파라콤팩트 공간: 두 판 사이의 차이

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2015년 11월 29일 (일) 16:46 판

일반위상수학에서, 파라콤팩트 공간(paracompact空間, 영어: paracompact space)은 위상 공간으로서, 콤팩트 공간을 새로운 방식으로 정의하여 만든 공간이다. 미분위상수학 및 미분기하학 등의 분야에 아주 유용하게 사용된다. 이들 분야에서 다루는 많은 공간들이 파라콤팩트 공간이며, 이 공간은 단위 분할 성질을 가져서 국소적인 성질을 통해 전체적인 성질을 정의할 수 있기 때문에 리만 계량, 미분 형식의 적분 등 여러 주제에서 유용하기 때문이다.^[1]^:68

정의

파라콤팩트 공간은 다음과 같이 정의된다.^[1]^:68

위상 공간 X가 파라콤팩트 공간일 필요충분조건은 X의 모든 열린 덮개가 국소적 유한(locally finite) 열린 세분을 갖는 것이다.

X의 열린 덮개 $\{U_{\alpha }\}$ 가 국소적 유한이라는 것은, x∈X마다 그 근방 $W_{x}$ 가 존재하여 유한 개의 $\alpha$ 에 대해서만 $W_{x}\cap U_{\alpha }\neq \phi$ 을 만족한다는 의미이다.^[1]^:68

성질

파라콤팩트 공간은 다음과 같은 여러 유용한 성질들을 갖는다.

콤팩트 공간은 파라콤팩트 공간이다.
파라콤팩트 공간은 메조콤팩트 공간이자 준파라콤팩트 공간이다.
파라콤팩트인 희박 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
준파라콤팩트인 정칙 공간은 파라콤팩트 공간이다.
파라콤팩트 공간의 닫힌 부분 공간은 파라콤팩트 공간이다.^[2]^:254
파라콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 곱공간은 파라콤팩트 공간이다.^[2]^:260
국소 콤팩트 연결 위상군은 파라콤팩트 공간이다.^[2]^:261
(모리타의 정리 영어: Morita’s theorem) 정규 린델뢰프 공간은 파라콤팩트 공간이다.^[3]^[2]^:257 특히, 모든 국소 콤팩트 하우스도르프 제2 가산 공간은 파라콤팩트 공간이다.

한편, 일반적으로 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않으므로 파라콤팩트성은 유전적 성질이 아니다. 또한, 콤팩트 공간들을 모으면 티호노프 정리에 의해 그 곱공간 역시 콤팩트 공간이 되는 것과는 다르게, 파라콤팩트 공간의 임의의 곱공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않는다.^[2]^:253

하우스도르프 파라콤팩트 공간

파라콤팩트 공간에 하우스도르프 공간의 조건을 추가하면, 다음과 같이 여러 유용한 성질들이 성립한다.

(디외도네의 정리) 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이다.^[2]^:253

디외도네의 정리와 모리타의 정리로부터, 하우스도르프 린델뢰프 공간에 대하여, 정칙 공간 조건과 파라콤팩트 조건은 동치라는 사실을 알 수 있다.

하우스도르프 공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

파라콤팩트 공간이다.
임의의 열린 덮개에 대하여, 이에 종속되는 단위 분할이 존재한다.

따라서, 파라콤팩트성은 미분기하학에서 핵심적인 단위 분할의 개념과 밀접하게 연관되어 있다.

또한, 파라콤팩트 공간은 다음과 같이 거라화 가능성과 밀접하게 연관되어 있다.

(스미르노프 거리화 정리) 파라콤팩트 하우스도르프 국소 거리화 가능 공간의 조건은 거리화 가능 공간 조건과 동치이다.^[2]^:261

이 밖에도, 파라콤팩트 하우스도르프 공간에 대하여 다음이 성립한다.

위상 공간 X, Y에 대해 X에서 Y로의 완전 사상(영어: perfect map)이 존재한다면, Y가 파라콤팩트일 때 X도 파라콤팩트이고, Y가 파라콤팩트 하우스도르프 공간일 때 X도 파라콤팩트 하우스도르프 공간이다.^[2]^:260
정규 하우스도르프 공간의 유한 개 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.^[2]^:260
정규 하우스도르프 공간 $X$ 속의 가산 개 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 내부가 이루는 집합족이 X의 덮개를 이룰 때, 그 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.^[2]^:260

예

긴 직선은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이지만, 파라콤팩트 공간이 아니다.

