육진법

기수법
개념
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육진법（六進法）은 6을 밑으로 하는 기수법이다. 사용 숫자는 0에서 5까지 총 여 6종류 이다.

기수법

주사위. 6 의 측이 "10"이된다.

육진법에 의한 기수법은 5의 다음이다 6을 "10"로 6 분의 1을 "0.1"로 표현한다. 주사위 과 같은 6개 세트의 물건 잘 사용되는 계산 방법이며, 9를 "13"(1×6 + 3), 십진법 10을 "14"(1×6 + 4), 십진법 12을 "20"(2×6), 십진법 16을 "24"(2×6 + 4)로 표현.

정수의 승멱는 36 (6²)가 100, 216 (6³)가 1000, 1296 (6⁴)이 10000 이된다. 소수 (기수법)는 36 분의 1 (6^-2)가 0.01, 216 분의 1 (6^-3)가 0.001, 1296 분의 1 (6^-4)이 0.0001 이된다. 자리수의 증가가 빠른 이후 십진법 7776이 육진법 100,000 가되어, 십진법 46,656이 육진법 1,000,000 (육진법 10¹⁰ = 십진법 6⁶) 가된다. 일만에 가장 가까운 멱 승수는 십진법 7776 (육진법 100,000), 백만에 가장 가까운 멱 승수는 십진법 1,679,616 (육진법 100,000,000) 이된다. 또한 육과 십의 멱 승수가 가장 근접하기 수치는 십진법 10,077,696 = 육진법 1,000,000,000 이된다. 따라서, 무리수의 소수 부분의 환산으로는 십진법 소수 7 자리를 육진법 소수 9 자리로 변환하게된다.

따라서 36 이상의 세는 방법도, 예를 들면 십진법 56는 "132"(1×6² + 3×6¹ + 2) , 십진법 81는 "213"(2×6² + 1×6¹ + 3) , 십진법 100는 "244"(2× 6² + 4× 6¹ + 4), 십진법 1000는 "4344"(4×6³ + 3×6² + 4×6¹ + 4), 십진법 1944는 "13000"(1×6⁴ + 3×6³)가된다.

소수에서는 십진법 10/36는 "0.14"(1 × 6^-1 + 4 × 6^-2), 십진법 81/216 (약분하여 3/8) 는 "0.213"(2×6^-1 + 1×6^-2 + 3×6^-3), 십진법 125/216는 "0.325"(3×6^-1 + 2×6^-2 + 5×6^-3), 십진법 567/1296 (십진법에서 약분하여 7/16) 는 "0.2343"(2×6^-1 + 3×6^-2 + 4×6^-3 + 3×6^-4), 십진법 1024/1296 (십진법에서 약분하여 64/81) 는 "0.4424"(4×6^-1 + 4×6^-2 + 2×6^-3 + 4×6^-4) 가된다.

사칙 연산도 예를 들어:

• 십진법 "5 + 5 = 10"는 육진법에서는 "5 + 5 = 14"이된다.
• 십진법 "1944 + 56 = 2000"는 육진법에서는 "13000 + 132 = 13132"이된다.
• 십진법 "100 - 36 = 64"는 육진법에서는 "244 - 100 = 144"이된다.
• 십진법 "81 × 16 = 1296"는 육진법에서는 "213 × 24 = 10000"이된다.
• 십진법 "100 ÷ 4 = 25"는 육진법에서는 "244 ÷ 4 = 41"이된다.

6진 덧셈표

+	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	10
2	2	3	4	5	10	11
3	3	4	5	10	11	12
4	4	5	10	11	12	13
5	5	10	11	12	13	14

6진 곱셈표

×	1	2	3	4	5	10
1	1	2	3	4	5	10
2	2	4	10	12	14	20
3	3	10	13	20	23	30
4	4	12	20	24	32	40
5	5	14	23	32	41	50
10	10	20	30	40	50	100

분할 가능성

정수

육진법에서는 6가 10이되므로, "2 × 3 = 10" "10 ÷ 2 = 3" "10 ÷ 3 = 2"가되고, "100 ÷ 3"과 "1000 ÷ 3"도 나눌 수있다, "1000 ÷ 3 = 200" "10000 ÷ 3 = 2000"이된다. 멱 승수는 "2²×3² = 100" "2³×3³ = 1000 "의 순으로 늘어난다.

