평행축 정리

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고전역학에서, 평행축 정리(平行軸定理, parallel-axis theorem)란 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트들 사이의 관계에 대한 정리다. 이 정리를 써서, 한 축에서의 관성 모멘트를 알면 이와 평행한 임의의 축에서의 관성 모멘트를 구할 수 있다.

스칼라 관성 모멘트에 대한 평행축 정리[편집]

를 질량중심을 통과하는 축에 대한 관성모멘트라 하고, 이 축에서 거리 만큼 평행이동된 축에 대한 새로운 관성모멘트를 , 강체의 질량을 이라 하자. 이 때, 스칼라 관성모멘트에 대한 평행축 정리는 다음과 같다.

증명[편집]

먼저 두 회전축은 모두 z축에 평행하다고 하자. 이 때, 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

질량 중심직교좌표계의 중심으로 놓고 xy평면 상에서 새로운 회전축의 좌표를 라 놓으면 피타고라스의 정리에 의해

이 되고, 새로운 관성 모멘트

이 된다. 3차원 물체의 경우, 위 두 관성 모멘트의 식에서 z에 대한 항이 나오지는 않지만 강체 전체의 관성 모멘트를 구하기 위해선 질량항과 합에서 이를 고려해야 함에 유의하자. 이제 위 식을 전개해보자.

이 식의 첫 번째 항은 에 해당하는 항이다. 두 번째 항과 세 번째 항의 경우, 원점을 질량중심으로 잡았기 때문에 0이 된다. 마지막 항의 합은 질량들을 전부 합한것이므로 이 된다. 따라서 아래의 평행축 정리를 얻는다.

점입자가 아닌 커다란 강체에 대해서도 합기호를 적분으로, 질량을 질량무한소로 바꾸면 똑같은 결과를 얻을 수 있다.

관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리[편집]

관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리도 위와 약간 유사하지만 조금 다른 형태를 가지고 있다. 질량 중심을 지나는 축에 대한 관성 모멘트 텐서를 , 새로운 관성 모멘트 텐서를 이라 하면 직교좌표계에서 이들의 성분에 대한 평행축 정리는 다음과 같다.

여기서 는 질량 중심으로부터 새로운 축을 가리키는 벡터이고 크로네커 델타이다.

증명[편집]

스칼라 관성 모멘트의 경우와 마찬가지로 질량 중심에 대한 회전축과 새로운 회전축이 평행하다 가정하고, 좌표로 이를 표현했을 때, 새로운 좌표 질량중심을 기준으로 하는 원래 좌표 로부터 만큼 평행이동한 좌표, 즉, 새로운 좌표의 원점이 질량중심을 기준으로 한 좌표의 원점으로부터 만큼 이동된 곳에 원점을 두는 좌표라 하자. 이 때, 직교좌표계로 표현되는 새로운 좌표에서의 관성모멘트 텐서의 성분은 다음과 같다.

여기서 는 입자를 가리키는 지표, 는 좌표의 성분을 나타내는 지표이다. 여기에

를 대입하면

조금 복잡하지만 이를 전개하면

항이 많지만, 는 상수이고, 는 질량중심이 원점인 좌표이므로 에 관계없이

임을 활용하면 두 번째, 다섯 번째, 여섯 번째 항이 사라지고 몇 개의 항만이 남는다.

끼리, 끼리 정리하면

을 얻는다. 여기서 첫 번째 합의 경우, 가 되고 두 번째 항의 경우 과 관계없는 벡터이기 때문에 에 대한 합만이 되어 이부분은 전체 질량이 된다. 따라서 아래의 관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리를 얻는다.

참고문헌[편집]

  • Hugh D. Young; Roger A. Freedman (2004). 〈9.5 Parallel-Axis Theorem〉. 《Sears and Zemansky's University Physics: with Modern Physics》 11판. Addison Wesley. p. 345-6쪽. 
  • 문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 233-4쪽.
  • Eric Weisstein. “Parallel Axis Theorem”. 《Eric Weisstein's World of Physics》. 2008년 8월 18일에 확인함.