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수학 에서, 소수 (小數, 영어 : decimal )는 각각의 자리에 놓인 숫자 와 소수점 을 통해 나타낸 실수 이다. 소수점 왼쪽에 놓인 숫자들은 실수의 정수 부분, 소수점 오른쪽에 놓인 숫자들은 실수의 소수 부분을 나타낸다.
음이 아닌 실수
r
{\displaystyle r}
의 소수 표기는 다음과 같은 꼴이다.
r
=
r
0
.
r
1
r
2
r
3
⋯
{\displaystyle r=r_{0}.r_{1}r_{2}r_{3}\cdots }
여기서 각
i
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle i=0,1,2,\dots }
에 대하여,
r
i
{\displaystyle r_{i}}
는 0부터 9까지의 숫자 가운데 하나이다. 음의 실수의 경우, 왼쪽에 부호를 붙여준다. 또한, 만약 어떤
n
{\displaystyle n}
번째 자릿수
r
n
{\displaystyle r_{n}}
부터
0
=
r
n
=
r
n
+
1
=
r
n
+
2
=
⋯
{\displaystyle 0=r_{n}=r_{n+1}=r_{n+2}=\cdots }
가 성립한다면, 이러한 끝쪽의 0들을 생략하여 다음과 같이 표기할 수 있다.
r
=
r
0
.
r
1
r
2
r
3
⋯
r
n
−
1
{\displaystyle r=r_{0}.r_{1}r_{2}r_{3}\cdots r_{n-1}}
엄밀히 말해, 소수는 극한 의 개념을 통해 정의된다. 즉, 위의 표기가 실수의 소수 표기가 되려면, 다음과 같은 급수 공식을 만족시켜야 한다.
r
=
∑
n
=
0
∞
10
−
n
r
n
=
lim
n
→
∞
r
0
.
r
1
r
2
⋯
r
n
{\displaystyle r=\sum _{n=0}^{\infty }10^{-n}r_{n}=\lim _{n\to \infty }r_{0}.r_{1}r_{2}\cdots r_{n}}
또한, 표준적인 소수 표기는 다음을 추가로 만족시켜야 한다.
9
=
r
n
=
r
n
+
1
=
r
n
+
2
=
⋯
{\displaystyle 9=r_{n}=r_{n+1}=r_{n+2}=\cdots }
인
n
{\displaystyle n}
이 존재하지 않는다.
즉, 만약 맨 끝에 숫자 9가 끝없이 반복된다면 이를 올림하여야 한다. 예를 들어, 0.999... = 1이며, 1.234999... = 1.235이다. 간혹 올림하여 얻는 표기 대신 끝에 9가 붙은 표기를 표준으로 간주하기도 한다.
유리수 의 소수 표기는 유한하거나, 무한하지만 순환한다. 그 예는 다음과 같다.
1
/
2
=
0.5
{\displaystyle 1/2=0.5}
1
/
3
=
0.333333
⋯
{\displaystyle 1/3=0.333333\cdots }
무리수 의 소수 표기는 무한하며 비순환이다. 그 예는 다음과 같다.
2
=
1.414213
⋯
{\displaystyle {\sqrt {2}}=1.414213\cdots }
π
=
3.141592
⋯
{\displaystyle \pi =3.141592\cdots }
소수는 자릿수들의 열의 성질에 따라 다음과 같이 나뉜다.
유한 소수 [ 편집 ]
소수점 아랫자리가 유한한 수를 유한 소수 (有限小數, 영어 : finite decimal )라고 한다. 모든 유한 소수는 유리수 이다. 만약 기약 분수 의 분모가
2
m
5
n
{\displaystyle 2^{m}5^{n}}
(
m
,
n
{\displaystyle m,n}
은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수이다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가
2
m
5
n
{\displaystyle 2^{m}5^{n}}
(
m
,
n
{\displaystyle m,n}
은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다. 유한 소수의 예는 다음과 같다.
1
/
2
=
0.5
{\displaystyle 1/2=0.5}
3
/
4
=
0.75
{\displaystyle 3/4=0.75}
7
/
25
=
0.28
{\displaystyle 7/25=0.28}
1
/
80
=
0.0125
{\displaystyle 1/80=0.0125}
보다 일반적으로,
b
{\displaystyle b}
진법 소수 표기에서, 어떤 기약 분수가 유한 소수일 필요충분조건은 분모의 모든 소인수가
b
{\displaystyle b}
의 소인수인 것이다.
순환 소수 [ 편집 ]
소수점 아래에서 어떤 숫자들의 유한 열이 무한히 반복되는 소수를 순환 소수 (循環小數, 영어 : repeating decimal )라고 한다. 어떤 수가 순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 유리수 이다. 무한 순환 소수의 예는 다음과 같다.
1
/
3
=
0.
3
˙
=
0.333
⋯
{\displaystyle 1/3=0.{\dot {3}}=0.333\cdots }
1
/
6
=
0.1
6
˙
=
0.1666
⋯
{\displaystyle 1/6=0.1{\dot {6}}=0.1666\cdots }
3
/
11
=
0.
2
˙
7
˙
=
0.272727
⋯
{\displaystyle 3/11=0.{\dot {2}}{\dot {7}}=0.272727\cdots }
1
/
7
=
0.
1
˙
4285
7
˙
=
0.142857142857142857
⋯
{\displaystyle 1/7=0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}=0.142857142857142857\cdots }
비순환 소수 [ 편집 ]
순환 소수가 아닌 소수를 비순환 소수 (非循環小數, 영어 : non-repeating decimal )라고 한다.어떤 수가 비순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 무리수 이다. 비순환 소수의 예는 다음과 같다.
2
=
1.414213
⋯
{\displaystyle {\sqrt {2}}=1.414213\cdots }
π
=
3.141592
⋯
{\displaystyle \pi =3.141592\cdots }
e
=
2.718281
⋯
{\displaystyle e=2.718281\cdots }
실수와 그 소수 표기 사이의 대응을 생각하면, 실수의 집합의 크기가 숫자의 열의 집합의 크기와 같으며, 특히 자연수 의 집합의 크기보다 큼을 알 수 있다.
실수의 소수 표기는 실수의 구성 에 쓰일 수 있다.