• 멱 지수가 2
  • 100 ÷ 2 = 30 (십진법에서는 36 ÷ 2 = 18)
  • 100 ÷ 3 = 20 (십진법에서는 36 ÷ 3 = 12)
  • 100 ÷ 4 = 13 (십진법에서는 36 ÷ 4 = 9 , 6² ÷ 2² = 3²)
  • 100 ÷ 10 = 10 (십진법에서는 36 ÷ 6 = 6)
  • 100 ÷ 13 = 4 (십진법에서는 36 ÷ 9 = 4 , 6² ÷ 3² = 2²)
• 멱 지수가 3
  • 1000 ÷ 2 = 300 (십진법에서는 216 ÷ 2 = 108)
  • 1000 ÷ 3 = 200 (십진법에서는 216 ÷ 3 = 72)
  • 1000 ÷ 4 = 130 (십진법에서는 216 ÷ 4 = 54)
  • 1000 ÷ 10 = 100 (십진법에서는 216 ÷ 6 = 36)
  • 1000 ÷ 12 = 43 (십진법에서는 216 ÷ 8 = 27, 6³ ÷ 2³ = 3³)
  • 1000 ÷ 13 = 40 (십진법에서는 216 ÷ 9 = 24)
  • 1000 ÷ 43 = 12 (십진법에서는 216 ÷ 27 = 8 , 6³ ÷ 3³ = 2³)
• 멱 지수가 4
  • 10000 ÷ 2 = 3000 (십진법에서는 1296 ÷ 2 = 648)
  • 10000 ÷ 3 = 2000 (십진법에서는 1296 ÷ 3 = 432)
  • 10000 ÷ 4 = 1300 (십진법에서는 1296 ÷ 4 = 324)
  • 10000 ÷ 10 = 1000 (십진법에서는 1296 ÷ 6 = 216)
  • 10000 ÷ 12 = 430 (십진법에서는 1296 ÷ 8 = 162)
  • 10000 ÷ 13 = 400 (십진법에서는 1296 ÷ 9 = 144)
  • 10000 ÷ 24 = 213 (십진법에서는 1296 ÷ 16 = 81 , 6⁴ ÷ 2⁴ = 3⁴)
  • 10000 ÷ 43 = 120 (십진법에서는 1296 ÷ 27 = 48)
  • 10000 ÷ 213 = 24 (십진법에서는 1296 ÷ 81 = 16 , 6⁴ ÷ 3⁴ = 2⁴)

소수

육진법에서는 1/6은 "0.1"이므로, 1/2는 "0.3"에서 1/3는 "0.2"가되어, 1/3는 분할 수있다 소수 (기수법)된다.

십진법에서는 "10"인 십는 소수 (수론) 2와 5의 곱이므로, 1/5은 나누어 떨어지는하지만, 1/3이 나누어 떨어지지 않다. 그러나 육진법의 "10"인 육는 소수 2와 3의 곱이므로 1/3은 나눌 수있는 한편, 1/5가 나누어 떨어지지 않다. "5 + 1 = 10" "2×3 = 10"이므로, "카운트 하기 쉬움"에서도 "분할 하기 쉬움"에서도 육진법은 십진법을 훨씬 더 웃돈 다.

육은 십과 같이 단짝수 (4에서 나뉘어 떨어지지 않는 짝수)이므로, 1/4은 0.13이되고, 소수점 이하 2 자리하게된다. 또한 1/3은 나누어 떨어지는 때문에, 1/9와 1/27(십진) 등 3의 승멱수도 나누어 떨어지는 소수된다. 2와 3의 멱 지수가 동일하므로 1/8 (= 1/12)는 0.043 와 같이 십진 1/27 (= 1/43)는 0.012와 같이, 2ⁿ의 역수는 3ⁿ이되어, 3ⁿ의 역수는 2ⁿ 이된다.

