결정 코호몰로지

대수기하학에서 결정 코호몰로지(結晶cohomology, 영어: crystalline cohomology, 프랑스어: cohomologie cristalline)는 양의 표수를 가지는 가환환 위에서 푸앵카레 보조정리를 모방하려 만들어진 코호몰로지 이론이다.

정의

결정 열린 몰입

스킴 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$ 속으로의 결정 열린 몰입(영어: crystalline open immersion) $(U,T,\delta )$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 스킴 $(U,{\mathcal {O}}_{U})$
• (자리스키) 열린 몰입 $U\hookrightarrow X$
• $U$의 (자리스키) 닫힌 부분 스킴 $T$. 이는 물론 어떤 준연접 ${\mathcal {O}}_{U}$-아이디얼 층 ${\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{U}$를 정의한다.
• $\delta$는 $(U,{\mathcal {I}})$ 위의 분할 거듭제곱 구조이다. 즉, $(U,{\mathcal {I}},\delta )$는 분할 거듭제곱 스킴을 이룬다.

결정 위치

다음이 주어졌다고 하자.

• 분할 거듭제곱 스킴 $(S,{\mathcal {I}},\gamma )$
• 스킴 $X$ 및 스킴 사상 $X\to S$

(작은) 결정 위치(-結晶位置, 영어: (small) crystalline site) $\operatorname {Cris} (X/S)$는 범주로서 다음과 같다.

• $\operatorname {Cris} (X/S)$의 대상은 $X$ 속으로의 결정 열린 몰입 $(U,T,\delta )$ 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
  • $U$와 $T$는 위상 공간으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다.
• $\operatorname {Cris} (X/S)$의 사상은 분할 거듭제곱 스킴의 사상 $(U,T,\delta )\to (U',T',\delta ')$ 가운데, 밑 분할 거듭제곱 스킴 $(S,{\mathcal {I}},\gamma )$로의 사상들이 적절히 가환하는 것이다.

이 위에, 통상적인 방법으로 그로텐디크 위상을 주어 위치로 만들 수 있다.

유사하게, 다음과 같은 큰 결정 위치(영어: big crystalline site) $\operatorname {CRIS} (X/S)$를 정의할 수 있다. 이는 작은 범주를 이루지 못한다.

• $\operatorname {CRIS} (X/S)$의 대상은 분할 거듭제곱 스킴 사상 $(U,T,\delta )\to (S,{\mathcal {I}},\gamma )$ 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
  • $U$와 $T$는 위상 공간으로서 같으며, 오직 구조층만이 다를 수 있다.
• $\operatorname {CRIS} (X/S)$의 사상은 분할 거듭제곱 스킴의 사상 $(U,T,\delta )\to (U',T',\delta ')$ 가운데, 밑 분할 거듭제곱 스킴 $(S,{\mathcal {I}},\gamma )$로의 사상들이 적절히 가환하는 것이다.

이 위에, 통상적인 방법으로 그로텐디크 위상을 주어 위치로 만들 수 있다.

작은 결정 위치 위의 층의 층 코호몰로지 군

$\operatorname {H} ^{i}(\operatorname {Cris} (X/S);{\mathcal {F}})$

을 결정 코호몰로지라고 한다.

결정

다음이 주어졌다고 하자.

• 스킴 사상 $X\to S$. 이를 통해 결정 위치 $\operatorname {Cris} (X/S)$를 정의할 수 있다.
• 결정 위치 $\operatorname {Cris} (X/S)$ 위의 ${\mathcal {O}}_{X/S}$-가군층 ${\mathcal {F}}$

그렇다면, $\operatorname {Cris} (X/S)$ 속의 임의의 두 대상 $(U,T,\delta )$, $(U',T',\delta ')$ 사이의 사상

$f\colon (U,T,\delta )\to (U',T',\delta ')$

에 대하여, 자연스러운 사상

$f^{*}{\mathcal {F}}_{T}\longrightarrow {\mathcal {F}}_{T'}$

이 존재한다. 만약 이 사상이 항상 $\operatorname {Cris} (X/S)$의 동형 사상이라면, ${\mathcal {F}}$를 결정(結晶, 영어: crystal 크리스털^[*])이라고 한다. 이는 $X/S$에 있는 결정 구조에 ${\mathcal {F}}$가 “자연스럽게 배여 있다”는 것이다.

구조층 ${\mathcal {O}}_{X/S}$ 자체는 $\operatorname {Cris} (X/S)$ 위의 결정을 이룬다.

성질

적분 가능 접속

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• 분할 거듭제곱 환 $(R,{\mathfrak {I}},\gamma )$
• 환 준동형 $f\colon K\to R$
• $R$-가군 $M\in \operatorname {Mod} _{R}$

$M$ 속의 접속(接續, 영어: connection)이란 다음 조건을 만족시키는 가군 준동형

$\nabla \colon M\to \Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{1}\otimes _{R}M$

이다.

