육진법

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기수법
개념
숫자
진법

육진법（六進法）은 6을 밑으로 하는 기수법이다. 사용 숫자는 0에서 5까지 총 6종류 이다.

기수법[편집]

육진법 0 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 20 21 22 23 24 25 30 31 32
십진법 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
십이진법 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10 11 12 13 14 15 16 17 18
이십진법 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10
육진법 33 34 35 40 41 42 43 44 45 50 51 52 53 54 55 100 101 102 103 104 105
십진법 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
십이진법 19 1A 1B 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 30 31 32 33 34 35
이십진법 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 1G 1H 1I 1J 20 21
주사위. 6 의 측이 "10"이된다.

육진법에 의한 기수법은 5의 다음이다 6을 "10"로 6 분의 1을 "0.1"로 표현한다. 주사위 과 같은 6개 세트의 물건 잘 사용되는 계산 방법이며, 9를 "13"(1×6 + 3), 십진법 10을 "14"(1×6 + 4), 십진법 12을 "20"(2×6), 십진법 16을 "24"(2×6 + 4)로 표현.

정수의 승멱는 십진법 36 (62)가 100, 십진법 216 (63)가 1000, 십진법 1296 (64)이 10000 이된다. 소수 (기수법)는 십진법 36 분의 1 (6-2)가 0.01, 십진법 216 분의 1 (6-3)가 0.001, 십진법 1296 분의 1 (6-4)이 0.0001 이된다.

육이 10이되므로, 육진법에서는 "10의 절반은 3"이된다. 따라서, 3의 배수는 1의 자리가 3 또는 0 중 하나입니다, 1의 자리가 3이면 "2는 나뉘어 떨어지지 않는, 그렇지만 3로 나누어 떨어지는 수"가되어, 1의 자리가 0이면 6의 배수 즉 "2와 3로 나누어 떨어지는 수"가된다. 표기법도 십진법 21가 "33", 3의 3 승에 해당하는 십진법 27가 "43"가 3의 배수가 계산 쉬워진다. 수사 (품사)역시 십이는 "이육"(2×6), 십팔는 "세육"(3×6), 십오는 "이육세"(2×6 + 3), 이십일는 "세육세"(3×6 + 3), 이십칠는 "사육세"(4×6 + 3) 라는 방법이된다. 정수의 용례도 십진법의 "24 시간" "이십사 시간"은 육진법에서는 "40 시간" "사육 시간"이된다.

따라서 100 (십진법 36) 이상의 세는 방법도, 예를 들면 십진법 56는 "132"(1×62 + 3×61 + 2) , 십진법 81는 "213"(2×62 + 1×61 + 3) , 십진법 100는 "244"(2× 62 + 4× 61 + 4), 십진법 1000는 "4344"(4×63 + 3×62 + 4×61 + 4), 십진법 1944는 "13000"(1×64 + 3×63)가된다.

소수에서는 십진법 10/36는 "0.14"(1 × 6-1 + 4 × 6-2), 십진법 81/216 (약분하여 3/8) 는 "0.213"(2×6-1 + 1×6-2 + 3×6-3), 십진법 125/216는 "0.325"(3×6-1 + 2×6-2 + 5×6-3), 십진법 567/1296 (십진법에서 약분하여 7/16) 는 "0.2343"(2×6-1 + 3×6-2 + 4×6-3 + 3×6-4), 십진법 1024/1296 (십진법에서 약분하여 64/81) 는 "0.4424"(4×6-1 + 4×6-2 + 2×6-3 + 4×6-4) 가된다.

