정규 공간

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위상 공간분리공리
T0 콜모고로프 공간
T1  
T2 하우스도르프 공간
T 우리손 공간
완전 T 완비 하우스도르프 공간
T3 정칙 하우스도르프 공간
T 티호노프 공간
T4 정규 하우스도르프 공간
T5 완비 정규 하우스도르프 공간
T6 완전 정규 하우스도르프 공간

일반위상수학에서, 정규 공간(正規空間, 영어: normal space)은 서로소 닫힌집합들을 서로소 근방 또는 연속 실함수로 분리할 수 있는 위상 공간이다. 정규 공간에는 "충분한 수의" 연속 실함수가 존재하여, 닫힌집합에 정의된 실함수를 공간 전체로 연장할 수 있다 (티체 확장 정리 Tietze擴張定理, 영어: Tietze extension theorem).

정의[편집]

정규 공간의 정의

위상 공간 에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간정규 공간이라고 한다.

  • 임의의 두 서로소 닫힌집합 에 대하여, , 인 서로소 열린집합 가 존재한다.
  • (우리손 보조정리 Урысон補助定理, 영어: Urysohn lemma) 임의의 두 서로소 닫힌집합 에 대하여, 이자 연속 함수 가 존재한다.[1]:207
  • (실수 티체 확장 정리) 임의의 닫힌집합 연속 함수 에 대하여, 가 되는 연속 함수 가 존재한다.[1]:219
  • (폐구간 티체 확장 정리) 임의의 닫힌집합 폐구간 연속 함수 에 대하여, 가 되는 연속 함수 가 존재한다.[1]:219

즉, 두 닫힌집합근방으로 분리하는 것은 실함수로서 분리하는 것과 동치이다.

T4 공간 (T4空間, 영어: T4 space)은 정규 하우스도르프 공간이다.

정규 공간의 (첫째) 정의는 점을 언급하지 않고 열린집합닫힌집합 만으로 정의되므로, 장소에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 즉, 장소 가 다음 조건을 만족시킨다면, 정규 장소(正規場所, 영어: normal locale)라고 한다.

  • 임의의 두 열린집합 에 대하여, 만약 라면, 이며 열린집합 이 존재한다.

(이는 정규 공간의 정의와 비교했을 때 를 각각 그 여집합 , 로 대체한 것이다.)

완전 정규 공간[편집]

위상 공간 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 완전 정규 공간(完全正規空間, 영어: perfectly normal space)이라고 한다.[1]:213, Exercise 6

  • 임의의 서로소 닫힌집합 에 대하여, 이자 연속 함수 가 존재한다.
  • 임의의 서로소 닫힌집합 에 대하여, 이자 연속 함수 가 존재한다.
  • 정규 공간이며, 모든 닫힌집합 Gδ 집합이다.

완전 정규 하우스도르프 공간을 T6 공간(T6空間, 영어: T6 space)이라고 한다.

성질[편집]

정규 공간의 개념은 다음과 같은 일련의 분리공리들 가운데 하나이다.

분리 대상 근방으로 분리 실함수로 분리
점과 점 하우스도르프 공간 완비 하우스도르프 공간
점과 닫힌집합 정칙 공간 완비 정칙 공간
닫힌집합닫힌집합 정규 공간

그러나 점-점 또는 점-닫힌집합의 경우와 달리, 닫힌집합-닫힌집합의 경우 근방으로 분리하는 것과 실함수로 분리하는 것이 서로 동치이다 (우리손 보조정리).

함의 관계[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.[1]:213

거리화 가능 공간 ⊊ 완전 정규 하우스도르프 공간(T6) ⊊ 유전 정규 하우스도르프 공간(T5) ⊊ 정규 하우스도르프 공간(T4) ⊊ 티호노프 공간(T) ⊊ (정칙 하우스도르프 공간(T3) ∩ 완비 하우스도르프 공간)
완전 정규 공간 ⊊ 유전 정규 공간 ⊊ 정규 공간

모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이다.

정칙성과의 관계[편집]

정규 공간이 정칙 공간일 필요는 없다. 그러나 정규 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

즉, 정규성에 R0 공간이라는 아주 약한 조건을 추가하면 (완비) 정칙성을 함의한다.

연산에 대한 닫힘[편집]

정규 공간의 닫힌집합은 정규 공간이다. 그러나 이는 임의의 부분 집합에 대하여 성립하지 않을 수 있다. 모든 부분 공간이 정규 공간인 위상 공간을 유전 정규 공간(遺傳正規空間, 영어: hereditarily normal space) 또는 완비 정규 공간(完備正規空間, 영어: completely normal space)이라고 하며, 유전 정규 하우스도르프 공간T5 공간(T5空間, 영어: T5 space)이라고 한다.

정규 공간 연속 함수 가 주어졌을 때, 만약 치역 닫힌집합이라면 는 정규 공간이다.