$\nabla (rm)=r\nabla m+m\otimes _{B}\mathrm {d} r\qquad \forall m\in M,\;r\in R$

여기서 $\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{1}$는 $(R,{\mathfrak {I}},\gamma )$ 위의 분할 거듭제곱 미분 가군이다.

이 경우, 항등식

$\nabla (m\otimes _{R}\omega )=\nabla m\wedge \omega +m\otimes _{R}\mathrm {d} \omega \qquad (m\in M,\;\omega \in \Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{\bullet })$

를 통해 임의의 차수 미분 형식들에 대한 미분

$\nabla \colon M\otimes _{R}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{\bullet }\to M\otimes _{R}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{\bullet +1}$

을 정의할 수 있다.

만약 이 연산이 멱영 연산이라면, 즉, 만약

$M\otimes _{R}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{0}{\xrightarrow {\nabla }}M\otimes _{R}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{1}{\xrightarrow {\nabla }}M\otimes _{R}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{2}\to \dotsb$

가 사슬 복합체라면, 접속 $\nabla$를 $M$ 속의 적분 가능 접속(積分可能接續, 영어: integrable connection)이라고 한다.

결정 위의 적분 가능 미분

결정 위에는 표준적인 적분 가능 미분이 존재하며, 따라서 드람 복합체를 구성할 수 있다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

• 분할 거듭제곱 스킴 $(S,{\mathcal {I}},\gamma )$
• 스킴 $X$ 및 스킴 사상 $X\to S$
• $X$의 결정 열린 부분 스킴 $(U,T,\delta )\in \operatorname {Cris} (X/S)$
• $\operatorname {Cris} (X/S)$ 위의 결정 ${\mathcal {F}}$

그렇다면,

${\mathcal {O}}_{T'}:={\mathcal {O}}_{T}\otimes \Omega _{T,\delta }^{1},(U(1),T(1),\delta (1))=(U,T,\delta )\times _{(S,I,\gamma )}(U,T,\delta )$

로 정의하고, $p_{0},p_{1}\colon T(1)\to T$로 사영을 잡았을 때,

$p_{0}^{*}{\mathcal {F}}_{T}{\overset {c_{0}}{\longrightarrow }}{\mathcal {F}}_{T'}{\overset {c_{1}}{\longleftarrow }}p_{1}^{*}{\mathcal {F}}_{T}$

를 생각할 수 있으며, 양 화살표는 가정에 의해서 모두 동형 사상이다.

$s\in \Gamma (T,{\mathcal {F}}_{T})$를 생각하면

$\nabla (s)=p_{1}^{*}s-c(p_{0}^{*}s)$

로 정의하자. 여기에서 $c=c_{1}^{-1}\circ c_{0}$다. 이것은 보통 접속을 정의할 때 쓰는 리 미분 $\nabla _{X}(Y)=XY-YX$를 모방한 것이다. 그러면 이는

$\nabla \colon \Gamma (T,{\mathcal {F}}_{T})\longrightarrow \Gamma (T,{\mathcal {F}}_{T}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X/S}}\Omega _{T/X,\delta }^{1})$

를 만들고, 이는 적분 가능 접속이 된다.

미분은 당연히 다항식에서 해야 하고, 표수는 불편하니 다음을 정의하자. $(A,I,\gamma )$가 분할 거듭제곱 환이고 $A\to B$가 환 준동형이라면 적당한 $P=A[x_{i}]$를 잡아서 $P\to C$가 전사 준동형이 되도록 하자. 그리고 그 핵을 $J$라고 하면

$D=\varprojlim _{e}D_{B,\gamma }(J)/p^{e}D_{B,\gamma }(J)$

를 정의할 수 있다. 그렇다면, 여기 위에서 적절한 성질을 가진 적분 가능 접속과 $X/S$의 (결정 위치에서) 준연접층은 서로 일대일 대응한다.

푸앵카레 보조정리

다음을 생각하자.

• 가환환 $K$
• 유한 집합 $I$
• $K$계수의, $I$개 변수 분할 거듭제곱 다항식환 $P=K\langle (x_{i})_{i\in I}\rangle$
• $K$ 위의 임의의 가군 $M$

그렇다면, 분할 거듭제곱 드람 복합체 $\Omega _{P/K}^{\bullet }$의 각 항에 $M$의 텐서곱을 취하여도, 이는 완전열을 이룬다. 즉, 다음과 같은 완전열이 존재한다.

