4차원 회전군

리 군론에서 4차원 회전군(四次元回轉群, 영어: four-dimensional rotation group)은 4차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(4) 또는 이와 관련된 군들을 말한다.

정의

4차원 특수 직교군 $\operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )$ 및 이를 2겹 몫군으로 갖는 스핀 군 $\operatorname {Spin} (4)$이 있다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준

$\operatorname {SO} (1,3)$ (4차원 로런츠 군)

$\operatorname {SO} (2,2)$

및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.

이 군에 대응하는 딘킨 도표는

$\bullet \qquad \bullet$

이다. 딘킨 도표가 연결 그래프가 아닌 것은 이 군이 반단순 리 군이지만 단순 리 군이 아니기 때문이다.

이들은 다음과 같이 대응된다.

킬링 형식의 부호수	실수 기반 기호	복소수 · 사원수 기반 기호	군의 중심	기본군	비고
(0,4)	Spin(4)	$\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)=\operatorname {USp} (2)\times \operatorname {USp} (2)=\operatorname {SL} (1;\mathbb {H} )\times \operatorname {SL} (1;\mathbb {H} )$	$\operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)$	0	단일 연결 콤팩트 형태
	SO(4)	$(\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2))/\{(\pm 1,\pm 1)\}$	$\operatorname {Cyc} (2)$	$\operatorname {Cyc} (2)$
	PSO(4)	$\operatorname {PSU} (2)\times \operatorname {PSU} (2)$	0	0	무중심 콤팩트 형태
(4,2)	Spin(2,2)	$\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )$	$\operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)$	0	단일 연결 분할 형태
	SO⁺(2,2)	$(\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))/\{(+1,+1),(-1,-1)\}$	$\operatorname {Cyc} (2)$	$\operatorname {Cyc} (2)$
	PSO⁺(2,2)	$\operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )$	0	$\operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)$ 무중심 분할 형태
(3,3)	Spin(1,3)	$\operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )$	$\operatorname {Cyc} (2)$	0	단일 연결 로런츠 군
	SO⁺(1,3)	$\operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )$	0	$\operatorname {Cyc} (2)$	무중심 로런츠 군
(2,4)	SO*(4)	—	$\mathbb {Z} /2$	$\mathbb {Z}$

성질

콤팩트 형태

Spin(4)의 최소 스피너는 복소수 2차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 $\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)$의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현

$\mathbf {2} \otimes \mathbf {1}$

$\mathbf {1} \otimes \mathbf {2}$

에 해당한다.

마찬가지로, $\operatorname {SO} (4)$의 4차원 실수 정의(定義) 표현은 $\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)$의 쌍벡터 표현

$\mathbf {2} \otimes \mathbf {2}$

에 해당한다.

부호수 (4,0)에서, 2차 미분 형식의 호지 쌍대는 대합을 이루며, 따라서 2차원 반대칭 텐서(2차 미분 형식)에 대하여 호지 쌍대에 대한 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 있다. 이들은 $\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)$의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다.

차원	SO(4) 묘사	SU(2)² 묘사 (스핀)
2 (복소수)	오른쪽 스피너	(0,½)
2 (복소수)	왼쪽 스피너	(½,0)
4 (실수)	벡터	(½,½)
3 (실수)	자기 쌍대 반대칭 2-텐서	(0,1)
3 (실수)	자기 반쌍대 반대칭 2-텐서	(1,0)
6 (복소수)	오른쪽 라리타-슈윙거 장	(½,1)
6 (복소수)	왼쪽 라리타-슈윙거 장	(1,½)
9 (실수)	무대각합 대칭 2-텐서	(1,1)

4차원 유클리드 공간을 사원수의 공간

$\mathbb {H}$

으로 생각하자. 그 위에는 양의 정부호 쌍선형 형식

$\langle x,y\rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (xy^{*})$

가 주어져 있다. 여기서 우변의 $y^{*}$는 사원수의 켤레이다.

사원수 공간 위에는 사원수 대수가 양쪽에서 다음과 같이 작용한다.

