2차원 실수 특수선형군(二次元實數特殊線型群, 영어: 2×2 real special linear group)
는 수학과 물리학에 자주 등장하는 3차원 리 군이다. 2×2 행렬군으로, 또는 실수 선형 분수 변환군으로, 또는 3차원 민코프스키 공간의 로런츠 군으로 여길 수 있다.
다음과 같은 리 군들은 서로 동형이다.
- 2×2 실수 특수선형군
![{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f3f5a9db85136f46d9726d1d32e73a6f049797)
- 2×2 실수 심플렉틱 군
![{\displaystyle \operatorname {Sp} (2;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6fc6c49276dcf4f1bb4cd84e71ec06df162cb2)
- 부정부호 특수 유니터리 군
![{\displaystyle \operatorname {SU} (1,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e79fee0769b169b51db8d985bc218f11e92e3e0)
- 분할 사원수 대수(영어: split-quaternion algebra)
에서, 절댓값을
로 정의하면, 단위 분할 사원수들의 곱셈군
- 3차원 스핀 군
![{\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}(2,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/309e2d6aeb8dca599c27581086a3d876a0fd57dc)
다음과 같은 리 군들은 서로 동형이다.
- 2×2 실수 사영 특수선형군
. 이는
에서, 중심
에 대한 몫군이다.
- 복소수 단위 원판
의 등각 자기 동형군 ![{\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {D} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ec3d3ee0c080bcb7f7f3353f6200dba6777540)
- 뫼비우스 변환
가운데, 복소수 상반평면
을 보존하는 부분군
- 실수 사영 직선
의 방향 보존 사영 변환군
- 3차원 로런츠 군의 연결 성분
![{\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(2,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba081cce50b968f273594cebed65c0f290862cf4)
실수 사영 직선 위의 작용[편집]
는 실수 사영 직선
위에 다음과 같이 선형 분수 변환으로 작용한다.
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon \mathbb {R} \cup \{\infty \}\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8095c4e96eb2fbdc775b35cd2ed63279b095c75)
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f9427bcd4c2411646e106c45a3067cdfcd32db)
상반평면 위의 작용[편집]
는 복소수 상반평면
위에 다음과 같이 선형 분수 변환으로 작용한다.
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon \mathbb {H} \to \mathbb {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3161e972cf430cd71b8d612822edfcda138d86d6)
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89fbcc71be599b64552f6678f436ff735e7f603f)
이를 상반평면의 경계인 실수축에 국한하면, 실수 사영 직선 위의 작용을 얻는다.
딸림표현[편집]
는 3차원 리 군이며, 따라서
위에 딸림표현을 갖는다. 이는 구체적으로 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )\hookrightarrow \operatorname {GL} (3;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/517a49ae8b8d30d4e46f39720cf995dd7a8027ab)
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a^{2}&2ac&c^{2}\\ab&ad+bc&cd\\b^{2}&2bd&d^{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9c1e751ceae9e6406c32300394608ebaff02e7)
이는 단사 함수이다.
의 킬링 형식의 부호수는 (2,1)이며, 따라서 이는
와 로런츠 군
사이의 동형을 정의한다.
켤레류[편집]
의 임의의 원소
는 다음 원소들 가운데 정확히 하나와 켤레 원소이다.
인 경우:
,
. 이러한 경우를 타원형 원소(楕圓型元素, 영어: elliptic element)라고 한다.
인 경우:
,
. 이러한 경우를 포물선형 원소(抛物線型元素, 영어: parabolic element)라고 한다.
인 경우:
,
. 이러한 경우를 쌍곡선형 원소(雙曲線型元素, 영어: hyperbolic element)라고 한다.
대수학적 성질[편집]
는 비가산 군이며, 아벨 군이 아니다.
의 중심은
이며, 이에 대한 몫군
는 단순군이다.
의 이산 부분군은 푹스 군이라고 하며, 모듈러 군
이 대표적인 예이다.
원군
는
의 극대 콤팩트 부분군이다. 마찬가지로, 이보다 두 겹 더 큰 원군은
의 극대 콤팩트 부분군이다.
위상수학적 성질[편집]
와
는 둘 다 연결 3차원 매끄러운 다양체이며, 콤팩트 공간이 아니다.
위상수학적으로,
는 상반평면
의 접다발
속의 단위 벡터로 구성되는 원다발의 전체 공간과 위상동형이다.
는 이 원다발의 두 겹 피복 공간이며, 일종의 스피너 다발로 생각할 수 있다.
는 축약 가능 공간이며, 따라서
와
는 원
과 호모토피 동치이다. 즉, 그 호모토피 군은 다음과 같다.
![{\displaystyle \pi _{n}(\operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )\cong \pi _{n}(\operatorname {SL} (2;\mathbb {R} ))\cong {\begin{cases}1&n\neq 1\\\mathbb {Z} &n=1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce468df56e8f796f2ad9c012494f9324101d6864)
범피복 공간
에 왼쪽 곱셈 불변 리만 계량을 부여한다면, 이는 기하화 추측에 등장하는 8개의 기하 가운데 하나를 이룬다.
표현론[편집]
유한 차원 표현[편집]
의 유한 차원 표현론은
의 유한 차원 표현론과 동형이다. 즉, 각 음이 아닌 정수
에 대하여
차원 기약 표현이 존재한다. 이 표현들은 (
인 자명 표현을 제외하면) 모두 유니터리 표현이 아니다.
무한 차원 표현[편집]
의 무한 차원 표현론은
의 경우와 전혀 다르다.
의 무한 차원 기약 허용 표현(영어: admissible representation)은 완전히 분류되었고, 다음과 같다.
- 모든 0이 아닌 정수
에 대하여, 이산열 표현(離散列表現, 영어: discrete series representation) ![{\displaystyle D_{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267983ed233945e70f42935df28e623cfce15c12)
- 이산열 표현의 극한
, ![{\displaystyle D_{-0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15290e451c230c243c9f592a0f114b65a6287ac7)
- 주열 표현(主列表現, 영어: principal series representation)
,
,
,
.
는
와 동형이다.
이들 가운데 유니터리 표현인 것은 다음과 같다.
- 모든 이산열 표현
및 극한 ![{\displaystyle D_{\pm 0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf24003c0f547cf4ca15a13e52b10f58f933abf)
- 주열 표현
, ![{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a48f0e84328dc53dec2ad301bb321c00dcf422)
- 주열 표현
, ![{\displaystyle 0<|\mu |<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8abd1d26a811c8d2f9c9db6f683cadf69cd4eb21)
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]
같이 보기[편집]