일반위상수학 에서 수슬린 수 (영어 : Suslin number )는 위상 공간 의 서로소 열린집합 들의 집합족 의 크기 의 상한 이다. 이 글에서는 수슬린 수를 비롯한 위상수학의 다양한 기수 값 불변량을 다룬다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 무게 (영어 : weight )
w
(
X
)
{\displaystyle w(X)}
는
X
{\displaystyle X}
의 기저 의 최소 크기이다. 제2 가산 공간 은
w
(
X
)
≤
ℵ
0
{\displaystyle w(X)\leq \aleph _{0}}
인 위상 공간이다.
무게의 개념의 몇 가지 변형은 다음과 같다.
집합족의 조건
최소 크기
기호
기저
무게
w
{\displaystyle w}
유사 기저
유사 무게
ψ
w
{\displaystyle \psi w}
π-기저
π-무게
π
{\displaystyle \pi }
망
망 무게
n
w
{\displaystyle nw}
유사 무게 [ 편집 ]
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 유사 기저 (영어 : pseudo-base ) 또는 ψ-기저 (영어 : ψ-base )는 다음 조건을 만족시키는 열린집합 들의 집합족
B
⊆
Open
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Open} (X)}
이다.
임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여,
{
x
}
=
⋂
x
∈
B
∈
B
B
{\displaystyle \{x\}=\bigcap _{x\in B\in {\mathcal {B}}}B}
위상 공간 이 유사 기저를 가질 필요충분조건 은 T1 공간 인 것이다.
T1 공간
X
{\displaystyle X}
의 유사 무게 (영어 : pseudo-weight ) 또는 ψ-무게 (영어 : ψ-weight )
ψ
w
(
X
)
{\displaystyle \psi w(X)}
는 그 유사 기저의 최소 크기이다.
π-무게 [ 편집 ]
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 π-기저 (영어 : π-base )는 다음 조건을 만족시키는 열린집합 들의 집합족
B
⊆
Open
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Open} (X)}
이다.
Open
(
X
)
∖
{
∅
}
{\displaystyle \operatorname {Open} (X)\setminus \{\varnothing \}}
의 공시작 집합 이다. 즉,
∅
∉
B
{\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}}
이며, 임의의 열린집합
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
에 대하여, 만약
U
≠
∅
{\displaystyle U\neq \varnothing }
라면,
B
⊆
U
{\displaystyle B\subseteq U}
인
B
∈
B
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}
가 존재한다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 π-무게 (영어 : π-weight )
π
(
X
)
{\displaystyle \pi (X)}
는 그 π-기저의 최소 크기이다.
망 무게 [ 편집 ]
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 망 (영어 : network )은 다음 조건을 만족시키는 집합족
N
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
이다.
임의의 열린집합
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
에 대하여,
U
=
⋃
S
{\displaystyle U=\bigcup {\mathcal {S}}}
인
S
⊆
N
{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {N}}}
이 존재한다.
따라서, 기저 는 열린집합 들로 이루어진 망이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 망 무게 (영어 : network weight, net weight )
n
w
(
X
)
{\displaystyle nw(X)}
는 그 망의 최소 크기이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 밀도 (영어 : density )
d
(
X
)
{\displaystyle d(X)}
는
X
{\displaystyle X}
의 조밀 집합 의 최소 크기이다. 분해 가능 공간 은
d
(
X
)
≤
ℵ
0
{\displaystyle d(X)\leq \aleph _{0}}
인 위상 공간이다.
유전적 밀도 [ 편집 ]
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 유전적 밀도 (영어 : hereditary density )
d
∗
(
X
)
{\displaystyle d^{*}(X)}
또는 너비 (영어 : width )
z
(
X
)
{\displaystyle z(X)}
의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치 이다.
d
∗
(
X
)
{\displaystyle d^{*}(X)}
는
X
{\displaystyle X}
의 부분 집합 의 밀도의 상한 이다 (이 상한이 유한한 경우 대신
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
을 취한다).
d
∗
(
X
)
=
max
{
ℵ
0
,
sup
Y
⊂
X
d
(
Y
)
}
{\displaystyle d^{*}(X)=\max \left\{\aleph _{0},\sup _{Y\subset X}d(Y)\right\}}
z
(
X
)
{\displaystyle z(X)}
는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
의 크기 의 상한 이다 (이 상한이 유한한 경우 대신
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
을 취한다).
즉,
d
∗
(
X
)
=
z
(
X
)
{\displaystyle d^{*}(X)=z(X)}
이다. 유한한 값을 허용할 경우 두 정의는 더 이상 동치가 아니다.
d
∗
(
X
)
≥
z
(
X
)
{\displaystyle d^{*}(X)\geq z(X)}
의 증명.
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
가 부분 집합 이며,
≤
{\displaystyle \leq }
가
Y
{\displaystyle Y}
위의 정렬 전순서 이며,
Y
{\displaystyle Y}
의 모든 상집합 이
Y
{\displaystyle Y}
의 열린집합 이라고 하자.
|
Y
|
≤
d
∗
(
X
)
{\displaystyle |Y|\leq d^{*}(X)}
를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수
κ
<
|
Y
|
{\displaystyle \kappa <|Y|}
에 대하여,
κ
+
≤
d
∗
(
X
)
{\displaystyle \kappa ^{+}\leq d^{*}(X)}
임을 보이면 충분하다.
