반 더시터르 공간

반 더 시터르 공간(反 de Sitter 空間, 영어: anti–de Sitter space, 기호 AdS)은 최대 대칭적(maximally symmetric)이고, 음의 스칼라 곡률을 갖는 로렌츠 다양체다. 쌍곡공간을 임의의 부호수에 대하여 일반화한 것이다. (더 시터르 공간은 최대대칭적이고 양의 스칼라 곡률을 갖는 다양체다.) 빌럼 더 시터르의 이름을 땄다.

반 더 시터르 공간은 음의 우주상수를 가지는 일반 상대성 이론의 진공해를 이루며, 또 끈 이론에서 AdS/CFT 대응성에 중요한 역할을 한다.

정의

부호수가 $(p,q)$인 반 더 시터르 공간은 부호수가 $(p,q+1)$인 민코프스키 공간에 국소적 등거리 묻기가 가능하다. $(p,q+1)$-민코프스키 공간의 계량 형식은

$ds^{2}=\sum _{i=1}^{p}dx_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}dt_{j}^{2}$

이다. 이 때, 반 더 시터르 공간은 다음 식을 만족하는 부분공간으로 정의할 수 있다.

$\sum _{i=1}^{p}x_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}t_{j}^{2}=-\alpha ^{2}$

여기서 $\alpha >0$는 양의 실수로, 반 더 시터르 반지름(영어: anti-de Sitter radius)이라고 불린다. 즉, 반 더 시터르 공간은 민코프스키 공간에서의 구이다. 이 때, $q=0$이면 이는 일반적인 쌍곡공간이 된다.

$q\geq 1$인 경우, 이 등거리묻기를 전역적으로 생각하여 정의한 부분공간은 시간꼴 폐곡선을 지닌다. $q=1$인 경우, 이는 전피복공간을 취하여 시간꼴 폐곡선을 없앨 수 있다. ($q>1$인 경우는 그렇지 않다.) 시간꼴 폐곡선은 물리학적으로 역설적이므로, 일반적으로 물리학에서 "반더 시터르 공간"이라면 전피복공간을 취한 경우를 일컫는다.

반 더 시터르 공간은 전피복공간을 취하지 않은 경우 등거리변환군이 $O(p,q+1)$이다. 전피복공간을 취하였다면, 등거리변환군은 $O(p,q+1)$의 어떤 피복군이 된다.

성질

$d$차원 (로런츠 계량 부호수) 반 더 시터르 공간의 리만 곡률은 다음과 같다. ($-++\dotsb +$ 부호수를 사용한다.)

$R_{\mu \nu \rho \sigma }=\alpha ^{-2}(g_{\mu \sigma }g_{\nu \rho }-g_{\mu \rho }g_{\nu \sigma })$

따라서 리치 곡률과 스칼라 곡률은 다음과 같다.

$R_{\mu \nu }=-(d-1)\alpha ^{-2}g_{\mu \nu }$

$R=-d(d-1)\alpha ^{-2}$.

이로부터 반 더 시터르 공간은 우주 상수

$\Lambda =-{\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)\alpha ^{-2}$

인 아인슈타인 방정식의 해임을 알 수 있다.

등각 경계

반 더 시터르 공간은 시간꼴(timelike) 등각 경계(영어: conformal boundary)를 가진다. n차원 반 더 시터르 공간의 등각 경계는 위상수학적으로 $S^{n-1}\times S^{1}$이고, 전피복공간을 취하였을 경우 위상수학적으로 $S^{n-1}\times \mathbb {R}$이다. 등각 경계가 시간꼴이므로, 반 더 시터르 공간은 코시 곡면(Cauchy surface)을 가지지 않는다. 즉, 주어진 시간에 초기 조건을 부여하더라도, 등각 경계에 경계 조건을 부여하지 않으면 초기값 문제를 풀 수 없다.