사칙 연산도 예를 들어:

  • 십진법 "5 + 5 = 10"는 육진법에서는 "5 + 5 = 14"이된다.
  • 십진법 "21 + 9 = 30"는 육진법에서는 "33 + 13 = 50"이된다.
  • 십진법 "1944 + 56 = 2000"는 육진법에서는 "13000 + 132 = 13132"이된다.
  • 십진법 "100 - 36 = 64"는 육진법에서는 "244 - 100 = 144"이된다.
  • 십진법 "81 × 16 = 1296"는 육진법에서는 "213 × 24 = 10000"이된다.
  • 십진법 "36 ÷ 4 = 9"는 육진법에서는 "100 ÷ 4 = 13"이된다.
  • 십진법 "100 ÷ 4 = 25"는 육진법에서는 "244 ÷ 4 = 41"이된다.
육진 덧셈표
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 10
2 2 3 4 5 10 11
3 3 4 5 10 11 12
4 4 5 10 11 12 13
5 5 10 11 12 13 14
육진 곱셈표
× 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 10 12 14
3 0 3 10 13 20 23
4 0 4 12 20 24 32
5 0 5 14 23 32 41

멱 승수[편집]

숫자의 종류가 육 종류이므로 자리수의 증가는 빠르고, 십진법 7776이 육진법 100,000 가되어, 십진법 46,656이 육진법 1,000,000 (육진법 1010 = 십진법 66) 가된다.

육진법로는 "2 × 3 = 10"이되므로, 육의 멱 승수는 "2n × 3n = 10n" 로서 표현할 수있다. 따라서, 22 × 32가 100이되고, 23 × 33가 1000이된다. 육(10)의 멱 승수 이외에 중요한 멱 수로는 210에 해당하는 144 (십진법 26 = 64)와 310에 해당하는 3213 (십진법 36 = 729)을들 수있다.

육진법 과 십진법는 "10이 두 가지 소수의 곱"이라는 공통점을 가지고 있기 때문에, 멱 승수의 접근이 비교적 많다. 일만에 가장 가까운 멱 승수는 십진법 7776 (육진법 100,000), 백만에 가장 가까운 멱 승수는 십진법 1,679,616 (육진법 100,000,000) 이된다. 또한 육과 십의 멱 승수가 가장 근접하기 수치는 십진법 10,077,696 = 육진법 1,000,000,000 이된다. 따라서, 무리수의 소수 부분의 환산으로는 십진법 소수 7 자리를 육진법 소수 9 자리로 변환하게된다.

일억 이상의 거대한 숫자는 십진법 2,176,782,336 (612)이 육진법에 1,000,000,000,000 (1020)로, 일조에서 가장 가까운 멱 승수는 십진법 2,821,109,907,456 (616)에서 육진 법 10,000,000,000,000,000 (1024)이된다.

육의 멱승수
멱 지수 육진법 십진법 십이진법 이십진법
1 10 6 6 6
2 100 36 30 1G
3 1,000 216 160 AG
4 10,000 1,296 900 34G
5 100,000 7,776 4,600 J8G
10 1,000,000 46,656 23,000 5,GCG
11 10,000,000 279,936 116,000 1E,JGG
12 100,000,000 1,679,616 690,000 A9,J0G
13 1,000,000,000 10,077,696 3,460,000 32J,E4G
14 10,000,000,000 60,466,176 18,300,000 IHI,58G
15 100,000,000,000 362,797,056 A1,600,000 5,D79,CCG
20 1,000,000,000,000 2,176,782,336 509,000,000 1E,04H,FGG
21 10,000,000,000,000 13,060,694,016 2,646,000,000 A4,196,F0G
22 100,000,000,000,000 78,364,164,096 13,230,000,000 314,8G0,A4G
23 1,000,000,000,000,000 470,184,984,576 77,160,000,000 I76,CG3,18G
24 10,000,000,000,000,000 2,821,109,907,456 396,900,000,000 5,A3J,GGI,8CG
25 100,000,000,000,000,000 16,926,659,444,736 1,A94,600,000,000 1D,13J,11A,BGG
30 1,000,000,000,000,000,000 101,559,956,668,416 B,483,000,000,000 9I,73E,693,B0G
멱승수 표
지수 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 20
2 2 4 12 24 52 144 332 1104 2212 4424 13252 30544
3 3 13 43 213 1043 3213 14043 50213 231043 1133213 3444043 15220213
5 5 41 325 2521 22245 200201 1401405 12212241 105510125 545151121 4502320045 40120440401

분할 가능성[편집]

정수[편집]

육진법에서는 6가 10이되므로, "10 ÷ 2 = 3" "10 ÷ 3 = 2"가되고, "100 ÷ 3"과 "1000 ÷ 3"도 나눌 수있다, "1000 ÷ 3 = 200" "10000 ÷ 3 = 2000"이된다.

