적분가능계

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수학물리학에서, 적분가능계(積分可能系, 영어: integrable system) 또는 가적계(可積系) 또는 가적분계(可積分系)는 대략 무한한 수의 운동 상수들이 존재하여, 완전히 풀 수 있는 를 뜻한다.[1][2] 여러 가지 정의가 있으나, 고전역학적 계의 경우 보통 리우빌 적분가능성(영어: Liouville integrability)을 의미한다.

리우빌 적분가능성[편집]

리우빌 적분가능성은 해밀턴 계가 가질 수 있는 한 성질이다. (M,\omega,H)가 해밀턴 계라고 하고, M이 유한 차원이라고 하자. 만약 이 계가 (H 자체를 포함한) (\dim M)/2개의 선형독립 운동 상수(또는 운동 적분(영어: integrals of motion)) F_i를 가진다면, 이 계를 리우빌 적분가능(Liouville積分可能, 영어: Liouville integrable)이라고 한다. 만약 이 계가 (\dim M)/2개를 초과하는 선형독립 운동 상수들을 가진다면, 이 계를 초적분가능(超積分可能, 영어: superintegrable)이라고 한다.

만약 이 계가 (\dim M)-1개의 선형독립 운동 상수들을 가진다면, 이 계를 최대 초적분가능(最大超積分可能, 영어: maximally superintegrable)이라고 한다. 정적이지 않은 계는 \dim M개 이상의 선형독립 운동 상수들을 가질 수 없는데, 이는 초기 조건이 \dim M개 있고, 초기 시간은 운동 상수에 의하여 결정되지 않기 때문이다.

작용각 좌표[편집]

(리우빌) 적분가능계의 경우, 작용각 좌표(作用角座標, 영어: action–angle coordinates)라는 좌표들이 존재한다. 적분가능계 (M,\omega) (\dim M=2m)가 m개의 운동 상수들을 가진다고 하자. 운동 상수들은 함수 I\colon M\to B로 나타낼 수 있다. 여기서 Bm차원 미분다양체다. 즉, MB 위의 올다발을 이룬다. b\in B에 대하여, 올 I^{-1}(b)=M_b\subset MM라그랑주 부분다양체(Lagrangian submanifold)를 이룬다. 즉, \omega^{-1}B로의 (영어: pushforward)은 0이다.

0=I_*(\omega^{-1}) 만약 T_b콤팩트 연결공간이라면, T_bm차원 원환면미분동형이며, 이를 리우빌 원환면(영어: Liouville torus)이라고 한다.

MB의 국소좌표 J^i와, 이에 대한 정준 켤레 좌표인 M_b의 국소좌표 w_i로 좌표를 잡을 수 있다. 이를 작용각 좌표라고 한다. 여기서 J^i작용 좌표(영어: action coordinate), w_i각 좌표(영어: angle coordinate)다.

적분가능계의 예[편집]

고전역학에서의 적분가능계[편집]

위상 공간이 유한 차원인 적분가능 고전역학계들은 다음과 같은 예들이 있다. 위상 공간이 2차원인 경우에는 (해밀토니언운동 상수이므로) 자동적으로 적분가능하다. 위상 공간이 4차원 이상인 경우에는 적분불가능한 계들이 존재한다.

조화 진동자[편집]

n차원 조화 진동자. 3차원 조화 진동자는 사실 최대 초적분가능계인데, 이는 에너지각운동량 이외에도 프래드킨 텐서(영어: Fradkin tensor)[3]라는 운동 상수가 존재하기 때문이다.

다체 문제[편집]

케플러 문제(영어: Kepler problem, 역제곱힘 이체 문제). 이는 사실 최대 초적분가능계이다. 이는 (이체 문제를 일체 문제로 변형시키면) 6차원 위상 공간에 정의돼 있지만, 그 운동 상수는 총 5개이기 때문이다. (이들은 에너지 E, 각운동량 \mathbf L, 라플라스-룽게-렌츠 벡터 \mathbf A이며, 이들 사이에는 \mathbf A\cdot\mathbf L=0, A^2=m^2k^2+2mEL 두 개의 관계가 존재한다.)

