위상수학에서 폰트랴긴 특성류(Понтрягин特性類, 영어: Pontryagin class)는 실수 벡터 다발의 특성류의 하나다.[1][2] 그 복소화의 천 특성류로 정의할 수 있다.
가 매끄러운 다양체
위의
차원 실수 벡터 다발이라고 하자. 실수 벡터 다발
가
-주다발인 틀다발
의 연관 벡터 다발이라고 하자.
의 주곡률
를 정의할 수 있다. 이는 리 대수
의 값을 갖는 2차 미분 형식이다.
그렇다면 다음과 같은 생성 함수를 생각할 수 있다.
.
우변에서
가 홀수인 항들은
의 반대칭성에 의하여 사라진다.
는 미분 형식으로 간주하면
의 틀다발에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지는 천-베유 이론(Chern–Weil theory)에 따라서 틀다발에 의존하지 않는다는 사실을 보일 수 있다. 즉, 코호몰로지 원소
는 실수 벡터 다발
의 위상수학적 불변량이다. 이를
차 폰트랴긴 특성류라고 한다.
총 폰트랴긴 특성류(total Pontryagin class)
는 모든 차수들의 폰트랴긴 특성류의 합이다. 즉
![{\displaystyle p=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}(E)=\det(I+F/2\pi )\in H^{\bullet }(M,\mathbb {Q} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41745f2e36ab37fe8191fd97c80f6cd2e9f05df3)
이다.
-주다발
는 분류 공간
으로 가는 연속 함수
![{\displaystyle f\colon M\to \operatorname {BO} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b62ef416e79a825cd78f2f4c004217861670fd26)
의 호모토피류로 분류된다. 그런데 직교군은 유니터리 군의 부분군이다.
![{\displaystyle \iota \colon \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac4291e9f6c6b90e99ac78394f1deb5c6014e786)
따라서 이에 대응되는 분류 공간 사이의 함수가 존재한다.
![{\displaystyle \mathrm {B} \iota \colon \operatorname {BO} (n)\to \operatorname {BU} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1498d8bc488a0d357a6abe37218b7537019cdc6a)
(이는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다.)
위에는 천 특성류에 해당하는 코호몰로지류
![{\displaystyle c_{k}\in \operatorname {H} ^{2k}(\operatorname {BU} (n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa581d16ed63ccb068bbb75282e97d99e60a4ad)
가 존재한다. 이를 당김으로서
위에 정의할 수 있는데, 이 경우
![{\displaystyle (\mathrm {B} \iota )^{*}c_{2k+1}=0\in \operatorname {H} ^{4k+2}(\operatorname {BO} (n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a977f0713d71b63dd7f29c896c7ad1e1927bad)
이다. 즉, 짝수 차수 천 특성류만이 살아남으며, 이를 (역사적인 이유로 부호를 붙이면) 폰트랴긴 특성류라고 한다.
![{\displaystyle p_{k}=(-)^{k}(\mathrm {B} \iota )^{*}c_{2k}\in \operatorname {H} ^{4k}(\operatorname {BO} (n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4e91807c135511972666cfdee1d5680e9299e8)
이 경우,
의 폰트랴긴 특성류는 분류 공간 위의 폰트랴긴 특성류의 당김
![{\displaystyle p_{k}(E)=f^{*}p_{k}\in \operatorname {H} ^{4k}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad4eec1cfd8de87d90f911fba51600630265aa5c)
이다.
서로 위상 동형인 다양체는 같은 유리수 폰트랴긴 특성류를 갖는다.[3] 즉, 폰트랴긴 특성류는 매끄러움 구조에 의존하지 않는다.
폰트랴긴 특성류는 실수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이고, 천 특성류는 복소수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이다. 이 사이에는 일련의 관계가 존재한다.
직교군과 유니터리 군 사이에는 다음과 같은 표준적인 포함 관계가 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {O} (n)\,{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}\,\operatorname {U} (n)\,{\overset {\iota '}{\hookrightarrow }}\,\operatorname {O} (2n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f689bbeb694243d4ae458f667cb8a7ac874274b)
이는 분류 공간 사이의 연속 함수(의 호모토피류)
![{\displaystyle \operatorname {BO} (n)\,{\overset {\mathrm {B} \iota }{\hookrightarrow }}\,\operatorname {BU} (n)\,{\overset {\mathrm {B} \iota '}{\hookrightarrow }}\,\operatorname {BO} (2n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7943fe85d79d6e74ce6abd2f4c9268937a554d46)
를 정의한다. 이에 대하여, 천 특성류와 폰트랴긴 특성류 사이의 관계는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {p} _{k}=(-)(\mathrm {B} \iota )^{*}\operatorname {c} _{k}\in \operatorname {H} ^{4k}(\operatorname {BO} (n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c91c573032bfe5f0ba3df89bcca7d25627e89f)
![{\displaystyle (-)^{k}(\mathrm {B} \iota ')^{*}\operatorname {p} _{k}=\sum _{i+j=2k}(-)^{i}\operatorname {c} _{i}\operatorname {c} _{j}\in \operatorname {H} ^{4k}(\operatorname {BU} (n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1687353b8bbeb920ae3fc678f6e671db8bac561)
이를 벡터 다발의 언어로 번역하면 다음과 같다.
- 사상
는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다.
- 사상
은 복소수 벡터 다발에서 복소구조를 잊는 것에 해당한다.