α
{\displaystyle \alpha }
가
(
Y
,
≤
)
{\displaystyle (Y,\leq )}
의 순서형이라고 하자.
κ
+
≤
|
Y
|
≤
α
{\displaystyle \kappa ^{+}\leq |Y|\leq \alpha }
이므로, 순서형이
κ
+
{\displaystyle \kappa ^{+}}
인 부분 집합
Z
⊆
Y
{\displaystyle Z\subseteq Y}
가 존재한다. 임의의 상집합
S
⊆
Z
{\displaystyle S\subseteq Z}
는
S
{\displaystyle S}
의
Y
{\displaystyle Y}
에서의 상폐포 와
Y
{\displaystyle Y}
의 교집합 이므로,
Z
{\displaystyle Z}
의 열린집합 이다.
κ
+
=
|
Z
|
{\displaystyle \kappa ^{+}=|Z|}
는 무한 기수 의 따름 기수 이므로, 정칙 기수 이다. 따라서, 만약
D
⊆
S
{\displaystyle D\subseteq S}
가 조밀 집합 이라면,
D
{\displaystyle D}
는
S
{\displaystyle S}
의 공종 집합 이며,
|
D
|
≥
κ
+
{\displaystyle |D|\geq \kappa ^{+}}
이다. 즉,
κ
+
=
d
(
Z
)
≤
d
∗
(
X
)
{\displaystyle \kappa ^{+}=d(Z)\leq d^{*}(X)}
이다.
d
∗
(
X
)
≤
z
(
X
)
{\displaystyle d^{*}(X)\leq z(X)}
의 증명. 임의의
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
에 대하여,
d
(
Y
)
≤
z
(
X
)
{\displaystyle d(Y)\leq z(X)}
임을 보이면 충분하다. 초한 귀납법 에 따라, 다음과 같은 초한 점렬
(
y
α
)
α
<
d
(
Y
)
⊆
Y
{\displaystyle (y_{\alpha })_{\alpha <d(Y)}\subseteq Y}
을 만들 수 있다.
y
α
∈
Y
∖
cl
{
y
β
:
β
<
α
}
(
∀
α
<
d
(
Y
)
)
{\displaystyle y_{\alpha }\in Y\setminus \operatorname {cl} \{y_{\beta }\colon \beta <\alpha \}\qquad (\forall \alpha <d(Y))}
이제,
Z
=
{
y
α
:
α
<
d
(
Y
)
}
{\displaystyle Z=\{y_{\alpha }\colon \alpha <d(Y)\}}
라고 하자.
Z
{\displaystyle Z}
위에 그 원소의 첨수에 따른 순서를 부여하면, 순서형이
d
(
Y
)
{\displaystyle d(Y)}
인 정렬 전순서 집합 을 이룬다. 또한, 임의의 상집합
S
⊆
Z
{\displaystyle S\subseteq Z}
에 대하여, 그 최소 원소 가
min
S
=
y
α
{\displaystyle \min S=y_{\alpha }}
라고 하면,
S
=
{
y
β
:
α
≤
β
<
d
(
Y
)
}
=
Z
∩
(
Y
∖
cl
{
y
β
:
β
<
α
}
)
{\displaystyle S=\{y_{\beta }\colon \alpha \leq \beta <d(Y)\}=Z\cap (Y\setminus \operatorname {cl} \{y_{\beta }\colon \beta <\alpha \})}
이므로,
S
⊆
Z
{\displaystyle S\subseteq Z}
는 열린집합 이다. 따라서,
d
(
Y
)
=
|
S
|
≤
z
(
X
)
{\displaystyle d(Y)=|S|\leq z(X)}
이다.
수슬린 수 [ 편집 ]
위상 공간
X
{\displaystyle X}
이 주어졌을 때, 공집합 이 아닌 열린집합 들의 부분 순서 집합
Open
(
X
)
∖
{
∅
}
{\displaystyle \operatorname {Open} (X)\setminus \{\varnothing \}}
의 강하향 반사슬 들은 정확히
X
{\displaystyle X}
의 공집합 이 아닌 서로소 열린집합 들로 이루어진 집합족 들이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 수슬린 수 (영어 : Suslin number ) 또는 세포도 (영어 : cellularity )
c
(
X
)
{\displaystyle c(X)}
는
Open
(
X
)
∖
{
∅
}
{\displaystyle \operatorname {Open} (X)\setminus \{\varnothing \}}
의 강하향 반사슬 의 크기 의 상한 이다.
유전적 수슬린 수 [ 편집 ]
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 유전적 수슬린 수 (영어 : hereditary Suslin number, hereditary cellularity )
c
∗
(
X
)
{\displaystyle c^{*}(X)}
또는 퍼짐 (영어 : spread )
s
(
X
)
{\displaystyle s(X)}
의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이는 서로 동치 이다.
c
∗
(
X
)
{\displaystyle c^{*}(X)}
는
X
{\displaystyle X}
의 부분 집합 의 수슬린 수의 상한 이다.
c
∗
(
X
)
=
sup
Y
⊆
X
c
(
Y
)
{\displaystyle c^{*}(X)=\sup _{Y\subseteq X}c(Y)}
s
(
X
)
{\displaystyle s(X)}
는
X
{\displaystyle X}
의 이산 집합 의 크기 의 상한 이다.
