클리퍼드 군

이차 형식 이론에서, 클리퍼드 군(Clifford群, 영어: Clifford group)은 클리퍼드 대수의 특별한 가역원들로 구성되는 군이며, 직교군의 특정한 확대이다.

정의

국소 동차 원소

가환환 $K$가 주어졌을 때, $\mathbb {Z} /2$-등급 $K$-대수 $A$의 원소 $a\in A$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원소를 국소 동차 원소(영어: locally homogeneous element)라고 한다.^{:233, Lemma 5.1.4:149, §III.6.1}

• $(1-k)a\in A_{0}$, $ka\in A_{1}$인 원소 $k\in K$가 존재한다.
• 모든 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} K$에 대하여, $a\in A\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}}$는 동차 원소이다. 여기서 $\operatorname {Spec} K$는 환의 스펙트럼이며, $K_{\mathfrak {p}}$는 $K\setminus {\mathfrak {p}}$에서의 가환환의 국소화이다.
• 모든 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}$에 대하여, $a\in A\otimes _{K}K_{\mathfrak {m}}$는 동차 원소이다. 여기서 $K_{\mathfrak {m}}$는 $K\setminus {\mathfrak {m}}$에서의 가환환의 국소화이다.

(물론 $K$가 체인 경우, 모든 국소 동차 원소는 동차 원소이다.) 국소 동차 원소들은 곱셈에 대하여 닫혀 있으며, 만약 가역원이라면 그 역원 역시 국소 동차 원소이다. 따라서 국소 동차 가역원들의 군 $\operatorname {Unit_{lh}} (A)$은 $A$의 가역원군 $\operatorname {Unit} (A)$의 부분군을 이룬다.

$\operatorname {Unit} (A_{0})\subseteq \operatorname {Unit_{lh}} (A)\subseteq \operatorname {Unit} (A)$

국소 동차 가역원 $a\in A$가 주어졌으며, $k\in K$가 위 조건에 의하여 존재하는 환 원소라고 할 때, $A=(1-k)A\oplus kA$이며, 다음과 같은 $A$-자기 동형을 정의할 수 있다.^{:234:158, §III.6.5}

$\Theta _{a}\colon A\to A$

$\Theta _{a}\colon b\mapsto (1-k)xax^{-1}+kx\alpha (a)x^{-1}$

여기서

$\alpha \colon (a_{0}+a_{1})\mapsto (a_{0}-a_{1})\qquad \forall a_{0}\in A_{0},a_{1}\in A_{1}$

는 $\mathbb {Z} /2$ 등급에 의하여 정의되는 자기 동형이다.

클리퍼드 군

가환환 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cliff} (V,Q)$의 클리퍼드 군(영어: Clifford group)

$\Gamma (V,Q;K)\subseteq \operatorname {Unit_{lh}} \left(\operatorname {Cliff} (V,Q)\right)$

은 다음과 같은 원소 $x\in \operatorname {Cliff} (V,Q)$로 구성된, 가역원군의 부분군이다.^{:228, §IV.6.1}

• $x$는 가역원이며 국소 동차 원소이다.
• $\Theta _{x}(V)\subseteq V$이다.
• 모든 $v\in V$에 대하여, $Q(\Theta _{x}(v))=Q(v)$이다.

즉, 클리퍼드 군은 클리퍼드 군의 가역원군 속의, 직교 변환을 정의하는 원소이다.

가환환 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cliff} (V,Q)$의 특수 클리퍼드 군(영어: special Clifford group)

$\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)\subseteq \Gamma (V,Q;K)\subseteq \operatorname {Unit} \left(\operatorname {Cliff} (V,Q)\right)$

은 다음과 같다.^{:228, §IV.6.1}

$\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)=\Gamma (V,Q;K)\cap \operatorname {Cliff} _{0}(V,Q;K)$

즉, 특수 클리퍼드 군은 클리퍼드 군 가운데, 짝수 등급을 갖는 부분군이다.