또한, 육진법은 "10-1 = 5", 십진법은 "10-1 = 3²"이므로 양쪽 모두 나눌 수없는 소수 (육진법이라고 5 십진법이라고 3)의 순환 절은 짧은. 육진법으로 나뉘어 떨어지지 않는 1/5³ (십진 분수 1/125, 육진 분수 1/325)도 순환 절는 25 자리이다.

주요 분수

• 1/2 = 0.3
• 1/3 = 0.2
• 2/3 = 0.4
• 1/4 = 0.13 (십진법로 환산 해 9/36)
• 3/4 = 0.43 (십진법로 환산 해 27/36)
• 1/5 = 0.1111…
• 2/5 = 0.2222…
• 3/5 = 0.3333…
• 4/5 = 0.4444…
• 1/9 = 1/13 = 0.04 (십진법로 환산 해 4/36)
• 2/9 = 2/13 = 0.12 (십진법로 환산 해 8/36)
• 4/9 = 4/13 = 0.24 (십진법로 환산 해 16/36)
• 5/9 = 5/13 = 0.32 (십진법로 환산 해 20/36)
• 7/9 = 11/13 = 0.44 (십진법로 환산 해 28/36)
• 8/9 = 12/13 = 0.52 (십진법로 환산 해 32/36)

계산 예

• 백의 1/3 (제수가 3)
  • 십진법 : 100 ÷ 3 = 33.3333…
  • 육진법 : 244 ÷ 3 = 53.2　{육진법 53.2 = 십진법로 환산 해 33 + (1/3) }
  • 육진법 : 244 × 0.2 = 53.2
• 백의 1/9 (제수가 3²)
  • 십진법 : 100 ÷ 9 = 11.1111…
  • 육진법 : 244 ÷ 13 = 15.04　{육진법 53.2 = 십진법로 환산 해 11 + (4/36) = 11 + (1/9) }
  • 육진법 : 244 × 0.04 = 15.04
• 백의 1/27(십진) (제수가 3³)
  • 십진법 : 100 ÷ 27 = 3.703…
  • 육진법 : 244 ÷ 43 = 3.412　{육진법 3.412 = 십진법로 환산 해 3 + (152/216) = 3 + (19/27) }
  • 육진법 : 244 × 0.012 = 3.412
• 백의 1/8 (제수가 2³)
  • 십진법 : 100 ÷ 8 = 12.5
  • 육진법 : 244 ÷ 12 = 20.3　{육진법 20.3 = 십진법로 환산 해 12 + (3/6) = 12 + (1/2) }
  • 육진법 : 244 × 0.043 = 20.3
• 천의 1/3
  • 십진법 : 1000 ÷ 3 = 333.3333…
  • 육진법 : 4344 ÷ 3 = 1313.2　{육진법 1313.2 = 십진법로 환산 해 333 + (2/6) = 333 + (1/3) }
• 천의 2/3
  • 십진법 : 1000 × (2/3) = 666.6666…
  • 육진법 : 4344 × 0.4 = 3030.4　{육진법 303.04 = 십진법로 환산 해 666 + (4/6) = 666 + (2/3) }
• 천의 1/9
  • 십진법 : 1000 ÷ 9 = 111.1111…
  • 육진법 : 4344 ÷ 13 = 303.04　{육진법 303.04 = 십진법로 환산 해 111 + (4/36) = 111 + (1/9) }
  • 육진법 : 4344 × 0.04 = 303.04
• 육십사의 1/3
  • 팔진법 : 100 ÷ 3 = 25.2525…
  • 육진법 : 144 ÷ 3 = 33.2　{육진법 33.2 = 십진법로 환산 해 21 + (1/3) }
• 이백 오십육의 1/27(십진)
  • 십육진법 : 100 ÷ 1B = 9.7B425ED09…
  • 육진법 : 1104 ÷ 43 = 13.252　{육진법 13.252 = 십진법로 환산 해 9 + (104/216) = 9 + (13/27) }
• 9³ ÷ 4² (= 3⁶ ÷ 2⁴)
  • 십진법 : 729 ÷ 16 = 45.5625 {십진법 45 + (5625 / 10000) = 45 + (9/16) }
  • 육진법 : 3213 ÷ 24 = 113.3213 {육진법 113.3213 = 십진법로 환산 해 45 + (729 / 1296) = 45 + (9/16) }
• 8² ÷ 9² (= 2⁶ ÷ 3⁴)
  • 십진법 : 64 ÷ 81 = 0.790123456…
  • 육진법 : 144 ÷ 213 = 0.4424 {육진법 0.4424 = 십진법로 환산 해 1024 / 1296 = 64 / 81}