역사

1940년에 존 윌더 튜키(영어: John Wilder Tukey)는 "완전 정규 공간"(영어: fully normal space)이라는 개념을 정의하였다.^[4]^[5]^:165 1944년에 프랑스의 수학자 장 디외도네는 파라콤팩트 공간의 개념을 정의하였다.^[6]^[5]^:165 1948년에 아서 해럴드 스톤(영어: Arthur Harold Stone)은 완전 정규 공간의 개념과 파라콤팩트 공간의 개념이 서로 동치임을 증명하였다.^[7]^[5]^:165

모리타의 정리는 모리타 기이치(틀:Ja-y)가 1948년에 증명하였다.^[3]^[5]^:165

참고 문헌

↑ ^가 ^나 ^다 조용승 (2010). 《위상수학》. 경문사.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 Munkres, James R. (2000). 《Topology》 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
↑ ^가 ^나 Morita, Kiiti (1948). “Star-finite coverings and the star-finite property”. 《Mathematica Japonicae》 1: 60-68. Zbl 0041.09704.
↑ Tukey, John W. (1940). “Convergence and Uniformity in Topology”. Annals of Mathematics Studies 2. Princeton University Press. MR 0002515.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.
↑ Dieudonné, Jean (1944). “Une généralisation des espaces compacts”. 《Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)》 23: 65–76. ISSN 0021-7824. MR 0013297.
↑ Stone, A. H. (1948년 10월). “Paracompactness and product spaces” 54 (10). doi:10.1090/S0002-9904-1948-09118-2. ISSN 0273-0979. MR 0026802. Zbl 0032.31403.

바깥 고리

“Paracompact space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Paracompact space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Paracompact topological space”. 《nLab》 (영어).
“Paracompact space”.
“Cartesian products of two paracompact spaces”. 2012년 11월 8일.

[조용승-1] 가 ^나 ^다 조용승 (2010). 《위상수학》. 경문사.

[Munkres-2] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 Munkres, James R. (2000). 《Topology》 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.

[Morita-3] 가 ^나 Morita, Kiiti (1948). “Star-finite coverings and the star-finite property”. 《Mathematica Japonicae》 1: 60-68. Zbl 0041.09704.

[4] Tukey, John W. (1940). “Convergence and Uniformity in Topology”. Annals of Mathematics Studies 2. Princeton University Press. MR 0002515.

[SS-5] 가 ^나 ^다 ^라 Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.

[6] Dieudonné, Jean (1944). “Une généralisation des espaces compacts”. 《Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)》 23: 65–76. ISSN 0021-7824. MR 0013297.

[7] Stone, A. H. (1948년 10월). “Paracompactness and product spaces” 54 (10). doi:10.1090/S0002-9904-1948-09118-2. ISSN 0273-0979. MR 0026802. Zbl 0032.31403.

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 파라콤팩트 공간에 [[하우스도르프 공간]]의 조건을 추가하면, 다음과 같이 여러 유용한 성질들이 성립한다.
 * ('''디외도네의 정리''') 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]은 [[정규 공간]]이다.<ref name="Munkres">{{서적 인용|이름=James R.|성=Munkres|제목=Topology|isbn=978-013181629-9|판=2|출판사=Prentice Hall|날짜=2000|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page|zbl=0951.54001|mr=0464128 |언어고리=en}}</ref>{{rp|253}}
-** 디외도네의 정리와 모리타의 정리의 따름정리 : 하우스도르프 린델뢰프 공간에 대하여, [[정칙 공간]] 조건과 파라콤팩트 조건은 동치이다.
+디외도네의 정리와 모리타의 정리로부터, 하우스도르프 [[린델뢰프 공간]]에 대하여, [[정칙 공간]] 조건과 파라콤팩트 조건은 동치라는 사실을 알 수 있다.
-* 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]] 위의 임의의 [[열린 덮개]]에 대하여, 이에 종속되는 [[단위 분할]]이 존재한다.
+[[하우스도르프 공간]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
+* 파라콤팩트 공간이다.
+* 임의의 [[열린 덮개]]에 대하여, 이에 종속되는 [[단위 분할]]이 존재한다.
+따라서, 파라콤팩트성은 [[미분기하학]]에서 핵심적인 단위 분할의 개념과 밀접하게 연관되어 있다.
+또한, 파라콤팩트 공간은 다음과 같이 [[거라화 가능성]]과 밀접하게 연관되어 있다.
 * ('''[[스미르노프 거리화 정리]]''') 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 거리화 가능 공간]]의 조건은 [[거리화 가능 공간]] 조건과 동치이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|261}}
+이 밖에도, 파라콤팩트 하우스도르프 공간에 대하여 다음이 성립한다.
 * 위상 공간 X, Y에 대해 X에서 Y로의 [[완전 사상]]({{llang|en|perfect map}})이 존재한다면, Y가 파라콤팩트일 때 X도 파라콤팩트이고, Y가 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]일 때 X도 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}
 * [[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]]의 [[유한 집합|유한 개]] 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 [[합집합]] 역시 파라콤팩트 집합이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}