이론물리학에서 BF 모형(BF模型, 영어: BF model)은 시바르츠형 위상 양자장론의 간단한 예이다.[1][2] 게이지 이론의 매우 간단한 형태이다.
이
차원 매끄러운 다양체이고, 그 위에 올이 리 군
인 주다발
이 주어졌다고 하자. 또한,
의 리 대수
위에 비퇴화 쌍선형 형식
이 존재한다고 하자. (보통 킬링 형식의 스칼라배를 사용한다.)
BF 모형은 다음과 같은 두 장으로 구성되는 양자장론이다.
는
의 주접속이다. 즉, 게이지 보손에 해당한다.
는
위에 정의된, 리 대수
에 값을 갖는
차 미분 형식이다.
두 장 모두 게이지 대칭을 가진다.[1]
![{\displaystyle A\mapsto A+\mathrm {d} \alpha +[A,\alpha ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee8e02da8996bcadeabc40fbf9ab0d2a7d6aa58)
![{\displaystyle B\mapsto B+[B,\alpha ]+\mathrm {d} \Lambda +[A,\Lambda ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94670482385f592ae8d9eed055035708c7516414)
여기서
이며,
이다. 즉,
는 미분 형식 전기역학에서의 퍼텐셜과 유사한 게이지 대칭을 가진다.
BF 모형의 작용은 다음과 같다.
![{\displaystyle S=\int _{M}K(B\wedge F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8b86f347306a2271eb3a1b9f0f8db2430f9c8d)
여기서
는
의 곡률 (장세기)이다.
만약
일 경우, 특별히 다음과 같은 “우주 상수”
항을 추가할 수 있다.[3]
![{\displaystyle S=\int _{M}K(B\wedge F+\lambda B\wedge B)\qquad (d=4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff4cc13f0bea7a87f557f36578a20770b4fdbf2)
![{\displaystyle S=\int _{M}K(B\wedge F+\lambda B\wedge B\wedge B)\qquad (d=3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f91a4c2e5f3da59bfbdddae381185329a3ea8005)
장방정식[편집]
우주 상수 항이 없을 때, BF 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.
![{\displaystyle F=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/745afacbd4fd9affdc51ac09a0ecabae08da8676)
![{\displaystyle d_{A}B=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead47c45606f1abb3ed558529e26b7a0790dd7e1)
따라서, 고전적으로
는 평탄 주접속이고,
는 닫힌 미분 형식이다.
우주 상수 항을 추가하면,
에서 오일러-라그랑주 방정식은 대신 다음과 같다.
![{\displaystyle F+2\lambda B=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274891fa61d9d9fe6c99a2a80ddf7727da4a8aaf)
![{\displaystyle d_{A}B=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead47c45606f1abb3ed558529e26b7a0790dd7e1)
양자화[편집]
편의상, 시공간
![{\displaystyle M=\mathbb {R} \times \Sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e46e1d19a13b78882cf5759f24b47740ee65932)
![{\displaystyle \dim \Sigma =d-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac046bad5cdf1d8df710ac14bbafb10852408ad)
을 생각하자. 그렇다면,
은
와 호모토피 동치이므로, 사실
위에
-주다발
이 주어졌다고 가정할 수 있다.
이 위에서 BF 모형의 양자화를 생각하자. 이 경우, 위상 공간
은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\mathcal {M}}_{\Sigma }=\mathrm {T} ^{*}{\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40418c2471303b709c77d05944c6f6a80fdb94ec)
여기서
는
의 평탄 주접속들의 공간이다.
이 경우, 주접속
에 대응하는 일반화 운동량은
이다. 즉, 정준 교환 관계는 다음과 같다.
![{\displaystyle \{B_{\mu _{1}\dotso \mu _{d-2}}^{a}(x),A_{b\mu _{d-1}}(y)\}=\delta _{b}^{a}\operatorname {vol} _{\mu _{1}\dotso \mu _{d-1}}^{\Sigma }\delta (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb42f31f1c1722f26e2e4203610a51bb48a62f1)
여기서
는
의 부피 형식이다.
따라서, 그 힐베르트 공간은 단순히
![{\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}({\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80198829da6e54dc01c7664a144be26b71e1b7f)
이다.