특히, 빛의 속력의 입자는 반 더 시터르 공간의 등각 경계에 유한 시간 안에 도달할 수 있다. 정적 좌표계를 사용하고, 입자의 궤적이 $r(t)$라고 하자. 입자가 빛의 속력으로 움직이므로

$0=ds^{2}=-(r^{2}/\alpha ^{2}+1)dt^{2}+(r^{2}/\alpha ^{2}+1)^{-1}dr^{2}$

이고, 따라서

$t(r)=\int {\frac {dr}{1+r^{2}/\alpha ^{2}}}=\alpha \arctan(r/\alpha )$

이다. 즉,

$r(t)=\alpha \tan(t/\alpha )$

이다. 원점 $r=0$에서 등각 경계 $r=\infty$에 도달하기 위해 필요한 시간은

$t={\frac {\pi }{2}}\alpha$

임을 알 수 있다.

반 더 시터르 공간의 푸앵카레 조각(영어: Poincaré patch)은 푸앵카레 좌표계로 나타낼 수 있는 부분공간이다. 푸앵카레 조각의 등각 경계는 n−1차원 민코프스키 공간이며, AdS_n의 등거리사상군 SO(n−1,2)는 이 민코프스키 공간의 등각변환군으로 작용한다. 이는 AdS/CFT 대응성에 핵심적인 역할을 한다.

좌표계

반 더 시터르 공간에는 여러 좌표계를 정의할 수 있다. 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.

푸앵카레 좌표계

반 더 시터르 공간(의 전피복공간)의 형상화. 반 더 시터르 공간은 원기둥의 내부에 해당하고, 그 등각 경계는 원기둥의 표면이다. 푸앵카레 조각은 녹색으로 칠해진 부분이다. 푸앵카레 조각의 표면은 마름모꼴인데, 이는 민코프스키 공간의 펜로즈 그림에 해당한다.

푸앵카레 좌표계(영어: Poincaré coordinates)를 사용하면 AdS_n의 계량 텐서는 다음과 같다.

$ds^{2}={\frac {1}{z^{2}}}\left(-dt^{2}+dz^{2}+\sum _{i=1}^{n-2}(dx^{i})^{2}\right)$

반 더 시터르 공간의 경계는 $z=0$에 위치해 있다.

푸앵카레 좌표계는 반 더 시터르 공간의 전체를 덮지 않는다. 하나의 푸앵카레 좌표계로 나타낼 수 있는 부분공간을 푸앵카레 조각(영어: Poincaré patch)이라고 한다. 전피복공간을 취하지 않았을 경우 반 더 시터르 공간은 두 개의 푸앵카레 조각으로 이루어진다.

정적 좌표계

정적 좌표계(영어: static coordinates)를 사용하면 AdS_n의 계량 텐서는 다음과 같다.

$ds^{2}=-(r^{2}/\alpha ^{2}+1)dt^{2}+(r^{2}/\alpha ^{2}+1)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{n-2}^{2}$

반 더 시터르 공간의 경계는 $r=\infty$에 위치해 있다. 이 좌표계는 반 더 시터르 공간 전체를 덮는다.

동시 좌표계

동시 좌표계(영어: synchronous coordinate)를 통해, 반 더 시터르 공간 AdS_n을 쌍곡공간 H_n−1로 엽층화(foliation)할 수 있다. 이는 FLRW 계량의 특수한 경우다.

$ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sin ^{2}(t/\alpha )\left(ds^{2}+(\sinh ^{2}s)d\Omega _{n-2}^{2}\right)$

$=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sin ^{2}(t/\alpha )\left({\frac {dr^{2}}{1+r^{2}/\alpha ^{2}}}+r^{2}d\Omega _{n-2}^{2}\right)$

이 좌표계는 반 더 시터르 공간의 일부만을 덮는다.

반 더 시터르 공간 위에서의 양자장론

반 더 시터르 공간에서의 양자장론은 민코프스키 공간이나 더 시터르 공간과 구별되는 여러 다른 특성을 가진다.

초대칭

더 시터르 공간에서는 초대칭이 존재할 수 없다. 그러나 반 더 시터르 공간과 민코프스키 공간에서는 초대칭이 존재할 수 있다. 반 더 시터르 공간에서는 민코프스키 공간에서 존재하지 않는 초다중항이 있는데, 이들을 일중항(영어: singlet) 표현이라고 한다.

