환론에서 쌍가군(雙加群, 영어: bimodule 바이모듈[*])은 왼쪽 가군과 오른쪽 가군의 구조를 동시에 가지며, 두 구조가 서로 결합 법칙을 만족시키는 대수 구조이다.
환
와
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
-쌍가군(영어:
-bimodule)
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 아벨 군
![{\displaystyle (M,+)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac85e31c15b188cc6674c500245dd710fc78d8ca)
위의
-왼쪽 가군 구조 ![{\displaystyle _{R}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64cb77f1927cb9ba6e921c3ae775c89f4524175)
위의
-오른쪽 가군 구조 ![{\displaystyle M_{S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fdc66710bc55a9c0a86222a8f43f12685f8c698)
이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.
- 모든
,
,
에 대하여, ![{\displaystyle (rm)s=r(ms)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9505504701915f81cb440b91eb544578edcdcec0)
보다 일반적으로, 가환환
와
-단위 결합 대수
와
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
-쌍가군
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 아벨 군
![{\displaystyle (M,+)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac85e31c15b188cc6674c500245dd710fc78d8ca)
위의
-왼쪽 가군 구조 ![{\displaystyle _{R}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64cb77f1927cb9ba6e921c3ae775c89f4524175)
위의
-오른쪽 가군 구조 ![{\displaystyle M_{S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fdc66710bc55a9c0a86222a8f43f12685f8c698)
이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.
- 모든
,
,
에 대하여, ![{\displaystyle (rm)s=r(ms)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9505504701915f81cb440b91eb544578edcdcec0)
- 모든
에 대하여, ![{\displaystyle km=mk}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54889abcccf80f6bb164e814b02a51f088753cf)
-쌍가군은
일 때
-쌍가군의 개념과 같다.
두
-쌍가군
,
사이의 쌍가군 준동형(영어: bimodule homomorphism)
은 다음 조건들을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.
는
-왼쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉,
이다.
는
-오른쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉,
이다.
가군과의 관계[편집]
다음 네 개념들이 서로 동치이다.
-쌍가군
-쌍가군
-왼쪽 가군
-오른쪽 가군
(여기서
는 반대환을 뜻한다.)
다음 세 개념들이 서로 동치이다.
- 아벨 군
-가군
-쌍가군
환
에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.
-왼쪽 가군
-오른쪽 가군
-쌍가군
-쌍가군
환
에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.
-오른쪽 가군
-왼쪽 가군
-쌍가군
-쌍가군
가환환
에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.
-가군
-쌍가군
-쌍가군
-쌍가군
또한, 위 개념들에 대한 준동형들 또한 서로 동치이다. 예를 들어,
-쌍가군 준동형은
-왼쪽 가군의 가군 준동형과 같은 개념이다.
즉, 쌍가군의 개념은 가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있으며, 반대로 가군의 개념을 쌍가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있다.
가환환
에 대하여, 모든
-가군 (즉,
-쌍가군)은 망각을 통하여
-쌍가군을 이루지만, 일반적으로
-쌍가군이 아닌
-쌍가군이 존재한다.
텐서곱 가군과 준동형 가군[편집]
-쌍가군
및
-쌍가군
이 주어졌을 때, 텐서곱
![{\displaystyle _{R}M\otimes _{S}N_{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d4d1e9c5f9bbaca6196f55ebb4914f00781b39)
은 자연스럽게
-쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자
![{\displaystyle (_{R}M\otimes _{S}-)\colon {}_{S}\operatorname {Mod} _{T}\to {}_{R}\operatorname {Mod} _{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3586e7ab9df9d92f3d8d970c2678f475fcb7e3b1)
![{\displaystyle (-\otimes _{S}N_{T})\colon {}_{R}\operatorname {Mod} _{S}\to {}_{R}\operatorname {Mod} _{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed5c2d1f87a603da1720113d8b9fd308efe1255)
를 정의한다.
