분해 가능 공간

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일반위상수학에서, 분해 가능 공간(分解可能空間, 영어: separable space)은 가산 집합조밀 집합일 수 있을 정도로 작은 위상 공간이다.

정의[편집]

위상 공간 X밀도(密度, 영어: density) d(X)X 속의 조밀 집합의 최소 크기기수이다. (기수 위의 순서는 정렬 순서이므로 이는 항상 존재한다.)

밀도가 \aleph_0 이하인 위상 공간을 분해 가능 공간이라고 한다.[1]:192 즉, 분해 가능 공간은 가산 조밀 집합을 갖는 공간이다.

성질[편집]

제2 가산성과의 관계[편집]

모든 제2 가산 공간은 분해 가능 공간이다.[1]:192

제1 가산 공간위상군에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:195

거리화 가능성을 가정한다면, 다음이 성립한다.

콤팩트 공간 \subsetneq[1]:194 제2 가산 공간 = 분해 가능 공간 = 린델뢰프 공간[1]:191–192

분해 가능성을 보존하는 연산[편집]

두 위상 공간 X, Y 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y조밀 집합 D\subseteq X이 주어졌을 때, 그 f(D)\subseteq f(X)치역 f(X) 속의 조밀 집합이다. 따라서

d(f(X))\le d(X)

이다. 특히, 분해 가능 공간의 연속적 상은 분해 가능 공간이다.[1]:194

위상 공간 X열린집합 U\subseteq X조밀 집합 D\subseteq X가 주어졌을 때, U\cap DU의 조밀 집합이다. 따라서 다음이 성립한다.

d(U)\le d(X)

특히, 분해 가능 공간의 열린집합은 분해 가능 공간이다.[2]:Theorem 16.4b 분해 가능 공간의 열린집합이 아닌 부분 집합은 분해 가능 공간이 아닐 수 있다. 다만, 분해 가능 거리화 가능 공간의 모든 부분 집합은 분해 가능 공간이다.

곱공간

X=\prod_{i\in I}X_i

에서, 조밀 집합 D_i\subseteq X_i들의 곱집합 \textstyle D=\prod_{i\in I}D_i\subseteq X은 조밀 집합이다. 따라서, 밀도에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

d(X)\le\prod_{i\in I}d(X_i)

특히, 가산 개의 분해 가능 공간들의 곱공간은 분해 가능 공간이다.[1]:194[2]:109, Theorem 16.4c 또한, 곱위상 대신 상자 위상을 사용해도 위 명제들이 성립한다. (상자 위상은 곱위상보다 더 조밀하므로, 이는 더 강한 성질이다.)

크기 관련 성질[편집]

모든 비이산 공간은 분해 가능 공간이므로, 분해 가능성은 집합의 크기에 상한을 가하지 않는다. 그러나 추가 조건을 가한다면 다음과 같은 상한을 얻을 수 있다.

또한, 분해 가능성은 다음과 같은 다양한 크기 관련 상한들을 함의한다.

이는 실수 값 연속 함수는 이를 조밀 집합에 국한한 함수로부터 결정되기 때문이다. 이에 따라, 정규 분해 가능 공간 속의 닫힌집합이산 공간을 이룬다면, 이는 항상 가산 집합이다.

임의의 위상 공간 X에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 분해 가능 공간 \tilde X단사 함수 \iota\colon X\hookrightarrow\tilde X를 찾을 수 있다.[3]:49

힐베르트 공간[편집]

(실수 또는 복소수) 힐베르트 공간 \mathcal H에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • \mathcal H의 힐베르트 차원이 \aleph_0 이하이다. (힐베르트 차원은 벡터 공간의 하멜 차원과 일반적으로 다르다.)
  • \mathcal H는 분해 가능 공간이다.

특히, 모든 유클리드 공간 \mathbb R^nL2 공간 L^2(\mathbb R)는 분해 가능 공간이다. 유클리드 공간의 경우 \mathbb Q^n\subsetneq\mathbb R^n은 가산 조밀 집합을 이룬다. 힐베르트 공간은 힐베르트 차원에 의하여 완전히 분류되므로, 이는 분해 가능 힐베르트 공간의 목록이다.

[편집]

임의의 위상 공간 X에 대하여 다음이 자명하게 성립한다.

d(X)\le|X|

따라서, 가산 개의 점을 갖는 위상 공간은 분해 가능 공간이다.

이산 공간 속의 조밀 집합은 전체밖에 없으므로, 이산 공간 X의 밀도는 그 집합의 크기와 같다.

|X|=d(X)

특히, 가산 이산 공간은 분해 가능 공간이지만, 비가산 이산 공간은 분해 가능 공간이 아니다. 비이산 공간에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합은 조밀 집합이다. 따라서, 비이산 공간 X의 밀도는 다음과 같다.

d(X)=\min\{0,|X|\}

따라서, 모든 비이산 공간은 자명하게 분해 가능 공간이다.

참고 문헌[편집]

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  2. Willard, Stephen (1970). 《General Topology》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. MR 0264581. 
  3. Sierpiński, Wacław (1952). 《General topology》. Mathematical Expositions (영어) 7. University of Toronto Press. MR 0050870. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]