  • 멱 지수가 2
    • 100 ÷ 2 = 30 (십진법에서는 36 ÷ 2 = 18)
    • 100 ÷ 3 = 20 (십진법에서는 36 ÷ 3 = 12)
    • 100 ÷ 4 = 13 (십진법에서는 36 ÷ 4 = 9 , 62 ÷ 22 = 32)
    • 100 ÷ 10 = 10 (십진법에서는 36 ÷ 6 = 6)
    • 100 ÷ 13 = 4 (십진법에서는 36 ÷ 9 = 4 , 62 ÷ 32 = 22)
  • 멱 지수가 3
    • 1000 ÷ 2 = 300 (십진법에서는 216 ÷ 2 = 108)
    • 1000 ÷ 3 = 200 (십진법에서는 216 ÷ 3 = 72)
    • 1000 ÷ 4 = 130 (십진법에서는 216 ÷ 4 = 54)
    • 1000 ÷ 10 = 100 (십진법에서는 216 ÷ 6 = 36)
    • 1000 ÷ 12 = 43 (십진법에서는 216 ÷ 8 = 27, 63 ÷ 23 = 33)
    • 1000 ÷ 13 = 40 (십진법에서는 216 ÷ 9 = 24)
    • 1000 ÷ 43 = 12 (십진법에서는 216 ÷ 27 = 8 , 63 ÷ 33 = 23)
  • 멱 지수가 4
    • 10000 ÷ 2 = 3000 (십진법에서는 1296 ÷ 2 = 648)
    • 10000 ÷ 3 = 2000 (십진법에서는 1296 ÷ 3 = 432)
    • 10000 ÷ 4 = 1300 (십진법에서는 1296 ÷ 4 = 324)
    • 10000 ÷ 10 = 1000 (십진법에서는 1296 ÷ 6 = 216)
    • 10000 ÷ 12 = 430 (십진법에서는 1296 ÷ 8 = 162)
    • 10000 ÷ 13 = 400 (십진법에서는 1296 ÷ 9 = 144)
    • 10000 ÷ 24 = 213 (십진법에서는 1296 ÷ 16 = 81 , 64 ÷ 24 = 34)
    • 10000 ÷ 43 = 120 (십진법에서는 1296 ÷ 27 = 48)
    • 10000 ÷ 213 = 24 (십진법에서는 1296 ÷ 81 = 16 , 64 ÷ 34 = 24)

소수[편집]

육진법에서는 1/6은 "0.1"이므로, 1/2는 "0.3"에서 1/3는 "0.2"가되어, 1/3는 분할 수있다 소수 (기수법)된다.

십진법에서는 "10"인 십는 소수 (수론) 2와 5의 곱이므로, 1/5은 나누어 떨어지는하지만, 1/3이 나누어 떨어지지 않다. 그러나 육진법의 "10"인 육는 소수 2와 3의 곱이므로 1/3은 나눌 수있는 한편, 1/5가 나누어 떨어지지 않다. "5 + 1 = 10" "2×3 = 10"이므로, "카운트 하기 쉬움"에서도 "분할 하기 쉬움"에서도 육진법은 십진법을 훨씬 더 웃돈 다.

육은 십과 같이 단짝수 (4에서 나뉘어 떨어지지 않는 짝수)이므로, 1/4은 0.13이되고, 소수점 이하 2 자리하게된다. 또한 1/3은 나누어 떨어지는 때문에, 1/9와 1/27(십진) 등 3의 승멱수도 나누어 떨어지는 소수된다. 2와 3의 멱 지수가 동일하므로 1/8 (= 1/12)는 0.043 와 같이 십진 1/27 (= 1/43)는 0.012와 같이, 2n의 역수는 3n이되어, 3n의 역수는 2n 이된다.