또한,
-쌍가군
및
-쌍가군
가 주어졌을 때, 왼쪽 가군 준동형군
![{\displaystyle \hom _{_{R}\operatorname {Mod} }(_{R}M_{S},{}_{R}N_{T})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbb7f834ee673551999eaa2b9774db934fc16bc)
은
![{\displaystyle (sft)(m)=\left(f(ms)\right)t\qquad \forall s\in S,\;t\in T,\;m\in M,\;f\in \hom _{_{R}\operatorname {Mod} }(_{R}M_{S},{}_{R}N_{T})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414094582358a0c8f6a2165874ceaf27e110b223)
를 통해
-쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자
![{\displaystyle \hom _{R}(_{R}M_{S},-)\colon {}_{R}\operatorname {Mod} _{T}\to {}_{S}\operatorname {Mod} _{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab78fc522f64d36b9ea65d429a6afcbc3f291484)
![{\displaystyle \hom _{R}(-,{}_{R}N_{T})\colon {}_{R}\operatorname {Mod} _{S}\to {}_{S}\operatorname {Mod} _{T}^{\operatorname {op} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f180e03335803553dd3e9ba3ebf4c5f909d6c3c)
를 정의한다. 반대로, 오른쪽 가군 준동형을 사용한다면
-쌍가군
및
-쌍가군
가 주어졌을 때, 준동형군
![{\displaystyle \hom _{\operatorname {Mod} _{S}}(_{R}M_{S},{}_{T}N_{S})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcdc1bef5b6c7a3d4c01fe4e72eb3f8f8f13f667)
은
![{\displaystyle (tfr)(m)=t\left(f(rm)\right)\qquad \forall r\in R,\;t\in T,\;m\in M,\;f\in \hom _{\operatorname {Mod} _{S}}(_{R}M_{S},{}_{T}N_{S})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea6eecaa3241be9b046aea40afbb54e935ecd81)
를 통해
쌍가군을 이루며, 쌍가군 범주의 가법 함자
![{\displaystyle \hom _{S}(_{R}M_{S},-)\colon {}_{T}\operatorname {Mod} _{S}\to {}_{T}\operatorname {Mod} _{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f73b020c9af80cf52f4884a8dc1f733d02c21b)
![{\displaystyle \hom _{S}(-,{}_{T}N_{S})\colon {}_{R}\operatorname {Mod} _{S}\to {}_{T}\operatorname {Mod} _{R}^{\operatorname {op} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de73288ba947522395172f713b0807b7a1e94b1)
를 정의한다.
이는 다음과 같이 수반 함자를 이룬다.
![{\displaystyle (_{R}M\otimes _{S}-)\dashv \hom _{R}(_{R}M_{S},-)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba0e7fa2280aba86d4bbbd452c62a81c80ce317c)
![{\displaystyle (-\otimes _{R}M_{S})\dashv \hom _{S}(_{R}M_{S},-)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dce636f50f7ddf6bcd4aed4501e4fd8316e84453)
특히,
또는
또는
를 놓으면 각종 가군 범주 위의 다음과 같은 가법 함자들을 얻는다.