$v\mapsto avb^{*}\qquad (a,b\in \mathbb {H} )$

즉, 이는 $\mathbb {H}$ 위의, 가역 사원수의 리 군 $\operatorname {Unit} (\mathbb {H} )=\mathbb {H} \setminus \{0\}$의 2차 직접곱

$\operatorname {Unit} (\mathbb {H} )\times \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )$

의 표현을 정의한다. 이는 일반적으로 쌍선형 형식 $\langle -,-\rangle$을 보존하지 않지만, 노름 1의 순허수 사원수로 구성된 부분군

$\operatorname {SU} (2;\mathbb {C} )\times \operatorname {SU} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {SL} (1;\mathbb {H} )\times \operatorname {SL} (1;\mathbb {H} )\leq \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )\times \operatorname {Unit} (\mathbb {H} )$

은 이 쌍선형 형식을 보존한다. 즉, 이는 군 준동형

$\operatorname {SU} (2;\mathbb {C} )\times \operatorname {SU} (2;\mathbb {C} )\to \operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )$

를 정의하며, 그 핵은 다음과 같은 2차 순환군이다.

$\{(+1,+1),(-1,-1)\}\subsetneq \mathbb {H} \times \mathbb {H}$

분할 형태

Spin(2,2)은 (1,1)차원 민코프스키 공간의 (대역적) 등각군이다. (국소적 등각군은 비트 대수로 주어진다.) $\operatorname {Spin} (2,2)$의 최소 스피너는 실수 2차원의 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 $\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )$의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현

$\mathbf {2} \otimes \mathbf {1}$

$\mathbf {1} \otimes \mathbf {2}$

에 해당한다.

부호수 (2,2)에서도, 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 대합을 이루어, 자기 (반)쌍대 조건을 정의할 수 있다. 이들은 마찬가지로 $\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )^{2}$의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다.

차원	SO(2,2) 묘사	SL(2)² 묘사 (스핀)
2 (실수)	오른쪽 마요라나-바일 스피너	(0,½)
2 (실수)	왼쪽 마요라나-바일 스피너	(½,0)
4 (실수)	벡터	(½,½)
3 (실수)	자기 쌍대 반대칭 2-텐서	(0,1)
3 (실수)	자기 반쌍대 반대칭 2-텐서	(1,0)
6 (실수)	오른쪽 라리타-슈윙거 장	(½,1)
6 (실수)	왼쪽 라리타-슈윙거 장	(1,½)
9 (실수)	무대각합 대칭 2-텐서	(1,1)

이 군의 중심은 크기 4의 아벨 군

$\operatorname {Z} (\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))=\operatorname {Z} (\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))\times \operatorname {Z} (\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))\cong \operatorname {Cyc} (2)\times \operatorname {Cyc} (2)$

이다. 이는 $\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )^{2}$에서

$\{(\sigma 1_{2\times 2},\sigma '1_{2\times 2})\colon \sigma ,\sigma '\in \{\pm 1\}\}$

에 해당하며, $\operatorname {SO} (2,2)$에서 이 중심 부분군은 몫군

$\operatorname {Z} (\operatorname {SO} (2,2))=\{\pm 1_{4\times 4}\}$

에 해당한다. 중심에 대한 몫군은

$\operatorname {PSO} (2,2)\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )$

이다.

구체적으로, 실수 2×2 행렬의 공간 $\operatorname {Mat} (2,2;\mathbb {R} )$ 위에, 행렬식

$\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-bc$

은 실수 이차 형식을 이루며, 이에 대응하는 실수 쌍선형 형식

$\left\langle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left(ad'-bc'+da'-cb'\right)$

을 계산할 수 있다. 이는 부호수 (2,2)를 가지며, 그 정규 직교 기저는 다음과 같다.

기저 벡터	$1_{2\times 2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$	$\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$	$\mathrm {i} \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$	$\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
노름	+1	−1	+1	−1

$\operatorname {Mat} (2,2;\mathbb {R} )$ 위에는 $\operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )$가 다음과 같이 작용한다.

$(g,h)\cdot v=gvh^{-1}$

이는 일반적으로 쌍선형 형식 $\langle ,\rangle$을 보존하지 않으나, 그 $\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )$ 부분군은 이를 보존한다. 즉, 이는 군 준동형

$\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\to \operatorname {SO} (2,2)$

을 정의한다. 이는 전사 함수이며, 그 핵은 2차 순환군

$\left\{\left(+1_{2\times 2},+1_{2\times 2}\right),\left(-1_{2\times 2},-1_{2\times 2}\right)\right\}$

이다.

로런츠 형태

 이 부분의 본문은 로런츠 군입니다.

$\operatorname {Spin} (1,3)$은 2차원 유클리드 공간의 (대역적) 등각군이다. 즉, 이는 사실 리만 구의 자기 동형군(뫼비우스 변환들의 군)

$\operatorname {Spin} (1,3)\cong \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {Aut} (\mathbb {CP} ^{1})$

이다.