정규 공간들의 곱공간은 정규 공간이 아닐 수 있다.[2] 심지어, 정규 공간 에 대하여, 이 정규 공간이 아닐 수도 있다.[3][4]

[편집]

대수기하학이나 일반위상수학을 제외하고, 수학에 흔히 등장하는 대부분의 위상 공간은 정규 공간이다.

비가산 개의 비(非)콤팩트 거리화 가능 공간들의 곱공간은 항상 정규 공간이 아니다.[5]

역사[편집]

정규 공간의 개념은 1923년에 오스트리아의 수학자 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(독일어: Heinrich Franz Friedrich Tietze, 1880~1964)가 도입하였다.[6]:TG IX.127

티체 확장 정리는 원래 라위트전 브라우어르앙리 르베그유클리드 공간에 대하여 증명하였고, 이후 티체가 이를 임의의 거리화 가능 공간에 대하여 일반화하였다. 이후 파벨 사무일로비치 우리손이 1925년에 우리손 보조정리를 사용하여 이를 임의의 정규 공간에 대하여 증명하였다.[7]

1951년에 클리퍼드 휴 다우커(영어: Clifford Hugh Dowker)는 정규 공간 에 대하여, 이 정규 공간이 아니라면, 가 여러 특수한 성질들을 갖는다는 것을 보였다.[8] 다우커는 이러한 공간들이 존재하지 않는다고 추측하였으나, 1971년에 메리 엘런 루딘이 이러한 공간들이 실재함을 증명하였다.[3][4]

정규 공간과 티체 확장 정리에 대하여 니콜라 부르바키는 다음과 같이 적었다.

1920년~1930년 동안에 모스크바 학파는 거리 공간의 위상수학적 성질에 대하여 연구하였다. 그 목표는 특히 주어진 위상 공간거리화 가능 공간인지 여부에 대한 필요충분조건을 얻는 것이었다. 이러한 환경 속에서 1923년에 티체는 정규 공간의 개념을 정의하였다. 그러나 우리손이 연속 실함수의 확장 정리를 증명하기 이전에 이 개념의 중요성은 인식되지 못했다. […] 대수적 위상수학으로 인하여, 이 정리를 임의의 위상 공간공역이 될 수 있게 일반화하는 문제가 최근에 대두되었다. 최근 연구에 따르면, 이러한 유의 문제에 대하여, 정규 공간의 개념은 지나치게 "병적인" 현상이 많아 불편하다. 대신, 1944년에 J. 디외도네가 도입한, 더 제한적인 파라콤팩트 공간의 개념을 사용하는 것이 낫다. […]
De la période 1920–1930 datent toute une série d’études entreprises par l’école de Moscou sur les propriétés de la topologie d’un espace métrique, travaux qui visaient en particulier à obtenir des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une topologie donnée soit métrisable. C’est ce mouvement d’idées qui fit apparaître l’intérêt de la notion d’espace normal, définie en 1923 par Tietze, mais dont le rôle important ne fut reconnu qu’à la suite des travaux d’Urysohn […] sur le prolongement des fonctions continues numériques. […] L’extension de ce problème au cas des fonctions à valeurs dans un espace topologique quelconque a pris dans ces dernières années une importance considérable en Topologie algébrique. Les travaux récents ont mis en évidence que, dans ce genre de questions, la notion d’espace normal est peu maniable, parce qu’elle offre encore trop de possibilités de «pathologie»; on doit le plus souvent lui substituer la notion plus restrictive d’espace paracompact, introduite en 1944 par J. Dieudonné […].
 
[6]:TG IX.127

참고 문헌[편집]

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  2. Sorgenfrey, R. H. (1947). “On the topological product of paracompact spaces”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 53: 631–632. doi:10.1090/S0002-9904-1947-08858-3. ISSN 0273-0979. 
  3. Rudin, Mary Ellen (1971년 3월). “A normal space X for which X×I is not normal”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 77 (2): 246–246. doi:10.1090/S0002-9904-1971-12702-7. ISSN 0273-0979. MR 0270328. Zbl 0206.51601. 
  4. Rudin, Mary Ellen (1971). “A normal space X for which X×I is not normal” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) 73 (2): 179–186. Zbl 0224.54019. 
  5. Stone, Arthur Harold (1948). “Paracompactness and product spaces”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 54: 977–982. doi:10.1090/S0002-9904-1948-09118-2. Zbl 0032.31403. 
  6. Bourbaki, Nicolas (1974). 《Topologie générale. Chapitres 5 à 10》. Éléments de mathématique (프랑스어). Hermann. doi:10.1007/978-3-540-34486-5. 
  7. Urysohn, Paul (1925). “Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 94: 262–295. doi:10.1007/BF01208659. 
  8. Dowker, Clifford Hugh (1951). “On countably paracompact spaces”. 《Canadian Journal of Mathematics》 (영어) 3: 219–224. doi:10.4153/CJM-1951-026-2. ISSN 0008-414X. Zbl 0042.41007. 

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