즉,
c
∗
(
X
)
=
s
(
X
)
{\displaystyle c^{*}(X)=s(X)}
이다.
린델뢰프 수 [ 편집 ]
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 임의의 열린 덮개
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
에 대하여,
L
(
U
)
{\displaystyle L({\mathcal {U}})}
가 그 부분 덮개의 최소 크기라고 하자.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 린델뢰프 수 (영어 : Lindelöf number )
L
(
X
)
{\displaystyle L(X)}
는 다음과 같다.
L
(
X
)
=
sup
U
L
(
U
)
{\displaystyle L(X)=\sup _{\mathcal {U}}L({\mathcal {U}})}
린델뢰프 공간 은
L
(
X
)
≤
ℵ
0
{\displaystyle L(X)\leq \aleph _{0}}
인 위상 공간이다.
유전적 린델뢰프 수 [ 편집 ]
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 유전적 린델뢰프 수 (영어 : hereditary Lindelöf number )
L
∗
(
X
)
{\displaystyle L^{*}(X)}
또는 높이 (영어 : height )
h
(
X
)
{\displaystyle h(X)}
의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치 이다.
L
∗
(
X
)
{\displaystyle L^{*}(X)}
는
X
{\displaystyle X}
의 부분 집합 의 린델뢰프 수의 상한 이다 (이 상한이 유한한 경우 대신
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
을 취한다).
L
∗
(
X
)
=
max
{
ℵ
0
,
sup
Y
⊆
X
L
(
Y
)
}
{\displaystyle L^{*}(X)=\max \left\{\aleph _{0},\sup _{Y\subseteq X}L(Y)\right\}}
h
(
X
)
{\displaystyle h(X)}
는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
의 크기 의 상한 이다 (이 상한이 유한한 경우 대신
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
을 취한다).
즉,
L
∗
(
X
)
=
h
(
X
)
{\displaystyle L^{*}(X)=h(X)}
이다. 유한한 상한을 허용할 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다. (반례로 시에르핀스키 공간 이 있다.)
L
∗
(
X
)
≥
h
(
X
)
{\displaystyle L^{*}(X)\geq h(X)}
의 증명.
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
가 부분 집합 이며,
≤
{\displaystyle \leq }
가
Y
{\displaystyle Y}
위의 정렬 전순서 이며,
Y
{\displaystyle Y}
의 모든 하집합 이
Y
{\displaystyle Y}
의 열린집합 이라고 하자.
|
Y
|
≤
L
∗
(
X
)
{\displaystyle |Y|\leq L^{*}(X)}
를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수
κ
<
|
Y
|
{\displaystyle \kappa <|Y|}
에 대하여
κ
+
≤
L
∗
(
X
)
{\displaystyle \kappa ^{+}\leq L^{*}(X)}
임을 보이면 충분하다.
α
{\displaystyle \alpha }
가
(
Y
,
≤
)
{\displaystyle (Y,\leq )}
의 순서형이라고 하자.
κ
+
≤
|
Y
|
≤
α
{\displaystyle \kappa ^{+}\leq |Y|\leq \alpha }
이므로, 순서형이
κ
+
{\displaystyle \kappa ^{+}}
인 부분 집합
Z
⊆
Y
{\displaystyle Z\subseteq Y}
가 존재한다.
Z
{\displaystyle Z}
의 모든 하집합 역시
Z
{\displaystyle Z}
의 열린집합 임을 쉽게 알 수 있다.
κ
+
=
|
Z
|
{\displaystyle \kappa ^{+}=|Z|}
는 무한 기수 의 따름 기수 이므로, 정칙 기수 이다. 따라서,
Z
{\displaystyle Z}
의 열린 덮개
U
=
{
↓
z
∖
↑
z
:
z
∈
Z
}
{\displaystyle {\mathcal {U}}=\{\mathop {\downarrow } z\setminus \mathop {\uparrow } z\colon z\in Z\}}
의 모든 부분 덮개의 크기는
κ
+
{\displaystyle \kappa ^{+}}
이다. 즉,
κ
+
=
L
(
U
)
≤
L
(
Z
)
≤
L
∗
(
X
)
{\displaystyle \kappa ^{+}=L({\mathcal {U}})\leq L(Z)\leq L^{*}(X)}
이다.
L
∗
(
X
)
≤
h
(
X
)
{\displaystyle L^{*}(X)\leq h(X)}
의 증명. 임의의 부분 집합
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
및 무한 기수
κ
<
L
(
Y
)
{\displaystyle \kappa <L(Y)}
에 대하여,
κ
+
≤
h
(
X
)
{\displaystyle \kappa ^{+}\leq h(X)}
임을 보이면 충분하다.