육진법 과 십진법의 단위 분수

소인수 분해	육진 분수	육진 소수	십진 소수	육진 분수
2	1/2	0.3	0.5	1/2
3	1/3	0.2	0.3333…	1/3
22	1/4	0.13	0.25	1/4
5	1/5	0.1111…	0.2	1/5
2×3	1/10	0.1	0.1666…	1/6
11(육진)	1/11	0.0505…	0.142857…	1/7
23	1/12	0.043	0.125	1/8
32	1/13	0.04	0.1111…	1/9
2×5	1/14	0.0333…	0.1	1/10
15(육진)	1/15	0.0313452421…	0.0909…	1/11
22×3	1/20	0.03	0.08333…	1/12
24	1/24	0.0213	0.0625	1/16
2×32	1/30	0.02	0.0555…	1/18
22×5	1/32	0.01444…	0.05	1/20
23×3	1/40	0.013	0.041666…	1/24
52	1/41	0.01235…	0.04	1/25
33	1/43	0.012	0.037…	1/27
25	1/52	0.01043	0.03125	1/32
22×32	1/100	0.01	0.02777…	1/36
23×5	1/104	0.005222…	0.025	1/40
2×52	1/122	0.004153…	0.02	1/50
2×33	1/130	0.004	0.0185…	1/54
210(육진)	1/144	0.003213	0.015625	1/64
34	1/213	0.0024	0.012345679…	1/81
22×52	1/244	0.0020543…	0.01	1/100
22×33	1/300	0.002	0.00925…	1/108
23×33	1/1000	0.001	0.004629…	1/216

손가락으로 세는 방법

육진법 43 = 십진법 27

육진법은 손가락으로 세는 방법이 쉽다. 주먹을 0로서 0에서 5까지의 6 개의 숫자를 한손으로 표현할 수 있기 때문이다. 2 자리로 계산하여 정수는 오른손을 "1 의 자리수", 왼손을 "6 의 자리수"로서 표시한다. 소수는 왼손으로 "1 의 자리수"고 오른손으로 "6 분의 1의 자리수", 왼손으로 "6 분의 1의 자리수"라고 오른손으로 "36 분의 1의 자리수" 를 표현한다.

예를 들어, 왼손으로 "4"오른손으로 "3"이 표시되면 (1) 육진법 43 = 십진법 27 (4×6 + 3 = 27) , (2) 4와 3/6 = 4와 1/2 , (3) 육진 소수 0.43 = 십진법 27/36 = 3/4, 에 위치한 3 종류를 표현할 수있다.

손가락으로 계산 십진법은 양손으로 십진법 10까지 = 육진법 14까지 밖에 셀 수 없다. 그러나 손가락으로 계산 육진 법은 6가 "10"이되므로 양손으로 십진법 35까지 = 육진법 55까지 계산하실 수있다. 또한 십은 3든지 4든지 분할 할 수 없지만, 육은 3 분할수 있고, 삼십육 (십진법 36 = 육진법 100)은 4든지 9 (육진법 13)든지 분할 할 수있다.

소수 (수론)

6진법의 소수 (수론)는 다음과 같다:

2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51, 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 201, 211, 215, 225, 241, 245, 251, 255, 301, 305, 331, 335, 345, 351, 405, 411, 421, 431, 435, 445, 455, 501, 515, 521, 525, 531, 551, ... (OEIS의 수열 A004680)