즉, 실수 벡터 다발
의 폰트랴긴 특성류는 그 다발의 복소화
의 천 특성류로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {p} _{k}(E)=(-)^{k}\operatorname {c} _{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in \operatorname {H} ^{4k}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf758539636bb7ca0baf0694660b54d23113f957)
천 특성류
는
차 코호몰로지 원소이므로, 폰트랴긴 특성류
는
차 코호몰로지 원소이다. (
의 홀수차 천 특성류는 슈티펠-휘트니 특성류으로 나타낼 수 있다.)
반대로, 복소수 벡터 다발
의 (복소구조를 잊었을 때) 폰트랴긴 특성류는 그 천 특성류로부터 다음과 같이 주어진다.
![{\displaystyle \operatorname {p} _{k}(E)=(-)^{k}\sum _{i+j=2k}(-)^{i}\operatorname {c} _{i}(E)\operatorname {c} _{j}(E)\in \operatorname {H} ^{4k}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ff8ec39f0c36525a9346cb6beb3ad9b30848348)
위의
차원 유향 실수 벡터 다발
의 스핀 구조는 그 구조군을 특수 직교군에서 스핀 군으로 올리는 것이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림에 해당한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}&&\operatorname {BSpin} (n)\\&\nearrow &\scriptstyle {\!\!\!\!\!\color {White}\mathrm {B} q\;}\downarrow \scriptstyle {\;\mathrm {B} q\!\!\!\!\!}\\M&\to &\operatorname {BSO} (n)\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/137c92f87e4119b672612fb90c9aee9cba48d4c3)
여기서
는 몫사상
![{\displaystyle q\colon \operatorname {Spin} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5786f31b91a0da429e726244464136bd2897aca5)
에 대응하는, 분류 공간 사이의 사상
![{\displaystyle \mathrm {B} q\colon \operatorname {BSpin} (n)\to \operatorname {BSO} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63873f88064aab6dbef1051c3aa66e16a3fb277c)
이다.
이 경우, 스핀 군은 단일 연결 단순 리 군이므로
![{\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {Spin} (n))=0\qquad (i<3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a49d2c2112e32f236f23eab5f0e3d55c88c978a)
![{\displaystyle \pi _{3}(\operatorname {Spin} (n))=\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/777167b169652519056c7412fd91bc5c40695524)
이다. 따라서, 스핀 군의 분류 공간의 호모토피 군은
![{\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {BSpin} (n))=0\qquad (i<4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5376d138b4d9fbf1f90d025a8d2f25f373099f2)
![{\displaystyle \pi _{4}(\operatorname {Spin} (n))=\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/388d8e8898f826fc0b6c3fbc981ddc96d7d8f9dd)
이므로, 후레비치 준동형이 동형이며,
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{4}(\operatorname {BSpin} (n))=\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687e5d41833d267afa5ecd70c7fee3d83fe13399)
이다. 따라서, 그 생성원을
라고 하자. 그렇다면,
![{\displaystyle (\mathrm {B} q)^{*}\operatorname {p} _{1}=2\alpha \in \operatorname {H} ^{4}(\operatorname {BSpin} (n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa57e016809881a5403c835e9d6eb58b71bc1e25)
임을 보일 수 있다. 따라서, 이를 사용하여,
![{\displaystyle \operatorname {p} _{1}(E)=2\cdot ({\tfrac {1}{2}}\operatorname {p} _{1}(E))\in 2\operatorname {H} ^{4}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c5d88374f295aca839e1dbc4ebd7cd31c4440fa)
가 되는 특성류
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {p} _{1}(E)\in \operatorname {H} ^{4}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c831b341565e8dc8190e3f22a025312567391c20)
를 정의할 수 있다. 이를 1차 분수 폰트랴긴 특성류(一次分數Понтрягин特性類, 영어: first fractional Pontryagin class)라고 한다.[4]:§4.4.1
마찬가지로, 만약
가 끈 구조(영어: string structure)를 갖는다면, 즉 만약 가환 그림
![{\displaystyle {\begin{matrix}&&\operatorname {BString} (n)\\&\nearrow &\scriptstyle {\!\!\!\!\!\color {White}\mathrm {B} q\;}\downarrow \scriptstyle {\;\mathrm {B} q\!\!\!\!\!}\\M&\to &\operatorname {BSO} (n)\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b39abeb56d84514051cf2619d622f35c17e2a7d)
이 존재한다면, 2차 분수 폰트랴긴 특성류(二次分數Понтрягин特性類, 영어: second fractional Pontryagin class)
![{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\operatorname {p} _{2}(E)\in \operatorname {H} ^{8}(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b9043ad456fb4ff114eebc75f6c4118d2afbb0e)
가 존재한다.[4]:§4.4.2 여기서
은 끈 군이다.
낮은 차수의 폰트랴긴 특성류는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {p} _{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0186355a03b3ae561d135d370e1e9f5a3900a1c3)
![{\displaystyle \operatorname {p} _{1}=-{\frac {1}{2(2\pi )^{2}}}\operatorname {tr} F^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5db9360cc31102e4e8d65c15094503bd8a82a9)
![{\displaystyle \operatorname {p} _{2}={\frac {1}{8(2\pi )^{4}}}\left((\operatorname {tr} F^{2})^{2}-2\operatorname {tr} F^{4}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a634ba77934c3fc8c66df5baa6b7528f470cc5c1)
러시아의 수학자 레프 폰트랴긴이 1947년에 정의하였다.[5] 세르게이 노비코프가 1966년에 폰트랴긴 특성류가 위상수학적 불변량이라는 사실을 증명하였다.[3]