$\operatorname {Spin} (1,3)$의 최소 스피너는 복소수 2차원의 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 $\operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )$의 정의 표현 $\mathbb {2}$ 및 그 복소수 켤레 ${\bar {\mathbf {2} }}$에 대응한다. $\operatorname {SO} (1,3)$의 4차원 실수 정의 표현 $\mathbf {4}$는 $\operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )$의 표현

$\mathbf {2} \otimes {\bar {\mathbf {2} }}$

에 대응한다.

이 부호수에서, 호지 쌍대는 2차 미분 형식의 대합이 되지 못한다. 즉, 2차 미분 형식 $F$에 대하여

$**F=-F$

이다. 이에 따라 2차 미분 형식의 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 없다. 이는 $\operatorname {Spin} (1,3)$이 두 군의 직접곱으로 분해되지 못하여, 그 딸림표현이 기약 표현이기 때문이다.

구체적으로, 다음과 같은 꼴의 2×2 행렬들의 4차원 실수 벡터 공간을 생각하자.

$V=\left\{{\begin{pmatrix}z&\mathrm {i} x\\\mathrm {i} y&{\bar {z}}\end{pmatrix}}\colon z\in \mathbb {C} ,\;x,y\in \mathbb {R} \right\}$

$V$ 위에는 다음과 같은 실수 쌍선형 형식이 존재한다.

$\langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {tr} (u{\bar {v}}))$

이 쌍선형 형식의 부호수는 (3,1)이며, 이에 대한 정규 직교 기저는 다음과 같다.

기저 벡터	$1_{2\times 2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$	$\mathrm {i} \sigma _{3}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0\\0&-\mathrm {i} \end{pmatrix}}$	$\mathrm {i} \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}$	$\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}$
노름	+1	+1	+1	−1

즉, $V$를 민코프스키 공간 $\mathbb {R} ^{1,3}$으로 여길 수 있다.

이 위에는 다음과 같은 꼴의 $\operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )$의 작용이 존재한다.

$v\mapsto Gv{\bar {G}}^{-1}\qquad (G\in \operatorname {SL} (2;\mathbb {C} ),\;v\in V)$

이 작용은 위의 쌍선형 형식을 보존하며, 따라서 군 준동형

$\operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )\to \operatorname {SO} (1,3)$

을 정의한다. 그 핵은 물론

$\left\{\pm 1_{2\times 2}\right\}=\operatorname {Z} (\operatorname {SL} (2;\mathbb {C} ))$

이다.

SO*(4)

SO(4)는 SO*(4)라는 또다른 실수 형식을 갖는다. 구체적으로, 다음과 같은 군 준동형들을 생각하자.

$\operatorname {SO} (4;\mathbb {C} )\hookrightarrow \operatorname {SL} (4;\mathbb {C} )\,{\overset {\phi }{\twoheadrightarrow }}\,\operatorname {SO} (6;\mathbb {C} )$

여기서 첫째 화살표는 자명한 부분군 관계이며, 둘째 화살표 $\phi$는 2겹 몫군 관계이다. 여기에 다음과 같은 실수 조건을 가할 수 있다.

$\operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )\hookrightarrow \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (6;\mathbb {R} )$

$\operatorname {SO} (2,2)\hookrightarrow \operatorname {SU} (2,2)\cong \operatorname {Spin} (4,2)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (4,2)$

$\operatorname {SO} (3,1)\hookrightarrow \operatorname {SU} (3,1)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} ^{*}(6)$

$\operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )\hookrightarrow \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Spin} (3,3)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (3,3)$

$\operatorname {SO} ^{*}(4)\hookrightarrow \operatorname {SU} ^{*}(4)\cong \operatorname {Spin} (5,1)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (5,1)$

즉, SO*(4)는 이에 따라 다음과 같이 표현될 수 있다.

$\operatorname {SO} ^{*}(4)=\operatorname {SU} ^{*}(4)\cap \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )=\phi ^{-1}(\operatorname {SO} (5,1))\cap \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )$

다시 말해, 이는 (5,1)차원 민코프스키 공간의 4차원 (왼쪽 또는 오른쪽) 바일 스피너의 실수 선형 변환 가운데, (5,1)차원 로런츠 변환에 속하는 것들이다.

참고 문헌

• Naimark, M. A.; Farahat, H. K. (1964). 《Linear Representations of the Lorentz Group》. International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics (영어) 63. doi:10.1016/B978-0-08-010155-2.50001-1. ISBN 978-0-08-010155-2. 

외부 링크

• Garrett, Paul (2015년 5월 7일). “Sporadic isogenies to orthogonal groups” (PDF) (영어).