정규 스킴

대수기하학에서 정규 스킴(正規scheme, 영어: normal scheme)은 모든 국소환이 정수적으로 닫힌 정역인 스킴이다.

정의

국소환 달린 공간 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$에서, 만약 모든 $x\in X$에 대하여 구조층의 줄기 ${\mathcal {O}}_{X,x}$가 정수적으로 닫힌 정역인 국소환이라면, $(X,{\mathcal {O}}_{X})$를 정규 국소환 달린 공간(영어: normal locally ringed space)이라고 한다.

정규 스킴은 정규 국소환 달린 공간인 스킴이다.^{:91, Exercise II.3.8} 정규환(正規環, 영어: normal ring) $R$는 그 스펙트럼 $\operatorname {Spec} R$가 정규 스킴인 가환환이다. 즉, 임의의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$에 대하여, 국소화 $R_{\mathfrak {p}}$가 정수적으로 닫힌 정역인 경우이다.

정규화

임의의 기약 축소 스킴 $X$에 대하여, 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 기약 정규 스킴 ${\tilde {X}}$ 및 스킴 사상 $\nu \colon {\tilde {X}}\to X$가 존재하며, 이를 $X$의 정규화(영어: normalization)라고 한다.^{:91, Exercise II.3.8}

• 임의의 기약 정규 스킴 $Y$ 및 우세 사상 $f\colon Y\to X$에 대하여, $f=\nu \circ {\tilde {f}}$가 되는 스킴 사상 ${\tilde {f}}\colon Y\to {\tilde {X}}$가 유일하게 존재한다.

  ${\begin{matrix}\forall Y&{\overset {\exists !}{\to }}&{\tilde {X}}\\&{\scriptstyle \forall }\searrow &\downarrow \\&&X\end{matrix}}$

이는 구체적으로 다음과 같이 구성된다. $X$ 위에 열린 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개 $\{\operatorname {Spec} R_{i}\}_{i\in I}$를 잡았을 때, 각 $R_{i}$의 정수적 폐포 ${\tilde {R}}_{i}$들의 스펙트럼 $\{\operatorname {Spec} {\tilde {R}}_{i}\}_{i\in I}$을 이어붙여 스킴 ${\tilde {X}}$를 구성할 수 있다. 자연스러운 사상 ${\tilde {X}}\to X$는 가환환의 포함 준동형 $R_{i}\hookrightarrow {\tilde {R}}_{i}$으로부터 유도된다.

만약 $X$가 기약 스킴이 아닌 축소 스킴이라면, 그 정규화는 $X$의 각 기약 성분 $X_{i}$의 정규화 ${\tilde {X}}_{i}$들의 분리합집합

${\tilde {X}}=\bigsqcup _{i}{\tilde {X}}_{i}$

으로 정의된다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴

세르 조건

뇌터 가환환 $R$에 대하여, 다음과 같은 조건들을 정의하자.

• R_k: 모든 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R$에 대하여, 만약 $\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}\leq k$라면, 국소화 $R_{\mathfrak {p}}$는 정칙 국소환이다. 여기서 $\operatorname {ht}$는 아이디얼의 높이이다.
• S_k: 모든 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R$에 대하여, $\operatorname {depth} R_{\mathfrak {p}}\geq \min\{k,\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}\}$. 여기서 $\operatorname {depth}$는 (스스로 위의 가군으로서의, 유일한 극대 아이디얼에 대한) 깊이이다.

세르 조건(영어: Serre’s criterion)에 따르면, 뇌터 가환환의 경우, 다음 표에서 각 행에 적힌 두 조건이 서로 동치이다.

조건	뇌터 가환환에 대하여 동치인 조건
정규환	R1 + S2
축소환	R0 + S1
코언-매콜리 환	S∞

대수기하학적으로, 정규 스킴의 세르 조건에서, R₁ 조건은 대략 "여차원 1의 특이 부분 집합이 존재하지 않음"을 뜻한다. 마찬가지로, 대수기하학적으로 S₂ 조건은 하르톡스 확장정리에 해당한다.

정규 대수다양체

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 정규 대수다양체이다.
• $K$ 위의 임의의 대수다양체 $Y$ 및 ($Y$ 전체에 정의된) 및 임의의 유한 쌍유리 사상 $f\colon Y\to X$에 대하여, $f$는 (대수다양체의) 동형 사상이다.

이는 정수적으로 닫힌 정역의 정의를 그대로 기하학적으로 번역한 것이다. 즉, $x\in X$에 대하여 $R={\mathcal {O}}_{X,x}$라고 놓으면, 모든 환 $S$에 대하여, 만약 다음 두 조건

• (쌍유리 사상) $R\subseteq S\subseteq \operatorname {Frac} R=\operatorname {Frac} S$
• (유한 사상) $S$는 $R$ 위의 유한 생성 가군

이 성립한다면, $R=S$이어야 한다.

역사

정규 스킴의 개념은 오스카 자리스키가 1939년에 도입하였다.

외부 링크

• “Normal scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Normal analytic space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Normal variety”. 《nLab》 (영어). 
• “What are normal schemes intuitively?” (영어). StackExchange. 2016년 4월 26일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 18일에 확인함. 
• “Is there a “geometric” intuition underlying the notion of normal varieties?” (영어). Math Overfloow. 2016년 10월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 18일에 확인함. 
• Siegel, Charles (2008년 7월 8일). “Normalization and normal varieties”. 《Rigorous Trivialities》 (영어). 2016년 6월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 18일에 확인함.