전순서

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순서론에서, 전순서(全順序, 영어: total order)는 모든 두 원소를 비교할 수 있는 부분순서이다.

정의[편집]

집합 X 위의 전순서 \le\subset X\times X는 다음 성질들을 만족시키는 이항 관계이다. 임의의 a,b,c\in X에 대하여,

부분순서는 전순서에서 완전성 조건 대신 더 약한 조건인 반사성으로 대체한 경우로, 즉 어떤 서로 다른 두 원소에 대해 이항관계가 없을 수도 있는 경우를 포함한다. 즉, 전순서는 항상 부분순서가 되며, 어떤 부분순서가 모든 원소에 대해 비교가 가능할 경우('완전'할 경우) 전순서가 된다.

전순서가 주어진 집합을 전순서집합(全順序集合, 영어: totally ordered set) 또는 사슬(영어: chain)이라고 한다. 보통 "사슬"은 부분순서집합에 포함된 전순서 부분집합을 가리킬 때 쓴다.

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모든 순서체는 전순서집합이다. 예를 들어, 실수체 \mathbb R, 유리수체 \mathbb Q 등은 표준적인 순서를 부여하면 전순서집합을 이룬다. 정수환 \mathbb Z나 자연수의 모노이드 \mathbb N 역시 전순서집합이다.

모든 정렬순서는 전순서이다. 정수나 실수, 유리수의 표준적인 순서는 전순서이지만 정렬순서가 아니다.

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