial q_{i}}}}
P
i
=
−
∂
F
1
∂
Q
i
{\displaystyle P_{i}=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q_{i}}}}
2종
F
=
F
2
(
q
i
,
P
i
,
t
)
−
Q
P
{\displaystyle F=F_{2}(q_{i},P_{i},t)-QP\,\!}
p
i
=
∂
F
2
∂
q
i
{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial F_{2}}{\partial q_{i}}}}
Q
i
=
∂
F
2
∂
P
i
{\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial F_{2}}{\partial P_{i}}}}
3종
F
=
F
3
(
p
i
,
Q
i
,
t
)
+
q
p
{\displaystyle F=F_{3}(p_{i},Q_{i},t)+qp\,\!}
q
i
=
−
∂
F
3
∂
p
i
{\displaystyle q_{i}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p_{i}}}}
P
i
=
−
∂
F
3
∂
Q
i
{\displaystyle P_{i}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q_{i}}}}
4종
F
=
F
4
(
p
i
,
P
i
,
t
)
+
q
p
−
Q
P
{\displaystyle F=F_{4}(p_{i},P_{i},t)+qp-QP\,\!}
q
i
=
−
∂
F
4
∂
p
i
{\displaystyle q_{i}=-{\frac {\partial F_{4}}{\partial p_{i}}}}
Q
i
=
∂
F
4
∂
P
i
{\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial F_{4}}{\partial P_{i}}}}
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![{\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\sum _{i}P_{i}{\dot {Q}}_{i}-{\hat {H}}(P_{i},Q_{i},t)+{dF \over dt}\right]dt=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd63d63a83f2ff61b7c295a64efe361b40df0d49)
