평행축 정리

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고전역학에서, 평행축 정리(平行軸定理, parallel-axis theorem)란 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트들 사이의 관계에 대한 정리다. 이 정리를 써서, 한 축에서의 관성 모멘트를 알면 이와 평행한 임의의 축에서의 관성 모멘트를 구할 수 있다.

스칼라 관성 모멘트에 대한 평행축 정리[편집]

를 질량중심을 통과하는 축에 대한 관성모멘트라 하고, 이 축에서 거리 만큼 평행이동된 축에 대한 새로운 관성모멘트를 , 강체의 질량을 이라 하자. 이 때, 스칼라 관성모멘트에 대한 평행축 정리는 다음과 같다.

증명[편집]

먼저 두 회전축은 모두 z축에 평행하다고 하자. 이 때, 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

질량 중심직교좌표계의 중심으로 놓고 xy평면 상에서 새로운 회전축의 좌표를 라 놓으면 피타고라스의 정리에 의해

이 되고, 새로운 관성 모멘트

이 된다. 3차원 물체의 경우, 위 두 관성 모멘트의 식에서 z에 대한 항이 나오지는 않지만 강체 전체의 관성 모멘트를 구하기 위해선 질량항과 합에서 이를 고려해야 함에 유의하자. 이제 위 식을 전개해보자.

이 식의 첫 번째 항은 에 해당하는 항이다. 두 번째 항과 세 번째 항의 경우, 원점을 질량중심으로 잡았기 때문에 0이 된다. 마지막 항의 합은 질량들을 전부 합한것이므로 이 된다. 따라서 아래의 평행축 정리를 얻는다.

점입자가 아닌 커다란 강체에 대해서도 합기호를 적분으로, 질량을 질량무한소로 바꾸면 똑같은 결과를 얻을 수 있다.

관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리[편집]

관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리도 위와 약간 유사하지만 조금 다른 형태를 가지고 있다. 질량 중심을 지나는 축에 대한 관성 모멘트 텐서를 , 새로운 관성 모멘트 텐서를 이라 하면 직교좌표계에서 이들의 성분에 대한 평행축 정리는 다음과 같다.

여기서 는 질량 중심으로부터 새로운 축을 가리키는 벡터이고 크로네커 델타이다.

증명[편집]

스칼라 관성 모멘트의 경우와 마찬가지로 질량 중심에 대한 회전축과 새로운 회전축이 평행하다 가정하고, 좌표로 이를 표현했을 때, 질량중심을 기준으로 하는 원래 좌표 로부터 만큼 평행이동한 새로운 좌표 , 즉, 새로운 좌표의 원점이 질량중심을 기준으로 한 좌표의 원점으로부터 만큼 이동된 곳에 원점을 두는 좌표라 하자. 이 때, 직교좌표계로 표현되는 새로운 좌표에서의 관성모멘트 텐서의 성분은 다음과 같다.

여기서 는 입자를 가리키는 지표, 는 좌표의 성분을 나타내는 지표이다. 여기에

를 대입하면

조금 복잡하지만 이를 전개하면

항이 많지만, 는 상수이고, 는 질량중심이 원점인 좌표이므로 에 관계없이

임을 활용하면 두 번째, 다섯 번째, 여섯 번째 항이 사라지고 몇 개의 항만이 남는다.

끼리, 끼리 정리하면

을 얻는다. 여기서 첫 번째 합의 경우, 가 되고 두 번째 항의 경우 과 관계없는 벡터이기 때문에 에 대한 합만이 되어 이부분은 전체 질량이 된다. 따라서 아래의 관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리를 얻는다.

참고문헌[편집]

  • Hugh D. Young; Roger A. Freedman (2004). 〈9.5 Parallel-Axis Theorem〉. 《Sears and Zemansky's University Physics: with Modern Physics》 11판. Addison Wesley. p. 345-6쪽. 
  • 문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 233-4쪽.
  • Eric Weisstein. “Parallel Axis Theorem”. 《Eric Weisstein's World of Physics》. 2008년 8월 18일에 확인함.