또한, 육진법은 "10-1 = 5", 십진법은 "10-1 = 32"이므로 양쪽 모두 나눌 수없는 소수 (육진법이라고 5 십진법이라고 3)의 순환 절은 짧은. 육진법으로 나뉘어 떨어지지 않는 1/53 (십진 분수 1/125, 육진 분수 1/325)도 순환 절는 41육진 = 25십진 자리이다. 나뉘어 떨어지지 않는 소수에 대해서도 십진법에서는 1/3, 1/9, 1/33(= 1/27십진)에서 101육진 = 37십진의 배수가 나타나는 반면, 육진법에서는 1/5와 1/7 (= 1/11육진)에서 101육진 = 37십진의 배수가 나타난다. 실제로 십진법 999 (= 육진법 4343)와 육진법 5555 (= 십진법 1295)은 모두 101육진 = 37십진의 배수이다.

주요 분수
  • 1/2 = 0.3
  • 1/3 = 0.2
  • 2/3 = 0.4
  • 1/4 = 0.13 (십진법로 환산 해 9/36)
  • 3/4 = 0.43 (십진법로 환산 해 27/36)
  • 1/5 = 0.1111…
  • 2/5 = 0.2222…
  • 3/5 = 0.3333…
  • 4/5 = 0.4444…
  • 1/9 = 1/13 = 0.04 (십진법로 환산 해 4/36)
  • 2/9 = 2/13 = 0.12 (십진법로 환산 해 8/36)
  • 4/9 = 4/13 = 0.24 (십진법로 환산 해 16/36)
  • 5/9 = 5/13 = 0.32 (십진법로 환산 해 20/36)
  • 7/9 = 11/13 = 0.44 (십진법로 환산 해 28/36)
  • 8/9 = 12/13 = 0.52 (십진법로 환산 해 32/36)
소수 2 자리가 될 분수
  • 1/12십진 = 1/20 = 0.03 (십진법로 환산 해 3/36)
    • 5/12십진 = 5/20 = 0.23 (십진법로 환산 해 15/36)
    • 7/12십진 = 11/20 = 0.33 (십진법로 환산 해 21/36)
    • 11/12십진 = 15/20 = 0.53 (십진법로 환산 해 33/36)
  • 1/18십진 = 1/30 = 0.02 (십진법로 환산 해 2/36)
    • 5/18십진 = 5/30 = 0.14 (십진법로 환산 해 10/36)
    • 11/18십진 = 15/30 = 0.34 (십진법로 환산 해 22/36)
    • 13/18십진 = 21/30 = 0.42 (십진법로 환산 해 26/36)
소수 3 자리가 될 분수
  • 1/8 = 1/12 = 0.043 (2-3, 십진법로 환산 해 27/216)
    • 3/8 = 3/12 = 0.213 (십진법로 환산 해 81/216)
    • 5/8 = 5/12 = 0.343 (십진법로 환산 해 135/216)
    • 7/8 = 11/12 = 0.513 (십진법로 환산 해 189/216)
  • 1/27십진 = 1/43 = 0.012 (3-3, 십진법로 환산 해 8/216)
    • 8/27십진 = 12/43 = 0.144 (십진법로 환산 해 64/216. 3/10십진 = 3/14 = 0.14444…의 근사치)
    • 16/27십진 = 24/43 = 0.332 (십진법로 환산 해 128/216. 6/10십진 = 3/5 = 0.3333…의 근사치)
    • 19/27십진 = 31/43 = 0.412 (십진법로 환산 해 152/216. 7/10십진 = 11/14 = 0.41111…의 근사치)

계산 예[편집]