L
(
U
)
>
κ
{\displaystyle L({\mathcal {U}})>\kappa }
인
Y
{\displaystyle Y}
의 열린 덮개
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
를 고르자. 초한 귀납법 에 따라, 다음과 같은 초한 점렬
(
y
α
)
α
<
κ
+
⊆
Y
{\displaystyle (y_{\alpha })_{\alpha <\kappa ^{+}}\subseteq Y}
및
(
U
α
)
α
<
κ
+
⊆
U
{\displaystyle (U_{\alpha })_{\alpha <\kappa ^{+}}\subseteq {\mathcal {U}}}
을 만들 수 있다.
y
α
∈
Y
∖
⋃
β
<
α
U
β
(
∀
α
<
κ
+
)
{\displaystyle y_{\alpha }\in Y\setminus \bigcup _{\beta <\alpha }U_{\beta }\qquad (\forall \alpha <\kappa ^{+})}
이제,
Z
=
{
y
α
:
α
<
κ
+
}
⊆
Y
{\displaystyle Z=\{y_{\alpha }\colon \alpha <\kappa ^{+}\}\subseteq Y}
라고 하자.
Z
{\displaystyle Z}
는 자연스럽게 순서형이
κ
+
{\displaystyle \kappa ^{+}}
인 정렬 전순서 집합 을 이룬다. 또한,
Z
{\displaystyle Z}
의 임의의 하집합
S
=
⋃
y
α
∈
S
{
y
β
:
β
≤
α
}
=
⋃
y
α
∈
S
(
Z
∩
⋃
β
≤
α
U
β
)
=
Z
∩
⋃
y
α
∈
S
⋃
β
≤
α
U
β
{\displaystyle S=\bigcup _{y_{\alpha }\in S}\{y_{\beta }\colon \beta \leq \alpha \}=\bigcup _{y_{\alpha }\in S}\left(Z\cap \bigcup _{\beta \leq \alpha }U_{\beta }\right)=Z\cap \bigcup _{y_{\alpha }\in S}\bigcup _{\beta \leq \alpha }U_{\beta }}
은
Z
{\displaystyle Z}
의 열린집합 이다. 따라서,
κ
+
=
|
Z
|
≤
h
(
X
)
{\displaystyle \kappa ^{+}=|Z|\leq h(X)}
이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 부분 집합
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
의 국소 지표 (영어 : local character )
χ
(
S
,
X
)
{\displaystyle \chi (S,X)}
는
S
{\displaystyle S}
의 국소 기저 의 최소 크기이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 지표 (영어 : character )
χ
(
X
)
{\displaystyle \chi (X)}
는 모든 점의 국소 지표의 상한 이다.
χ
(
X
)
=
sup
x
∈
X
χ
(
x
,
X
)
{\displaystyle \chi (X)=\sup _{x\in X}\chi (x,X)}
제1 가산 공간 은
χ
(
X
)
≤
ℵ
0
{\displaystyle \chi (X)\leq \aleph _{0}}
인 위상 공간이다.
마찬가지로, 다음과 같은 개념들을 정의할 수 있다.
집합족의 조건
개념
기호
국소 기저
(국소) 지표
χ
{\displaystyle \chi }
국소 유사 기저
(국소) 유사 지표
ψ
{\displaystyle \psi }
국소 π-기저
(국소) π-지표
π
χ
{\displaystyle \pi \chi }
유사 지표 [ 편집 ]
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 부분 집합
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
의 국소 유사 기저 (영어 : local pseudo-base ) 또는 국소 ψ-기저 (영어 : local ψ-base )는 다음 조건을 만족시키는 열린집합 들의 집합족
B
⊆
Open
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Open} (X)}
이다.
S
=
⋂
B
{\displaystyle S=\bigcap {\mathcal {B}}}
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 부분 집합
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
의 국소 유사 지표 (영어 : local pseudo-character ) 또는 국소 ψ-지표 (영어 : local ψ-character )
ψ
(
S
,
X
)
{\displaystyle \psi (S,X)}
는
S
{\displaystyle S}
의 국소 유사 기저의 최소 크기이다.
T1 공간
X
{\displaystyle X}
의 유사 지표 (영어 : pseudo-character ) 또는 ψ-지표 (영어 : ψ-character )
ψ
(
X
)
{\displaystyle \psi (X)}
는 모든 점의 국소 유사 지표의 상한 이다.
ψ
(
X
)
=
sup
x
∈
X
ψ
(
x
,
X
)
{\displaystyle \psi (X)=\sup _{x\in X}\psi (x,X)}
π-지표 [ 편집 ]
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 점
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
의 국소 π-기저 (영어 : local π-base )는 다음 조건을 만족시키는 열린집합 들의 집합족
B
⊆
Open
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Open} (X)}
이다.
∅
∉
B
{\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}}
이며,
x
{\displaystyle x}
의 임의의 근방
U
∋
x
{\displaystyle U\ni x}
에 대하여,
B
⊆
U
{\displaystyle B\subseteq U}
인
B
∈
B
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}
가 존재한다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 점
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
의 국소 π-지표 (영어 : local π-character )
π
χ
(
x
,
X
)
{\displaystyle \pi \chi (x,X)}
는
x
{\displaystyle x}
의 국소 π-기저의 최소 크기이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 π-지표 (영어 : π-character )는
π
χ
(
X
)
{\displaystyle \pi \chi (X)}
는 모든 점의 국소 π-지표의 상한 이다.