천-사이먼스 이론과 비교했을 때, 천-사이먼스 이론의 경우 3차원에서
가 리만 곡면의 구조를 가지므로,
는 이미 켈러 다양체의 구조를 가지며,
자체가 위상 공간이며,
는 스스로의 일반화 운동량이 된다. 그러나 BF 이론에서는
는 위상 공간이 아니라 배위 공간이다.
우주 상수 항이 있는 경우의 양자화[편집]
우주 상수 항이 있을 경우, 양자화는 다음과 같이 달라진다. 우선, 더 이상
이 아니게 된다. 우선, (평탄하거나 평탄하지 않을 수 있는) 주접속의 (무한 차원) 공간을
라고 하자. 그렇다면, 위상 공간은
속에서,
![{\displaystyle F+2\lambda B=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274891fa61d9d9fe6c99a2a80ddf7727da4a8aaf)
을 만족시키는 점들의 공간이다. 즉, 파동 함수는
에 대한 게이지 변환에 대하여 불변인,
위의 함수
가운데,
![{\displaystyle 0=\left(F_{\mu \nu }^{a}-2\mathrm {i} \lambda \operatorname {vol} _{\mu \nu \rho }^{\Sigma }{\frac {\delta }{\delta A_{\rho a}}}\right)\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80ffaad86e86c7e3065dd46b6b252d87973c88b)
을 만족시키는 것이다. 만약
위의
-주다발이 (위상수학적으로) 자명한 올다발이라면, 이 편미분 방정식은 하나의 일차 독립 해를 가지며, 이는 구체적으로
![{\displaystyle \psi (A)=\exp \left(-\mathrm {i} S_{\text{CS}}(A)/4\lambda \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ad2595cf8e1bbc189a8d7cc54d5f0b3c247d3b)
이다. 여기서
![{\displaystyle S_{\text{CS}}(A)=\int _{\Sigma }\operatorname {tr} \left(A\wedge \mathrm {d} A+{\frac {2}{3}}A\wedge A\wedge A\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2401f6ec37a2d7663e3fe3a2937a673863e6e00)
는
위의 천-사이먼스 이론의 작용(천-사이먼스 형식)이다. 이는
![{\displaystyle {\frac {\delta S_{\text{CS}}}{\delta A_{\rho a}}}=\operatorname {vol} _{\Sigma }^{\mu \nu \rho }F_{\mu \nu }^{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80ce4eeb931d12a008f2202bfc668bac4b4e5c9)
이기 때문이다.
양-밀스 이론과의 관계[편집]
BF 모형은 부피가 0인 다양체 위의 양-밀스 이론으로 생각할 수 있다.[4]
양-밀스 이론의 작용은
![{\displaystyle S_{\text{YM}}=\int _{M}{\frac {1}{g^{2}}}K(F\wedge *F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c51bedca7a5fc86de28c92e8060f883de00af6)
이다. 여기서
는 결합 상수이고,
는 호지 쌍대이다. 여기에 보조장
를 도입하자. 그렇다면, 양-밀스 이론은 다음과 같이 동등하게 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle S_{\text{YM}}'=\int _{M}(K(B\wedge F)+{\frac {1}{2}}g^{2}K(B\wedge *B))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24135e53336b96b897c3854cb6625f229ee66110)
이제, 결합 상수를 0으로 보내자.
![{\displaystyle g^{2}\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f36661b1f0321d4025fe2c9a3bee0ac6e758c2e)
그렇다면
![{\displaystyle \lim _{g^{2}\to 0}S_{\text{YM}}'=\int _{M}K(B\wedge F)=S_{BF}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e033950b011f558c330a532e695d2b87d34acd)
가 되어, BF 모형이 됨을 알 수 있다.