특히, 다음과 같은 차원에서는 32개의 초전하를 가지는 초대칭이 존재하며, 이 경우 일중항 표현은 다음과 같다.

공간	초군(supergroup)	초군의 보손 부분군	대응하는 막	일중항
AdS4×S7	OSp(8|4)	SO(3,2)×SO(8)	M2-막	스칼라 (×8), 스피너 (×8)
AdS5×S5	PSU(2,2|4)	SO(4,2)×SO(6)	D3-막	벡터 (×1), 스피너 (×4), 스칼라 (×6)
AdS7×S4	OSp(6,2|4)	SO(6,2)×SO(5)	M5-막	손지기(chiral) 2차 미분형식 (×2), 스피너 (×8), 스칼라 (×5)

이 가하학들은 끈 이론 또는 M이론에서 존재하는 막들의 사건 지평선 근처 기하학으로 얻을 수 있다. 위 표에서 "대응하는 막"은 이 막을 일컫는다. 이들은 AdS/CFT 대응성에서 중요한 역할을 한다.

음수 제곱 질량

민코프스키 공간에서는 불변 질량의 제곱 $m^{2}$이 항상 음이 아닌 실수이어야 한다. 제곱 질량이 음수인 경우는 타키온이라고 하며, 이는 진공의 불안정성을 나타낸다. 즉, 이러한 경우는 진공이 더 안정한, 타키온을 포함하지 않는 진공으로 붕괴하게 된다. 반면 반 더 시터르 공간에서는 제곱 질량이 음수인 경우가 가능하다. 즉, $d$차원 반 더 시터르 공간에서는 제곱 질량이

$m^{2}\geq -{\frac {(d-1)^{2}\hbar ^{2}c^{2}}{4\alpha ^{2}}}$

을 만족하면 일관적인 이론을 정의할 수 있다. 이 부등식을 브라이텐로너-프리드먼 하한(Breitenlohner–Freedman bound)이라고 하고, 페터 브라이텐로너(독일어: Peter Breitenlohner)와 대니얼 프리드먼(영어: Daniel Z. Freedman)이 1982년에 발견하였다. 만약

$-(d-1)^{2}/4\leq m^{2}c^{2}/\hbar ^{2}\leq 1-(d-1)^{2}/4$

인 경우 자유 스칼라장을 경계 조건에 따라 서로 다른 두 가지 방법으로 양자화할 수 있다. ($m^{2}>1-(d-1)^{2}/4$라면 양자화는 유일하다.)

반 더 시터르 공간에서 음수 제곱 질량이 가능하다는 사실은 AdS/CFT 대응성에서 중요한 역할을 한다.

블랙홀과 열역학

반 더 시터르 공간은 더 시터르 공간과 달리 유한한 온도를 가지지 않는다.^:579

반 더 시터르 공간 속에 존재하는 블랙홀은 최소 온도를 가진다. 이 온도는 대략

$T_{0}\sim {\frac {\hbar c}{k_{B}\alpha }}$

이다.

참고 문헌

• Gibbons, Gary W. (2000). 〈Anti-de-Sitter spacetime and its uses〉. 《Mathematical and Quantum Aspects of Relativity and Cosmology: Proceeding of the Second Samos Meeting on Cosmology, Geometry and Relativity Held at Pythagoreon, Samos, Greece, 31 August–4 September 1998》. Lecture Notes in Physics 537. Springer. 102–142쪽. arXiv:1110.1206. Bibcode:2011arXiv1110.1206G. doi:10.1007/3-540-46671-1_5. ISBN 978-3-540-66865-7. 
• Moschella, Ugo (2006). 〈The de Sitter and anti-de Sitter sightseeing tour〉. 《Einstein, 1905–2005. Poincaré Seminar 2005》. Progress in Mathematical Physics 47. Springer. 120–133쪽. doi:10.1007/3-7643-7436-5_4. ISBN 978-3-7643-7435-8. 

같이 보기

• 더 시터르 공간
• 등각 장론
• AdS/CFT 대응성