르베그 덮개 차원

일반위상수학에서 르베그 덮개 차원(-次元, 영어: Lebesgue covering dimension) 또는 르베그 피복 차원(-被覆次元) 또는 위상적 차원(영어: topological dimension)은 위상 공간을 얼마나 ‘효율적으로’ 덮을 수 있는지를 측정하는 정수 값 불변량이다.

정의

위상 공간 $X$의 르베그 덮개 차원 $\dim X$는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 $n\geq -1$이다.

• 임의의 유한 열린 덮개 ${\mathcal {U}}$에 대하여, $\max _{x\in X}|\{C\in {\mathcal {C}}\colon x\in C\}|\leq n+1$인 ${\mathcal {U}}$의 열린 세분 ${\mathcal {C}}$가 존재한다.

만약 위 조건을 만족시키는 정수가 없다면, $\dim X=\infty$로 정의한다. 위 정의에서, “유한 열린 덮개”를 “국소 유한 열린 덮개”로 대체하여도 원래의 정의와 동치이다.^{:Theorem 1}

성질

단체 복합체의 경우, 르베그 덮개 차원과 아핀 차원은 일치한다. (르베그 덮개 정리)

임의의 위상 공간의 르베그 덮개 차원은 큰 귀납적 차원보다 적거나 같다.

정규 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 르베그 덮개 차원 $\dim X\leq n$
• $X$의 임의의 닫힌 집합 $A\subset X$ 및 연속 함수 $f\colon A\to S^{n}$에 대하여, $f$의 $X$에 대한 확장 $g\colon X\to S^{n}$이 존재한다. ($S^{n}$은 초구)

위상 공간 $X$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여, 만약 $Y$가 닫힌집합이거나,^{:11, Proposition 2.11} $X$가 완전 정규 공간이라면, 다음이 성립한다.

$\dim Y\leq \dim X$

정규 공간 $X$ 및 부분 집합 $Y,Z\subseteq X$에 대하여, 만약 $X=Y\cup Z$라면, 다음이 성립한다.^{:25, Proposition 4.8} (르베그 덮개 차원에 대한 우리손 부등식)

$\dim(Y\cup Z)\leq \dim Y+\dim Z+1$

위상 공간 $X,Y$가 다음 조건들 가운데 하나를 만족시킨다면, 부등식

$\dim(X\times Y)\leq \dim X+\dim Y$

이 성립한다.

• $X,Y$는 콤팩트 공간이다.^{:214, Theorem 4}
• $X$는 콤팩트 하우스도르프 공간이며, $Y$는 정규 하우스도르프 공간이며, $X\times Y$는 정규 공간이다.^{:208, Theorem 3.4.6}
• $X$는 거리화 가능 공간이며, $Y$는 정규 하우스도르프 공간이며, $X\times Y$는 정규 공간이다.^{:209–210, Theorem 3.4.9}

두 번째 조건에 따라, 다음 조건을 만족시킬 경우 위 부등식이 성립한다.

• $X$는 콤팩트 하우스도르프 공간이며, $Y$는 파라콤팩트 하우스도르프 공간이다.^{:207, Theorem 3.4.4}

세 번째 조건에 따라, 다음 조건을 만족시킬 경우 부등식이 성립한다.

• $X,Y$는 거리화 가능 공간이다.^{:219, Theorem 8}

정규 하우스도르프 공간 $X$와 그 스톤-체흐 콤팩트화의 르베그 덮개 차원은 일치한다.^{:182, Exercise 3.1.J}

$\dim \beta X=\dim X$

예

$n$차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$의 르베그 덮개 차원은 $n$이다. 보다 일반적으로, 임의의 $n$차원 다양체의 르베그 덮개 차원은 $n$이다.

공집합이 아닌 이산 공간 및 비이산 공간의 르베그 덮개 차원은 0이다.

르베그 덮개 차원이 $-1$인 공간은 공집합밖에 없다.

조르겐프라이 직선 $S$의 르베그 덮개 차원은 0이다. 그러나 조르겐프라이 평면 $S\times S$의 르베그 덮개 차원은 $\infty$이다.^{:2, Theorem 1}

$\dim S=0$

$\dim S\times S=\infty$

역사

앙리 르베그의 연구 결과에 바탕하여 체코의 수학자 에두아르트 체흐가 처음으로 공식적으로 도입하였다.

참고 문헌

• Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
• Menger, Karl (1928). 《Dimensionstheorie》 (독일어). 라이프치히: B. G. Teubner. 
• Pears, A. R. (1975). 《Dimension Theory of General Spaces》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8. 
• V.V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.

외부 링크

• “Lebesgue dimension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lebesgue dimension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 귀납적 차원