호지 쌍대
를 대신 부피 형식
와 내적
![{\displaystyle \langle X,Y\rangle \omega =K(X\wedge *Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8683e7935472e9e7784985a1ec829ecdb81540b0)
로 쓰자. 그렇다면
![{\displaystyle S_{\text{YM}}'=\int _{M}(K(B\wedge F)+{\frac {1}{2}}g^{2}\omega \langle B,B\rangle )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de3d6be731991e149b3271ffffecf4c24b3f9c87)
이 된다. 이는
![{\displaystyle \omega '=g^{2}\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/518323556d75fa5c305abf8fb649e4e96e083b49)
에만 의존하게 된다. 이는 다양체
의 "부피"
![{\displaystyle \operatorname {vol} (M)=\int _{M}\omega '=\int _{M}g^{2}\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea286e15434ae3c4993b83274f9b3974c4d074b)
로 생각할 수 있다. 그렇다면 BF 모형의 극한은
로 측정한 부피가 0으로 가는 극한으로 생각할 수 있다.
초대칭 BF 모형[편집]
BF 모형에 초대칭을 추가하여 초대칭 BF 모형(영어: supersymmetric BF model)을 정의할 수 있다. 이는 더 이상 시바르츠형 위상 양자장론이 아니며, 대신 위튼형 위상 양자장론이다. 이 경우, 장들은 다음과 같다. 모든 장은
의 딸림표현을 따른다.
- 게이지 초장
. 여기서
는 U(1) 게이지 보손이며,
는 벡터 페르미온이다. 이 경우
이다.
- 라그랑주 승수 초장
. 여기서
는
차 미분 형식인 보손이며,
역시
차 미분 형식인 페르미온이다. 이 경우
이다.
- 유령 초장
.
이며
이다.
이에 따라, 작용은 다음과 같다.[5]:§4.1
![{\displaystyle S=Q\int (\chi F+{\bar {\phi }}d*\psi )=\int \left(BF+(-1)^{d}\chi d\psi +\eta d*\psi +{\bar {\phi }}[\psi ,*\psi ]-{\bar {\phi }}d*d\phi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc9dbe9918fbbdd0e50dc65b57ade5151772a89)
초대칭이 없는 경우와 마찬가지로, 이 경우 이론은
위의
-평탄 주접속들의 모듈라이 공간의 특성을 계산한다.
만약 시공간이 3차원일 경우 (
), 이 이론은 추가로
위상 초대칭을 갖는다.[5]:§4.1[6]:238 즉, 두 개의 스칼라 초전하(BRST 연산자)를 가지며, 이 둘을 섞는 SU(2) R대칭이 존재하며, 이 아래
는 SU(2)의 2차원 기본 표현을 따른다. 이 이론은 3차원
게이지 이론의 A-뒤틂과 같으며, 이는 도널드슨 이론을 3차원으로 축소화한 것과 같다.[5]:§4.3
같이 보기[편집]
- ↑ 가 나 Broda, Bogusław (2004). 〈BF system〉. 《Concise encyclopedia of supersymmetry and noncommutative structures in mathematics and physics》. Springer-Verlag. 54쪽. arXiv:hep-th/0502045. doi:10.1007/1-4020-4522-0_45. ISBN 978-1-4020-1338-6.
- ↑ Kaul, R. K.; Govindarajan, T. R.; Ramadevi, P. (2005). “Schwarz type topological quantum field theories” (영어). arXiv:hep-th/0504100. Bibcode:2005hep.th....4100K.
- ↑ Baez, John C. (1996). “4-dimensional BF theory with cosmological term as a topological quantum field theory”. 《Letters in Mathematical Physics》 (영어) 38: 129–143. arXiv:q-alg/9507006. Bibcode:1995q.alg.....7006B. doi:10.1007/BF00398315.
- ↑ Matthias Blau; George Thompson (1993). “Lectures on 2d gauge theories: topological aspects and path integral techniques” (영어). arXiv:hep-th/9310144. Bibcode:1993dgtt.rept.....B.
- ↑ 가 나 다 Blau, Matthias; Thompson. “Aspects of NT ≥ 2 topological gauge theories and D-branes” (영어). arXiv:hep-th/9612143.
- ↑ Birmingham, Danny; Blau, Matthias; Rakowski, Mark; Thompson, George (1991년 12월). “Topological field theory”. 《Physics Reports》 (영어) 209 (4–5): 129-340. Bibcode:1991PhR...209..129B. doi:10.1016/0370-1573(91)90117-5. ISSN 0370-1573.
외부 링크[편집]