π
χ
(
X
)
=
sup
x
∈
X
π
χ
(
x
,
X
)
{\displaystyle \pi \chi (X)=\sup _{x\in X}\pi \chi (x,X)}
밀착도 [ 편집 ]
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 부분 집합
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
및 그 폐포 의 점
x
∈
cl
S
{\displaystyle x\in \operatorname {cl} S}
에 대하여,
t
(
x
,
S
,
X
)
{\displaystyle t(x,S,X)}
가
x
∈
cl
T
{\displaystyle x\in \operatorname {cl} T}
인
T
⊆
S
{\displaystyle T\subseteq S}
의 최소 크기라고 하자.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 점
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
의 국소 밀착도 (영어 : local tightness )는 다음과 같다.
t
(
x
,
X
)
=
sup
x
∈
cl
S
⊆
X
t
(
x
,
S
,
X
)
{\displaystyle t(x,X)=\sup _{x\in \operatorname {cl} S\subseteq X}t(x,S,X)}
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 밀착도 (영어 : tightness )는
t
(
X
)
{\displaystyle t(X)}
는 모든 점의 국소 밀착도의 상한 이다.
t
(
X
)
=
sup
x
∈
X
t
(
x
,
X
)
{\displaystyle t(X)=\sup _{x\in X}t(x,X)}
가산 생성 공간 은
t
(
X
)
≤
ℵ
0
{\displaystyle t(X)\leq \aleph _{0}}
인 위상 공간이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
(ㄱ)
c
(
X
)
≤
d
(
X
)
≤
π
(
X
)
≤
w
(
X
)
≤
|
Open
(
X
)
|
≤
min
{
2
|
X
|
,
2
n
w
(
X
)
}
{\displaystyle c(X)\leq d(X)\leq \pi (X)\leq w(X)\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq \min\{2^{|X|},2^{nw(X)}\}}
(ㄴ)
max
{
d
(
X
)
,
L
(
X
)
}
≤
n
w
(
X
)
≤
min
{
|
X
|
,
w
(
X
)
}
{\displaystyle \max\{d(X),L(X)\}\leq nw(X)\leq \min\{|X|,w(X)\}}
(ㄷ)
max
{
t
(
x
,
X
)
,
π
χ
(
x
,
X
)
}
≤
χ
(
x
,
X
)
(
x
∈
X
)
{\displaystyle \max\{t(x,X),\pi \chi (x,X)\}\leq \chi (x,X)\qquad (x\in X)}
(ㄹ)
max
{
t
(
X
)
,
π
χ
(
X
)
}
≤
χ
(
X
)
≤
w
(
X
)
≤
|
X
|
χ
(
X
)
{\displaystyle \max\{t(X),\pi \chi (X)\}\leq \chi (X)\leq w(X)\leq |X|\chi (X)}
(ㅁ)
π
χ
(
X
)
≤
π
(
X
)
≤
d
(
X
)
π
χ
(
X
)
{\displaystyle \pi \chi (X)\leq \pi (X)\leq d(X)\pi \chi (X)}
(ㅂ)
t
(
X
)
≤
|
X
|
{\displaystyle t(X)\leq |X|}
(ㅅ)
|
RegOpen
(
X
)
|
≤
min
{
π
(
X
)
c
(
X
)
,
2
d
(
X
)
}
{\displaystyle \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|\leq \min\{\pi (X)^{c(X)},2^{d(X)}\}}
t
(
x
,
X
)
≤
χ
(
x
,
X
)
{\displaystyle t(x,X)\leq \chi (x,X)}
의 증명.
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
가
x
{\displaystyle x}
의 국소 기저 라고 하자.
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
이며
x
∈
cl
S
{\displaystyle x\in \operatorname {cl} S}
라고 하자.
x
∈
cl
T
{\displaystyle x\in \operatorname {cl} T}
|
T
|
≤
|
B
|
{\displaystyle |T|\leq |{\mathcal {B}}|}
인
T
⊆
S
{\displaystyle T\subseteq S}
를 찾으면 족하다. 임의의
B
∈
B
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}
에 대하여,
x
B
∈
B
∩
S
{\displaystyle x_{B}\in B\cap S}
를 고르자. 그렇다면,
T
=
{
x
B
:
B
∈
B
}
⊆
S
{\displaystyle T=\{x_{B}\colon B\in {\mathcal {B}}\}\subseteq S}
는 위 조건들을 만족시킨다.
π
χ
(
x
,
X
)
≤
χ
(
x
,
X
)
{\displaystyle \pi \chi (x,X)\leq \chi (x,X)}
의 증명.
x
{\displaystyle x}
의 임의의 국소 기저
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
에 대하여,
{
int
B
:
B
∈
B
}
{\displaystyle \{\operatorname {int} B\colon B\in {\mathcal {B}}\}}
는 열린 근방 들로 이루어진 국소 기저 이며, 특히
x
{\displaystyle x}
의 국소 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
임의의
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
에 대하여
|
S
|
≤
|
X
|
{\displaystyle |S|\leq |X|}
이므로 자명하다.
콜모고로프 공간
X
{\displaystyle X}
에서, 다음이 성립한다.
