각가속도

각가속도(角加速度)는 시간에 대한 각속도의 변화율이다. 각가속도의 단위는 SI 단위로 라디안 매 초 제곱(rad/s²)이고, 통상적으로 그리스 문자 알파 ( ${\alpha }\,$ )로 표시한다.

수학적 정의

각가속도는 다음과 같이 정의할 수 있다.

{\alpha }={\frac {d{\omega }}{dt}}={\frac {d^{2}{\theta }}{dt^{2}}}

, 또는

{\alpha }={\frac {\mathbf {a} _{T}}{r}}

,

여기서 ${\omega }$ 는 각속도, $\mathbf {a} _{T}$ 는 접선방향의 가속도이며 r은 곡률 반경이다.

원운동에서 돌림힘과 각가속도 사이의 관계를 설명하기 위해서, 뉴턴의 제2법칙을 적용할 수 있다.

{\tau }=I\ {\alpha }

,

여기서 ${\tau }$ 는 물체에 작용하는 돌림힘의 총합이고, $I$ 는 관성 모멘트이다.

물체 작용하는 돌림힘 ${\tau }$ 가 일정하면, 각가속도 역시 일정하게 된다. 이러한 경우, 위의 식을 적용하면 다음과 같이 상수인 각가속도를 구할 수 있다.

{\alpha }={\frac {\tau }{I}}

.

일정하지 않은 돌림힘이 작용하는 경우, 물체의 각가속도는 시간에 따라 변화한다. 따라서 위의 식은 상수가 아닌 미분방정식의 형태를 띠게 된다. 이 미분방정식이 이른바 계의 운동방정식이고, 물체의 운동을 완벽하게 설명할 수 있다.

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