$0\to M\to M\otimes _{K}\Omega _{P/K}^{1}\to M\otimes _{K}\Omega _{P/K}^{2}\to M\otimes _{K}\Omega _{P/A}^{3}\to \cdots$

이 완전열의 존재는 일종의 “푸앵카레 보조정리”에 해당하며, 반면 일반 다항식환 $A[x_{i}]$의 경우에는 성립하지 않는다 ($(x^{n})'=nx^{n-1}$이기 때문).

보다 일반적으로, 다음을 생각하자.

• 가환환 $K$
• 분할 거듭제곱 환 $(R,{\mathfrak {I}},\gamma )$ 및 환 준동형 $f\colon K\to R$
• $R$ 위의 분할 거듭제곱 다항식환 $P=R\langle (x_{i})_{i\in I}\rangle$
• $R$ 위의 가군 $M$
• $M$ 위의 적분 가능 접속 $\nabla \colon M\to M\otimes _{R}\Omega _{R/K,\delta }^{1}$

그렇다면, $P$ 속의 아이디얼

${\mathfrak {J}}={\mathfrak {I}}P+P_{+}$

를 생각하자. 여기서 $P_{+}\subseteq P$는 양의 차수 항들로 구성된 $P$의 부분 집합이다. 또한, $(P,{\mathfrak {J}})$ 위에 자명한 분할 거듭제곱 구조 $\delta$를 부여한다.

그렇다면, $K$-가군 범주의 유도 범주 $\operatorname {D} (\operatorname {Mod} _{K})$ 안에서

$M\otimes _{R}\Omega _{R/K,\gamma }^{\bullet }{\xrightarrow {\sim }}M\otimes _{P}\Omega _{P/K,\delta }^{\bullet }$

이라는 유사 동형 사상이 있다 (즉, 이는 코호몰로지 군 사이의 동형을 정의한다).

결정 코호몰로지와 분할 거듭제곱 드람 코호몰로지의 비교

이제 다음을 생각하자. $X/S$의 결정 위치를 $\mathrm {Cris} (X/S)$로 표기하자.

$D(n)=\prod ^{n}D$

그러면 $D(0)\longrightarrow D(1)\longrightarrow \cdots$는 $\mathrm {R} \Gamma (\mathrm {Cris} (X/S),{\mathcal {F}})$하고 유사동형사상이다. 이는 마치 체흐 신경과 비슷한 역할을 한다. 이것과 드람 복합체와의 스펙트럼 열을 계산하면 ${\mathcal {F}}$를 결정 위치에서 준연접층이라고 하고 $M$를 ${\mathcal {F}}$하고 대응되는 p진으로 완벽한 $D$-가군이라고 하면 $\mathrm {R} \Gamma (\mathrm {Cris} (X/S),{\mathcal {F}})$는 대응되는 적분 가능 접속으로 만들어지는 $M\otimes _{D}\Omega _{D}^{*}$하고 유사 동형이 된다. 즉, 결정 코호몰로지 군을 계산하는 것이란 곧 드람 복합체를 계산하는 것과 동치이다.

역사

알렉산더 그로텐디크가 1966년에 도입하였다. 이후 피에르 베르틀로(프랑스어: Pierre Berthelot)가 그 이론에 공헌하였다.

응용

결정 코호몰로지는 대수적 수론에서 중요한 역할을 한다.

어떤 유한체 $\mathbb {F} _{q}$ 위의 스킴 $X/\mathbb {F} _{q}$가 주어졌을 때, 그냥 결정 코호몰로지 군 $\operatorname {H} _{\mathrm {cris} }^{i}(X/\mathbb {F} _{q},{\mathcal {O}}_{X})$를 계산하는 것은 별로 도움이 되지 않는다. 이는 정수론도 그냥 다항식을 쓰는데, 결정 코호몰로지는 위에서 확인한 바에 의하면 $A\langle x_{i}\rangle$만이 진짜 미분을 정의하고 따라서 결정 코호몰로지 군을 계산하는 것도 이것이기 때문이다.

하지만 표수가 커지면 커질수록 $A\langle x_{i}\rangle$는 $A[x_{i}]$와 “가까워진다”. 따라서, 비트 벡터를 생각해서

$\operatorname {H} _{\mathrm {cris} }^{i}(X):=\varprojlim H_{\mathrm {cris} }^{i}(X/W_{n}(\mathbb {F} _{q}),{\mathcal {O}}_{X})$

를 생각할 수 있고, 이것을 $\ell =p$일 때의 코호몰로지로 에탈 코호몰로지 대신 쓸 수 있다.

외부 링크

• “Crystalline cohomology”. 《nLab》 (영어). 
• “Crystalline cohomology” (PDF). 《The Stacks Project》 (영어). 컬럼비아 대학교. 2016년 4월 10일.