(ㄱ)
|
X
|
≤
2
w
(
X
)
{\displaystyle |X|\leq 2^{w(X)}}
X
{\displaystyle X}
의 임의의 기저
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
가 주어졌다고 하자. 단사 함수
X
→
P
(
B
)
{\displaystyle X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {B}})}
를 찾으면 족하다. 콜모고로프 조건에 따라, 함수
x
↦
{
B
∈
B
:
x
∈
B
}
{\displaystyle x\mapsto \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}}
는 단사 함수 이다.
T1 공간
X
{\displaystyle X}
에서, 다음이 성립한다.
(ㄱ)
ψ
w
(
X
)
≤
min
{
|
X
|
,
w
(
X
)
}
≤
|
X
|
≤
|
Open
(
X
)
|
{\displaystyle \psi w(X)\leq \min\{|X|,w(X)\}\leq |X|\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|}
(ㄴ)
ψ
(
x
,
X
)
≤
χ
(
x
,
X
)
(
x
∈
X
)
{\displaystyle \psi (x,X)\leq \chi (x,X)\qquad (x\in X)}
(ㄷ)
ψ
(
X
)
≤
min
{
χ
(
X
)
,
ψ
w
(
X
)
}
{\displaystyle \psi (X)\leq \min\{\chi (X),\psi w(X)\}}
(ㄹ)
|
X
|
≤
min
{
2
ψ
w
(
X
)
,
n
w
(
X
)
ψ
(
X
)
}
{\displaystyle |X|\leq \min\{2^{\psi w(X)},nw(X)^{\psi (X)}\}}
(ㅁ)
n
w
(
X
)
≤
ψ
w
(
X
)
L
(
X
)
{\displaystyle nw(X)\leq \psi w(X)^{L(X)}}
T1 조건에 따라
x
{\displaystyle x}
의 모든 국소 기저 는 국소 유사 기저이므로 자명하다.
|
X
|
≤
2
ψ
w
(
X
)
{\displaystyle |X|\leq 2^{\psi w(X)}}
의 증명.
X
{\displaystyle X}
의 임의의 유사 기저
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
가 주어졌다고 하자. 단사 함수
X
→
P
(
B
)
{\displaystyle X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {B}})}
를 찾으면 족하다. 함수
x
↦
{
B
∈
B
:
x
∈
B
}
{\displaystyle x\mapsto {\mathcal {\{}}B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}}
를 생각하자. 만약
{
B
∈
B
:
x
∈
B
}
=
{
B
∈
B
:
y
∈
B
}
{\displaystyle \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}=\{B\in {\mathcal {B}}\colon y\in B\}}
라면,
{
x
}
=
⋂
x
∈
B
∈
B
B
=
⋂
y
∈
B
∈
B
B
=
{
y
}
{\displaystyle \{x\}=\bigcap _{x\in B\in {\mathcal {B}}}B=\bigcap _{y\in B\in {\mathcal {B}}}B=\{y\}}
이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수 이다.
|
X
|
≤
n
w
(
X
)
ψ
(
X
)
{\displaystyle |X|\leq nw(X)^{\psi (X)}}
의 증명.
X
{\displaystyle X}
의 임의의 망
N
{\displaystyle {\mathcal {N}}}
이 주어졌다고 하자.
N
{\displaystyle {\mathcal {N}}}
의 크기
ψ
(
X
)
{\displaystyle \psi (X)}
이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수
X
↦
P
≤
ψ
(
X
)
(
N
)
{\displaystyle X\mapsto {\mathcal {P}}_{\leq \psi (X)}({\mathcal {N}})}
를 찾으면 족하다. 임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여,
|
B
x
|
≤
ψ
(
X
)
{\displaystyle |{\mathcal {B}}_{x}|\leq \psi (X)}
인
x
{\displaystyle x}
의 국소 유사 기저
B
x
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}}
를 고르자. 임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
및
B
∈
B
p
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}_{p}}
에 대하여,
x
∈
N
x
,
B
⊆
B
{\displaystyle x\in N_{x,B}\subseteq B}
인
N
x
,
B
∈
N
{\displaystyle N_{x,B}\in {\mathcal {N}}}
을 고르자. 이제, 함수
x
↦
S
x
=
{
N
x
,
B
:
B
∈
B
}
⊆
N
{\displaystyle x\mapsto {\mathcal {S}}_{x}=\{N_{x,B}\colon B\in {\mathcal {B}}\}\subseteq {\mathcal {N}}}
생각하자. (
|
S
x
|
≤
|
B
x
|
≤
ψ
(
X
)
{\displaystyle |{\mathcal {S}}_{x}|\leq |{\mathcal {B}}_{x}|\leq \psi (X)}
이므로
S
x
∈
P
≤
ψ
(
X
)
(
N
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{x}\in {\mathcal {P}}_{\leq \psi (X)}({\mathcal {N}})}
이다.) 만약
S
x
=
S
y
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{x}={\mathcal {S}}_{y}}
라면,
{
x
}
=
⋂
B
x
=
⋂
S
x
=
⋂
S
y
=
⋂
B
y
=
{
y
}
{\displaystyle \{x\}=\bigcap {\mathcal {B}}_{x}=\bigcap {\mathcal {S}}_{x}=\bigcap {\mathcal {S}}_{y}=\bigcap {\mathcal {B}}_{y}=\{y\}}
이다. 따라서 이 함수는 단사 함수 이다.