역제곱힘 V(r)\propto1/r은 3체 이상의 경우 적분가능하지 않지만, 역세제곱힘 V(r)\propto1/r^2는 임의의 수의 입자에 대하여 적분가능하다. 이는 칼로제로-모저(Calogero–Moser) 모형[4][5]의 특수한 경우다. 이 밖에도, 이를 변형한 칼로제로-서덜런드(Calogero–Sutherland) 모형[6] 등이 있다.

강체[편집]

강체의 경우에는 라그랑주 팽이, 오일러 팽이, 코발렙스카야 팽이(Kovalevskaya Top)[7] 세 개의 적분가능모형이 존재한다. 다른 강체들은 일반적으로 적분가능하지 않다.

적분가능 2·3차원 장론[편집]

수면파를 나타내는 장론들은 적분가능계인 경우가 많다. 이들은 솔리톤(안정된 수면파)을 포함한다.

페르미온을 포함한 적분가능계와, 이들을 보손화하여 얻어지는 적분가능계들은 다음과 같다.

또한, 모든 2차원 등각 장론들은 무한한 등각 대칭으로 인해 적분가능계이다. 대표적으로 다음이 있다.

격자 모형[편집]

강자성을 나타내는 모형인 스핀 사슬(영어: spin chain)들은 다음이 있다. 이들은 상전이 근처에서 등각 장론(보통 최소 모형)을 이룬다.

이 밖에도, 도다 격자는 연속적인 변수를 가지므로 스핀 사슬이 아니지만, 1차원 결정 격자의 진동을 나타내는 적분가능계이다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Babelon, Olivier, Denis Bernard, Michel Talon (2007년 2월). 《Introduction to Classical Integrable Systems》, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511535024. ISBN 978-0521822671
  2. (영어) Arnold, V.I. (1997). 《Mathematical Methods of Classical Mechanics》, 2판, Springer. ISBN 978-0-387-96890-2
  3. (영어) Fradkin, D. M. (1965년 3월). Three-dimensional isotropic harmonic oscillator and SU3. 《American Journal of Physics》 33 (3): 207–211. doi:10.1119/1.1971373. Bibcode1965AmJPh..33..207F. ISSN 0002-9505.
  4. Etingof, Pavel. Lectures on Calogero–Moser systems. arXiv:math/0606233.
  5. Calogero, Francesco (2008년). Calogero–Moser system. 《Scholarpedia》 3 (8): 7216. doi:10.4249/scholarpedia.7216.
  6. A lecture on the Calogero–Sutherland models. arXiv:hep-th/9405104.
  7. Kovalevskaya top — an elementary approach. arXiv:math-ph/0111025. doi:10.1023/A:1015416529917. ISSN 0040-5779.
  8. Theory and applications of the sine-Gordon equation. doi:10.1007/BF02820622.
  9. (한국어) 안창림 (2006년). 《양자 사인-고든 모형》. 서울: 이화여자대학교출판부. ISBN 9788973006687
  10. Recent developments in affine Toda field theory. arXiv:hep-th/9412213. Bibcode1994hep.th...12213C.
  11. . arXiv:hep-th/0402009.
  12. . arXiv:hep-th/0104158.
  13. (영어) A spin chain primer. arXiv:hep-th/9810032. doi:10.1142/S0217979299002800. Bibcode1999IJMPB..13.2973N.
  14. (영어) Maillet, Jean-Michel (2007년). 〈Heisenberg spin chains: from quantum groups to neutron scattering experiments〉, 《Quantum Spaces: Poincaré Seminar 2007》, Progress in Mathematical Physics 53, Basel: Birkhäuser, 161–201쪽. doi:10.1007/978-3-7643-8522-4_4. ISBN 978-3-7643-8521-7

같이 보기[편집]