분해 가능 공간

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일반위상수학에서, 분해 가능 공간(分解可能空間, 영어: separable space)은 가산 집합조밀 집합일 수 있을 정도로 작은 위상 공간이다.

정의[편집]

위상 공간 X가산 집합조밀 집합을 갖는다면, X분해 가능 공간이라고 한다.[1]:192

성질[편집]

모든 제2 가산 공간은 분해 가능 공간이다.[1]:192

거리 공간에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이다.[1]:191–192

제1 가산 공간위상군에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:195

  • X가 분해 가능 공간, Y가 임의의 위상 공간일 때 연속함수 f:X → Y가 존재하면 f(X)도 가분공간이다.[1]:194
  • 분해 가능 공간의 열린 집합은 분해가능하다.[2]:Theorem 16.4b
  • 콤팩트 거리 공간은 분해가능하다.[1]:194
  • 분해 가능 공간의 가산 개 곱공간은 분해가능하다.[1]:194
  • 분해 가능 공간의 교차하지 않는 열린 집합들을 모은 집합족은 많아야 가산 개의 원소를 갖는다.[1]:194
  • 임의의 위상 공간은 동일한 크기를 갖는 분해 가능 공간의 부분 공간과 위상동형이다.[3]:49

[편집]

  • 모든 유클리드 공간 \mathbb R^n은 분해 가능 공간이다. 이 경우, \mathbb Q^n은 가산 조밀 집합을 이룬다.
  • 힐베르트 공간 L^2(\mathbb R)은 분해 가능 공간이다. 모든 무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간은 이와 동형이다.
  • 가산 개의 점을 갖는 위상 공간은 자명하게 분해 가능 공간이다.

참고 문헌[편집]

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) (2판판). Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  2. Willard, Stephen (1970). 《General Topology》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. MR 0264581. 
  3. Sierpiński, Wacław (1952). 《General topology》 (영어). Mathematical Expositions 7. University of Toronto Press. MR 0050870. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]