하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
에서, 다음이 성립한다.
(ㄱ)
|
X
|
≤
min
{
2
2
d
(
X
)
,
d
(
X
)
χ
(
X
)
}
{\displaystyle |X|\leq \min\{2^{2^{d(X)}},d(X)^{\chi (X)}\}}
(ㄴ)
ψ
w
(
X
)
≤
min
{
|
RegOpen
(
X
)
|
,
n
w
(
X
)
}
{\displaystyle \psi w(X)\leq \min\{\left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|,nw(X)\}}
|
X
|
≤
2
2
d
(
X
)
{\displaystyle |X|\leq 2^{2^{d(X)}}}
의 증명. 임의의 조밀 집합
D
⊆
X
{\displaystyle D\subseteq X}
가 주어졌다고 하자. 단사 함수
X
→
P
(
P
(
D
)
)
{\displaystyle X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(D))}
를 찾으면 족하다. 함수
x
↦
{
U
∩
D
:
x
∈
U
∈
Open
(
X
)
}
{\displaystyle x\mapsto \{U\cap D\colon x\in U\in \operatorname {Open} (X)\}}
를 생각하자. 만약
{
U
∩
D
:
x
∈
U
∈
Open
(
X
)
}
=
{
U
∩
D
:
y
∈
U
∈
Open
(
X
)
}
{\displaystyle \{U\cap D\colon x\in U\in \operatorname {Open} (X)\}=\{U\cap D\colon y\in U\in \operatorname {Open} (X)\}}
라면, 하우스도르프 조건에 따라
{
x
}
=
⋂
x
∈
U
∈
Open
(
X
)
cl
U
=
⋂
x
∈
U
∈
Open
(
X
)
cl
(
U
∩
D
)
=
⋂
y
∈
U
∈
Open
(
X
)
cl
(
U
∩
D
)
=
⋂
x
∈
U
∈
Open
(
X
)
cl
U
=
{
y
}
{\displaystyle \{x\}=\bigcap _{x\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} U=\bigcap _{x\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} (U\cap D)=\bigcap _{y\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} (U\cap D)=\bigcap _{x\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} U=\{y\}}
이다. (두 번째 등식은 조밀성에 따라
cl
U
=
cl
(
U
∩
D
)
{\displaystyle \operatorname {cl} U=\operatorname {cl} (U\cap D)}
이기 때문이다.) 따라서, 이 함수는 단사 함수 이다.
|
X
|
≤
d
(
X
)
χ
(
X
)
{\displaystyle |X|\leq d(X)^{\chi (X)}}
의 증명. 만약
χ
(
X
)
<
ℵ
0
{\displaystyle \chi (X)<\aleph _{0}}
이라면,
X
{\displaystyle X}
는 이산 공간 이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제,
χ
(
X
)
≥
ℵ
0
{\displaystyle \chi (X)\geq \aleph _{0}}
이라고 하자. 임의의 조밀 집합
D
⊆
X
{\displaystyle D\subseteq X}
가 주어졌다고 하자. 단사 함수
X
→
P
≤
χ
(
X
)
(
P
≤
χ
(
X
)
(
D
)
)
{\displaystyle X\to {\mathcal {P}}_{\leq \chi (X)}({\mathcal {P}}_{\leq \chi (X)}(D))}
를 찾으면 족하다. 임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여,
|
B
x
|
≤
χ
(
X
)
{\displaystyle |{\mathcal {B}}_{x}|\leq \chi (X)}
인 국소 기저
B
x
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}}
를 고르자. 임의의
B
∈
B
x
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}_{x}}
에 대하여
s
x
,
B
∈
B
∩
D
{\displaystyle s_{x,B}\in B\cap D}
를 고르고,
S
x
=
{
s
x
,
B
:
B
∈
B
x
}
⊆
D
{\displaystyle S_{x}=\{s_{x,B}\colon B\in {\mathcal {B}}_{x}\}\subseteq D}
A
x
=
{
B
∩
S
x
:
B
∈
B
x
}
⊆
P
(
S
x
)
⊆
P
(
D
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{x}=\{B\cap S_{x}\colon B\in {\mathcal {B}}_{x}\}\subseteq {\mathcal {P}}(S_{x})\subseteq {\mathcal {P}}(D)}
라고 하자. 이제, 함수
x
↦
A
x
{\displaystyle x\mapsto {\mathcal {A}}_{x}}
를 생각하자. 자명하게
|
S
x
|
≤
χ
(
X
)
{\displaystyle |S_{x}|\leq \chi (X)}
|
A
x
|
≤
χ
(
X
)
{\displaystyle |{\mathcal {A}}_{x}|\leq \chi (X)}
이다. 하우스도르프 조건에 따라
{
x
}
=
⋂
B
∈
B
x
cl
B
⊇
⋂
B
∈
B
x
cl
(
B
∩
S
x
)
⊇
{
x
}
{\displaystyle \{x\}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}_{x}}\operatorname {cl} B\supseteq \bigcap _{B\in {\mathcal {B}}_{x}}\operatorname {cl} (B\cap S_{x})\supseteq \{x\}}
이다. 따라서, 만약
A
x
=
A
y
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{x}={\mathcal {A}}_{y}}
라면,
구문 분석 실패 (구문 오류): {\displaystyle \{x\}=\bigcap_{B\in\mathcal B_x}\operatorname{cl}(B\cap S_x)=\bigcap_{B\in\mathcal B_y}\operatorname{cl}(B\cap S_y)=\{y\} 이다. 즉, 이 함수는 [[단사 함수]]이다. {{증명 끝}} {{증명|부제=ㄴ}} <math>\psi w(X)\le\left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|}
의 증명. 하우스도르프 공간 에서, 정칙 닫힌집합 들은 유사 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
ψ
w
(
X
)
≤
n
w
(
X
)
{\displaystyle \psi w(X)\leq nw(X)}
의 증명. 만약
n
w
(
X
)
<
ℵ
0
{\displaystyle nw(X)<\aleph _{0}}
라면,
X
{\displaystyle X}
는 유한 이산 공간 이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제,
n
w
(
X
)
≥
ℵ
0
{\displaystyle nw(X)\geq \aleph _{0}}
이라고 하자.