  • 백의 1/3 (제수가 3)
    • 십진법 : 100 ÷ 3 = 33.3333…
    • 육진법 : 244 ÷ 3 = 53.2　{육진법 53.2 = 십진법로 환산 해 33 + (1/3) }
    • 육진법 : 244 × 0.2 = 53.2
  • 백의 1/9 (제수가 32)
    • 십진법 : 100 ÷ 9 = 11.1111…
    • 육진법 : 244 ÷ 13 = 15.04　{육진법 53.2 = 십진법로 환산 해 11 + (4/36) = 11 + (1/9) }
    • 육진법 : 244 × 0.04 = 15.04
  • 백의 1/27십진 (제수가 33)
    • 십진법 : 100 ÷ 27 = 3.703…
    • 육진법 : 244 ÷ 43 = 3.412　{육진법 3.412 = 십진법로 환산 해 3 + (152/216) = 3 + (19/27) }
    • 육진법 : 244 × 0.012 = 3.412
  • 백의 1/8 (제수가 23)
    • 십진법 : 100 ÷ 8 = 12.5
    • 육진법 : 244 ÷ 12 = 20.3　{육진법 20.3 = 십진법로 환산 해 12 + (3/6) = 12 + (1/2) }
    • 육진법 : 244 × 0.043 = 20.3
  • 천의 1/3
    • 십진법 : 1000 ÷ 3 = 333.3333…
    • 육진법 : 4344 ÷ 3 = 1313.2　{육진법 1313.2 = 십진법로 환산 해 333 + (2/6) = 333 + (1/3) }
  • 천의 2/3
    • 십진법 : 1000 × (2/3) = 666.6666…
    • 육진법 : 4344 × 0.4 = 3030.4　{육진법 303.04 = 십진법로 환산 해 666 + (4/6) = 666 + (2/3) }
  • 천의 1/9
    • 십진법 : 1000 ÷ 9 = 111.1111…
    • 육진법 : 4344 ÷ 13 = 303.04　{육진법 303.04 = 십진법로 환산 해 111 + (4/36) = 111 + (1/9) }
    • 육진법 : 4344 × 0.04 = 303.04
  • 육십사의 1/3
    • 팔진법 : 100 ÷ 3 = 25.2525…
    • 육진법 : 144 ÷ 3 = 33.2　{육진법 33.2 = 십진법로 환산 해 21 + (1/3) }
  • 44 ÷ 33 (이백 오십육의 1/27십진)
    • 십육진법 : 100 ÷ 1B = 9.7B425ED09…
    • 육진법 : 1104 ÷ 43 = 13.252　{육진법 13.252 = 십진법로 환산 해 9 + (104/216) = 9 + (13/27) }
  • 93 ÷ 42 (= 36 ÷ 24)
    • 십진법 : 729 ÷ 16 = 45.5625 {십진법 45 + (5625 / 10000) = 45 + (9/16) }
    • 육진법 : 3213 ÷ 24 = 113.3213 {육진법 113.3213 = 십진법로 환산 해 45 + (729 / 1296) = 45 + (9/16) }
  • 82 ÷ 92 (= 26 ÷ 34)
    • 십진법 : 64 ÷ 81 = 0.790123456…
    • 육진법 : 144 ÷ 213 = 0.4424 {육진법 0.4424 = 십진법로 환산 해 1024 / 1296 = 64 / 81}
  • 52 ÷ 26 (육진법 52 ÷ 210)
    • 십진법 : 25 ÷ 64 = 0.390625 {십진법 390625 / 1000000 = 25 / 64}
    • 육진법 : 41 ÷ 144 = 0.220213 {육진법 220213 / 1000000 = 십진법로 환산 해 18225 / 46656 = 25 / 64}
  • (53×4) ÷ 36 (육진법 (53×4) ÷ 310)
    • 십진법 : 500 ÷ 729 = 0.685871056241…
    • 육진법 : 2152 ÷ 3213 = 0.404052 {육진법 404052 / 1000000 = 십진법로 환산 해 32000 / 46656 = 500 / 729 }
육진법 과 십진법의 단위 분수
소인수 분해 육진 분수 육진 소수 십진 소수 육진 분수
2 1/2 0.3 0.5 1/2
3 1/3 0.2 0.3333… 1/3
22 1/4 0.13 0.25 1/4
5 1/5 0.1111… 0.2 1/5
2×3 1/10 0.1 0.1666… 1/6
11 1/11 0.0505… 0.142857… 1/7
23 1/12 0.043 0.125 1/8
32 1/13 0.04 0.1111… 1/9
2×5 1/14 0.0333… 0.1 1/10
15 1/15 0.0313452421… 0.0909… 1/11
22×3 1/20 0.03 0.08333… 1/12
3×5 1/23 0.0222… 0.0666… 1/15
24 1/24 0.0213 0.0625 1/16
2×32 1/30 0.02 0.0555… 1/18
22×5 1/32 0.01444… 0.05 1/20
23×3 1/40 0.013 0.041666… 1/24
52 1/41 0.01235… 0.04 1/25
33 1/43 0.012 0.037… 1/27
25 1/52 0.01043 0.03125 1/32
22×32 1/100 0.01 0.02777… 1/36
23×5 1/104 0.005222… 0.025 1/40
24×3 1/120 0.0043 0.0208333… 1/48
2×52 1/122 0.004153… 0.02 1/50
2×33 1/130 0.004 0.0185… 1/54
210 1/144 0.003213 0.015625 1/64
23×32 1/200 0.003 0.013888… 1/72
24×5 1/212 0.0024111… 0.0125 1/80
34 1/213 0.0024 0.012345679… 1/81
25×3 1/240 0.00213 0.01041666… 1/96
22×52 1/244 0.0020543… 0.01 1/100
22×33 1/300 0.002 0.00925… 1/108
53 1/325 0.0014211253224043351545031… 0.008 1/125
211 1/332 0.0014043 0.0078125 1/128
24×32 1/400 0.0013 0.0069444… 1/144
25×5 1/424 0.00120333… 0.00625 1/160
2×34 1/430 0.0012 0.0061728395… 1/162
210×3 1/520 0.001043 0.005208333… 1/192
23×52 1/532 0.00102514… 0.005 1/200
23×33 1/1000 0.001 0.004629… 1/216