![{\displaystyle (_{R}M\otimes _{S}-)\colon {}_{S}\operatorname {Mod} \to {}_{R}\operatorname {Mod} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df38180e6fe6a667565285b3738de36f0b425a5)
![{\displaystyle (-\otimes _{R}M_{S})\colon \operatorname {Mod} _{R}\to \operatorname {Mod} _{S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3cd837cdfd0e17e7349603a4d39a0f6d5ae6d4)
![{\displaystyle \hom _{R}(_{R}M_{S},-)\colon {}_{R}\operatorname {Mod} \to {}_{S}\operatorname {Mod} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/873ab3495f501a03da5633f427d7586c76d8d0b6)
![{\displaystyle \hom _{R}(-,{}_{R}M_{S})\colon {}_{R}\operatorname {Mod} \to \operatorname {Mod} _{S}^{\operatorname {op} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ce62938ba4d58d1dc121ef6b640f89bdac5391)
![{\displaystyle \hom _{S}(_{R}M_{S},-)\colon \operatorname {Mod} _{S}\to \operatorname {Mod} _{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a55927b0a04773b55dc0c04ed3133fb034468ddf)
![{\displaystyle \hom _{S}(-,{}_{R}M_{S})\colon \operatorname {Mod} _{S}\to {}_{R}\operatorname {Mod} ^{\operatorname {op} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619d79fe321a56dc7b8c9761c9843c3fd228879c)
![{\displaystyle (_{R}M\otimes _{S})\dashv \hom _{R}(_{R}M_{S},-)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e9654f61886960d65d9e5bc9b13234c0beae22)
![{\displaystyle (-\otimes _{R}M_{S})\dashv \hom _{S}(_{R}M_{S},-)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dce636f50f7ddf6bcd4aed4501e4fd8316e84453)
쌍가군의 2-범주[편집]
임의의 가환환
와
-단위 결합 대수
,
에 대하여,
-쌍가군을 대상으로 하고,
-쌍가군 준동형을 사상으로 하는 범주
가 존재한다.
인 경우 이는 단순히
로 표기한다.
보다 일반적으로, 가환환
에 대하여 다음과 같은 2-범주
가 존재한다.
의 대상은
-단위 결합 대수이다. (즉,
의 대상과 같다.)
에서, 단위 결합 대수
,
사이의 1-사상은
-쌍가군
이다.
의 정의역은
, 공역은
이다.
- 두 쌍가군
,
의 합성은 쌍가군의 텐서곱
이다.
- 환
위의 항등 사상은
이다.
- 같은 정의역과 공역을 갖는 두 1-사상
,
사이의 2-사상은
-쌍가군 준동형이다. 즉, 범주로서
이다.
아이디얼[편집]
환
의 왼쪽 아이디얼은
-왼쪽 가군을 이루며, 오른쪽 아이디얼은
-오른쪽 가군을 이룬다.
의 양쪽 아이디얼
은
-쌍가군을 이룬다.
특히,
전체는
의 양쪽 아이디얼이며, 따라서
-쌍가군을 이룬다.
보다 일반적으로, 가환환
위의 단위 결합 대수
가 주어졌을 때,
-가군을 이루는
-양쪽 아이디얼
는
-쌍가군을 이룬다. 특히,
전체는
-쌍가군을 이룬다.
부분환[편집]
-쌍가군
및
의 부분환
와
의 부분환
가 주어졌을 때,
은 망각을 통해 자연스럽게
-쌍가군을 이룬다.
특히, 환
의 부분환
가 주어졌을 때, 쌍가군
에 망각을 가하여 쌍가군
및
및
를 정의할 수 있다.
가군의 자기 사상[편집]
환
위의 오른쪽 가군
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
는 가법 범주이므로
의 자기 사상 집합
는 환을 이룬다. 이 자기 사상환은
의 왼쪽에 자연스럽게 작용하며, 따라서
는
-쌍가군을 이룬다.
마찬가지로,
위의 왼쪽 가군
은 자연스럽게
-쌍가군을 이룬다.
이 구성은 모리타 동치의 정의에 등장한다.
행렬 쌍가군[편집]
환
위의
행렬로 구성된 아벨 군
을 생각하자. 만약
이라면 (즉, 정사각 행렬이라면)
는 환을 이룬다.
행렬의 곱셈은 자연스러운
-쌍선형 함수
를 이룬다. 이에 따라,
는 자연스럽게
-쌍가군을 이룬다.
물론,
는 (대각 행렬로서)
의 부분환을 이룬다. 이에 따라,
는
-쌍가군을 이룬다. 이 경우,
는 단순히 자유 가군
으로 생각할 수 있다.
쌍가군에 대하여, 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지를 정의할 수 있다.
쌍가군의 개념은 모리타 동치 및 모리타 쌍대성을 정의할 때 쓰인다.
외부 링크[편집]