X
{\displaystyle X}
의 임의의 망
N
{\displaystyle {\mathcal {N}}}
이 주어졌다고 하자.
|
B
|
≤
|
N
|
{\displaystyle |{\mathcal {B}}|\leq |{\mathcal {N}}|}
인 유사 기저
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
를 찾으면 족하다.
S
=
{
(
M
,
N
)
∈
N
×
N
:
∃
U
,
V
∈
Open
(
X
)
:
M
⊆
U
,
N
⊆
V
,
U
∩
V
=
∅
}
{\displaystyle {\mathcal {S}}=\{(M,N)\in {\mathcal {N}}\times {\mathcal {N}}\colon \exists U,V\in \operatorname {Open} (X)\colon M\subseteq U,\;N\subseteq V,\;U\cap V=\varnothing \}}
라고 하자. 임의의
(
M
,
N
)
∈
S
{\displaystyle (M,N)\in {\mathcal {S}}}
에 대하여,
M
⊆
U
(
M
,
N
)
{\displaystyle M\subseteq U_{(M,N)}}
N
⊆
V
(
M
,
N
)
{\displaystyle N\subseteq V_{(M,N)}}
U
(
M
,
N
)
∩
V
(
M
,
N
)
=
∅
{\displaystyle U_{(M,N)}\cap V_{(M,N)}=\varnothing }
인 열린집합
U
(
M
,
N
)
,
V
(
M
,
N
)
⊆
X
{\displaystyle U_{(M,N)},V_{(M,N)}\subseteq X}
를 고르자. 그렇다면, 하우스도르프 조건에 따라,
B
=
{
U
(
M
,
N
)
:
(
M
,
N
)
∈
S
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{U_{(M,N)}\colon (M,N)\in {\mathcal {S}}\}}
는 유사 기저임을 알 수 있다. 또한, 자명하게
|
B
|
≤
|
N
|
2
=
|
N
|
{\displaystyle |{\mathcal {B}}|\leq |{\mathcal {N}}|^{2}=|{\mathcal {N}}|}
이다.
정칙 하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
에서, 다음이 성립한다.
w
(
X
)
≤
|
RegOpen
(
X
)
|
{\displaystyle w(X)\leq \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|}
콤팩트 T1 공간
X
{\displaystyle X}
에서, 다음이 성립한다.
(ㄱ)
n
w
(
X
)
≤
ψ
w
(
X
)
{\displaystyle nw(X)\leq \psi w(X)}
T1 공간 에 대한 명제 (ㅁ)의 증명과 유사하다.
콤팩트 하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
에서, 다음이 성립한다.
ψ
(
X
)
=
χ
(
X
)
{\displaystyle \psi (X)=\chi (X)}
위상 공간
X
{\displaystyle X}
및 부분 집합
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
w
(
Y
)
≤
w
(
X
)
{\displaystyle w(Y)\leq w(X)}
n
w
(
Y
)
≤
n
w
(
X
)
{\displaystyle nw(Y)\leq nw(X)}
X
{\displaystyle X}
가 T1 공간 일 때,
ψ
w
(
Y
)
≤
ψ
w
(
X
)
{\displaystyle \psi w(Y)\leq \psi w(X)}
χ
(
Y
)
≤
χ
(
X
)
{\displaystyle \chi (Y)\leq \chi (X)}
X
{\displaystyle X}
가 T1 공간 일 때,
ψ
(
Y
)
≤
ψ
(
X
)
{\displaystyle \psi (Y)\leq \psi (X)}
t
(
Y
)
≤
t
(
X
)
{\displaystyle t(Y)\leq t(X)}
만약
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
가 닫힌 연속 전사 함수 라면, 다음이 성립한다.
t
(
Y
)
≤
t
(
X
)
{\displaystyle t(Y)\leq t(X)}
참고 문헌 [ 편집 ]
외부 링크 [ 편집 ]