전순서

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순서론에서, 어떤 이항 관계가 집합 S에 대해 전순서(全順序, 영어: total order)라는 것은, 그 이항 관계가 집합 S의 모든 두 원소에 대해 순서를 정의할 수 있다는 것이다.

정의[편집]

집합 X 위의 전순서 \le\subset X\times X는 다음 성질들을 만족시키는 이항 관계이다. 임의의 a,b,c\in X에 대하여,

전순서가 주어진 집합을 전순서 집합(全順序集合, 영어: totally ordered set) 또는 사슬(영어: chain)이라고 한다. 보통 "사슬"은 부분 순서 집합에 포함된 전순서 부분 집합을 가리킬 때 쓴다.

성질[편집]

부분 순서는 전순서에서 완전성 조건 대신 더 약한 조건인 반사성으로 대체한 경우로, 즉 어떤 서로 다른 두 원소에 대해 이항관계가 없을 수도 있는 경우를 포함한다. 즉, 전순서는 항상 부분순서가 되며, 어떤 부분순서가 모든 원소에 대해 비교가 가능할 경우('완전'할 경우) 전순서가 된다.

모든 정렬 순서는 전순서이다.

어떤 전순서 집합 (X,\le)에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

  • X유리수의 전순서 집합과 순서 동형이다.
  • X는 다음 세 조건들을 만족시킨다.

어떤 전순서 집합 (X,\le)에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

마지막 조건을 약화시키면 수슬린 가설을 얻는데, 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적인 명제이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

[편집]

모든 순서체는 전순서 집합이다. 예를 들어, 실수체 \mathbb R, 유리수체 \mathbb Q 등은 표준적인 순서를 부여하면 전순서 집합을 이룬다. 정수환 \mathbb Z나 자연수의 모노이드 \mathbb N 역시 전순서 집합이다. 이들 집합 가운데, 자연수의 집합을 제외한 나머지는 정렬 집합이 아니다.

바깥 고리[편집]