평행축 정리

고전역학에서 평행축 정리(平行軸定理, parallel-axis theorem)란 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트들 사이의 관계에 대한 정리다. 이 정리를 써서, 한 축에서의 관성 모멘트를 알면 이와 평행한 임의의 축에서의 관성 모멘트를 구할 수 있다.

스칼라 관성 모멘트에 대한 평행축 정리

$I_{\textrm {cm}}$를 질량중심을 통과하는 축에 대한 관성모멘트라 하고, 이 축에서 거리 $d$만큼 평행이동된 축에 대한 새로운 관성모멘트를 $I$, 강체의 질량을 $m$이라 하자. 이 때, 스칼라 관성모멘트에 대한 평행축 정리는 다음과 같다.

$I=I_{\textrm {cm}}+md^{2}$

증명

먼저 두 회전축은 모두 z축에 평행하다고 하자. 이 때, $I_{\textrm {cm}}$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$I_{\textrm {cm}}=\sum _{i}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)$

질량 중심을 직교좌표계의 중심으로 놓고 xy평면 상에서 새로운 회전축의 좌표를 $(a,b)$라 놓으면 피타고라스의 정리에 의해

$d^{2}=a^{2}+b^{2}$

이 되고, 새로운 관성 모멘트 $I$는

$I=\sum _{i}m_{i}\left[(x_{i}-a)^{2}+(y_{i}-b)^{2}\right]$

이 된다. 3차원 물체의 경우, 위 두 관성 모멘트의 식에서 z에 대한 항이 나오지는 않지만 강체 전체의 관성 모멘트를 구하기 위해선 질량항과 합에서 이를 고려해야 함에 유의하자. 이제 위 식을 전개해보자.

$I=\sum _{i}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)-2a\sum _{i}m_{i}x_{i}-2b\sum _{i}m_{i}y_{i}+\left(a^{2}+b^{2}\right)\sum _{i}m_{i}$

이 식의 첫 번째 항은 $I_{\textrm {cm}}$에 해당하는 항이다. 두 번째 항과 세 번째 항의 경우, 원점을 질량중심으로 잡았기 때문에 0이 된다. 마지막 항의 합은 질량들을 전부 합한 것이므로 $m$이 된다. 따라서 아래의 평행축 정리를 얻는다.

$I=I_{\textrm {cm}}+md^{2}$

점입자가 아닌 커다란 강체에 대해서도 시그마를 인테그랄로, 질량을 질량무한소로 바꾸면 똑같은 결과를 얻을 수 있다.

관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리

관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리도 위와 약간 유사하지만 조금 다른 형태를 가지고 있다. 질량 중심을 지나는 축에 대한 관성 모멘트 텐서를 $\mathbf {I}$, 새로운 관성 모멘트 텐서를 $\mathbf {I} '$이라 하면 직교좌표계에서 이들의 성분에 대한 평행축 정리는 다음과 같다.

$I'_{ij}=I_{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j})$

여기서 $\mathbf {a}$는 질량 중심으로부터 새로운 축을 가리키는 벡터이고 $\delta _{ij}$는 크로네커 델타이다.

증명

스칼라 관성 모멘트의 경우와 마찬가지로 질량 중심에 대한 회전축과 새로운 회전축이 평행하다 가정하고, 좌표로 이를 표현했을 때, 질량중심을 기준으로 하는 원래 좌표 $O$로부터 $\mathbf {a}$만큼 평행이동한 새로운 좌표 $O'$, 즉, 새로운 좌표의 원점이 질량중심을 기준으로 한 좌표의 원점으로부터 $\mathbf {a}$만큼 이동된 곳에 원점을 두는 좌표라 하자. 이 때, 직교좌표계로 표현되는 새로운 좌표에서의 관성모멘트 텐서의 성분은 다음과 같다.

$I'_{ij}=\sum _{n}m_{n}\left(|\mathbf {r} '_{n}|^{2}\delta _{ij}-r'_{ni}r'_{nj}\right)$

여기서 $n$는 입자를 가리키는 지표, $i$와 $j$는 좌표의 성분을 나타내는 지표이다. 여기에

$\mathbf {r} '_{n}=\mathbf {r} _{n}-\mathbf {a}$

를 대입하면

$I'_{ij}=\sum _{n}m_{n}\left[|\mathbf {r} _{n}-\mathbf {a} |^{2}\delta _{ij}-\left(r_{ni}-a_{i}\right)\left(r_{nj}-a_{j}\right)\right]$

조금 복잡하지만 이를 전개하면

$I'_{ij}=\sum _{n}m_{n}\left[\left(|\mathbf {r} _{n}|^{2}-2\mathbf {r} _{n}\cdot \mathbf {a} +|\mathbf {a} |^{2}\right)\delta _{ij}-\left(r_{ni}r_{nj}-r_{ni}a_{j}-r_{nj}a_{i}+a_{i}a_{j}\right)\right]$

항이 많지만, $\mathbf {a}$는 상수이고, $O$는 질량중심이 원점인 좌표이므로 $i$에 관계없이

$\sum _{n}m_{n}r_{ni}=0$

임을 활용하면 두 번째, 다섯 번째, 여섯 번째 항이 사라지고 몇 개의 항만이 남는다.

$I'_{ij}=\sum _{n}m_{n}\left[\left(|\mathbf {r} _{n}|^{2}+|\mathbf {a} |^{2}\right)\delta _{ij}-\left(r_{ni}r_{nj}+a_{i}a_{j}\right)\right]$

$\mathbf {r}$은 $\mathbf {r}$끼리, $\mathbf {a}$는 $\mathbf {a}$끼리 정리하면

$I'_{ij}=\sum _{n}m_{n}\left(|\mathbf {r} _{n}|^{2}\delta _{ij}-r_{ni}r_{nj}\right)-\sum _{n}m_{n}\left(|\mathbf {a} |^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j}\right)$

을 얻는다. 여기서 첫 번째 합의 경우, $I_{ij}$가 되고 두 번째 항의 경우 $\mathbf {a}$는 $n$과 관계없는 벡터이기 때문에 $m_{n}$에 대한 합만이 되어 이부분은 전체 질량이 된다. 따라서 아래의 관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리를 얻는다.

$I'_{ij}=I_{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j})$

참고 문헌

• Hugh D. Young; Roger A. Freedman (2004). 〈9.5 Parallel-Axis Theorem〉. 《Sears and Zemansky's University Physics: with Modern Physics》 11판. Addison Wesley. p. 345-6쪽.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• 문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 233-4쪽.
• Eric Weisstein. “Parallel Axis Theorem”. 《Eric Weisstein's World of Physics》. 2008년 8월 18일에 확인함.