스핀 군과 핀 군

클리퍼드 군 $\Gamma (\operatorname {Cliff} (V,Q;K))$의 원소 가운데, 다음과 같은 부분군을 핀 군(영어: pin group)이라고 한다.^{:230, §IV.6.2}

$\operatorname {Pin} (V,Q;K)=\left\{x\in \Gamma (V,Q;K)\colon \alpha (x)x=1\right\}$

마찬가지로, 다음과 같은 부분군을 스핀 군(영어: spin group)이라고 한다.^{:230, §IV.6.2}

$\operatorname {Spin} (V,Q;K)=\operatorname {Pin} (V,Q;K)\cap \operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)$

성질

$K=\mathbb {R}$이며, $V$가 $n$차원 실수 벡터 공간이며, $Q$가 비퇴화 이차 형식일 때, $\operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )$의 가역원군 $\operatorname {Unit} (\operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} ))$은 $2^{n}$차원 리 군을 이룬다. 만약 $Q$가 음의 정부호 이차 형식이라면, $\Gamma (\operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} ))$는 두 개의 연결 성분을 가지며, 단위원을 포함하는 성분 $\Gamma _{0}(\operatorname {Cliff} (V,Q))$는 지표 2의 부분군이다. 또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to \mathbb {R} ^{\times }\to \Gamma \to \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )\to 1$

$1\to \mathbb {R} ^{\times }\to \Gamma _{0}\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\to 1$

즉, $\Gamma (\operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} ))$는 $n(n-1)/2+1$차원 리 군이다. 전체 가역원군 $\operatorname {Unit} (\operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} ))$은 $2^{n}$차원 리 군이므로, 이는 여차원 $2^{n}-n(n-1)/2-1$의 부분군이다.

직교군과의 관계

정의에 따라, 클리퍼드 군 $\Gamma (\operatorname {Cliff} (V,Q))$는 $V$ 위의 $K$-선형 표현을 갖는다. 이 작용은 이차 형식 $Q$를 보존하며, 따라서 직교군

$\operatorname {O} (V,Q;K)=\{f\in \operatorname {End} _{K}(V)\colon Q\circ f=Q\}$

으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

$\Gamma (V,Q;K)\to \operatorname {O} (V,Q;K)$

클리퍼드 군 $\Gamma (\operatorname {Cliff} (V,Q))$는 $\{v\in V\colon Q(v)\in \operatorname {Unit} (K)\}$를 부분 집합으로 포함한다 ($\operatorname {Unit} (K)$는 $K$의 가역원군). 이 경우

$v^{-1}={\frac {v}{Q(v)}}$

$vu\alpha (v)^{-1}=-{\frac {vuv}{Q(v)}}={\frac {v^{2}u-v(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))}{Q(v)}}=u-v{\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}}\qquad \forall u\in V$

이다. 즉, $v\in V$의 작용은 $u$를 축 $v$에 대하여 반사시키는 것이다.

딕슨 불변량

$K$가 체이며, $V$가 유한 차원 벡터 공간이며, $Q$가 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 핀 군 위에는 다음과 같은 딕슨 불변량(영어: Dickson invariant)이라는 군 준동형이 존재한다.

$D\colon \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2$

$D\colon x\mapsto \operatorname {rank} (u\mapsto u-xu\alpha (x)^{-1}){\bmod {2}}$

즉, 이는 $u$로 인하여 생성되는 $V$-선형 변환 빼기 1의 계수이다. 만약 $K$의 표수가 2가 아니라면 딕슨 불변량은 다음과 같이 행렬식으로 주어진다.

$D(x)=(-1)^{\det(u\mapsto xu\alpha (x)^{-1})}$

핀 군의, 딕슨 불변량이 0인 정규 부분군은 스핀 군과 같다.

$\operatorname {Spin} (V,Q;K)=\ker D=\{x\in \operatorname {Pin} (V,Q;K)\colon D(x)=0\}$

(스)핀 군은 다음과 같은 군의 완전열에 등장한다.

$1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \operatorname {O} (V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}$

$1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Spin} (V,Q;K)\to \operatorname {SO} (V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}$

(여기서 $\{pm1\}$은 $\operatorname {char} K=2$일 경우 자명군이며, 아닐 경우 크기 2의 순환군이다.)

참고 문헌

• Porteous, Ian R. (1995년 10월). 《Clifford algebras and the classical groups》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 50. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511470912. ISBN 978-0-521-55177-9. MR 1369094. Zbl 0855.15019. 

바깥 고리

• “Clifford algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.