항등원

항등원(恒等元,Identity element)은 군론 등의 대수학에서 다루는 기본적인 개념으로, 집합의 어떤 원소와 연산을 취해도, 자기 자신이 되는 원소를 말한다. 항등원이 무엇인지는 집합과 이항연산의 종류에 따라 달라진다. 쉽게 말해서, 1개의 양을 전혀 달라 보이는 다른 양과 같게 만드는 수학적 관계를 말한다고 생각하면 된다. 피타고라스의 정리와 같이, 항상 참이 되는 것이 방정식을 의미하기도 한다.

정의

집합 S와 S에 대해 닫혀 있는 이항연산 *로 이루어진 마그마 (S, *)가 주어졌을 때,

• S의 모든 원소 a에 대해 e_L * a = a가 성립한다면, e_L을 좌항등원이라 한다.
• S의 모든 원소 a에 대해 a * e_R = a가 성립한다면, e_R을 우항등원이라 한다.
• 만약 좌항등원과 우항등원이 같다면, e = e_L = e_R을 항등원이라 한다.

환론과 체론 등에서는 특별히 덧셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 항등원을 구분하기도 하며, 특별히 곱셈에 대한 항등원을 단위원(單位元, unity)이라고 부르기도 한다.

항등원의 예

집합	연산자	항등원
실수	+ (덧셈)	0
실수	× (곱셈)	1
정사각행렬	행렬의 덧셈	영행렬
정사각행렬	행렬의 곱셈	단위행렬
함수	합성함수	항등함수

같이 읽기

• 역원