※ 소인수 분해는 육진수로 표기되어있다.

손가락으로 세는 방법[편집]

4
3
육진법 43 = 십진법 27

육진법은 손가락으로 세는 방법이 쉽다. 주먹을 0로서 0에서 5까지의 6 개의 숫자를 한손으로 표현할 수 있기 때문이다. 2 자리로 계산하여 정수는 오른손을 "1 의 자리수", 왼손을 "6 의 자리수"로서 표시한다. 소수는 왼손으로 "1 의 자리수"고 오른손으로 "6 분의 1의 자리수", 왼손으로 "6 분의 1의 자리수"라고 오른손으로 "36 분의 1의 자리수" 를 표현한다.

예를 들어, 왼손으로 "4"오른손으로 "3"이 표시되면 (1) 육진법 43 = 십진법 27 (4×6 + 3 = 27) , (2) 4와 3/6 = 4와 1/2 , (3) 육진 소수 0.43 = 십진법 27/36 = 3/4, 에 위치한 3 종류를 표현할 수있다.

손가락으로 계산 십진법은 양손으로 십진법 10까지 = 육진법 14까지 밖에 셀 수 없다. 그러나 손가락으로 계산 육진 법은 6가 "10"이되므로 양손으로 십진법 35까지 = 육진법 55까지 계산하실 수있다. 또한 십은 3든지 4든지 분할 할 수 없지만, 육은 3 분할수 있고, 삼십육 (십진법 36 = 육진법 100)은 4든지 9 (육진법 13)든지 분할 할 수있다.

소수 (수론)[편집]

6진법의 소수 (수론)는 다음과 같다:

2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51, 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 201, 211, 215, 225, 241, 245, 251, 255, 301, 305, 331, 335, 345, 351, 405, 411, 421, 431, 435, 445, 455, 501, 515, 521, 525, 531, 551, ... (OEIS의 수열 A004680)
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