가환대수학에서 분할 거듭제곱 환(分割-環, 영어: divided power ring, 프랑스어: anneau à puissances divisées)은 표수의 배수인
의 경우에도, 적어도 어떤 아이디얼의 원소
의 경우에는 “
”과 유사한 연산이 가능하게 하는 구조가 주어진 가환환이다. 표수 0의 체 위의 가환 결합 대수의 경우에는 분할 거듭제곱 구조는 유일하지만, 양의 표수에서는 일반적으로 그렇지 않다.
분할 거듭제곱 환
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 가환환
![{\displaystyle R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33)
의 아이디얼 ![{\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92109c5871766a166e281fdfc221be2b9d9ae96d)
- 각 자연수
에 대하여, 함수
. 이를
위의 분할 거듭제곱 구조(分割-構造, 영어: divided power structure, 프랑스어: structure à puissances divisées)라고 한다.
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
![{\displaystyle \gamma _{0}(x)=1\qquad \forall x\in {\mathfrak {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e98e264ce1b9fe75e75f9690bd3936ef9df9fb2)
![{\displaystyle \gamma _{1}(x)=x\qquad \forall x\in {\mathfrak {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7113d1d0f0c9231bb0ffaaacb14c4dcd199b82be)
![{\displaystyle \gamma _{n}(x)\in {\mathfrak {I}}\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;x\in {\mathfrak {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89224e03efaafbf4d344e8e66ce97fe29087624)
![{\displaystyle \gamma _{n}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}\gamma _{n-i}(x)\gamma _{n}(y)\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\;x,y\in {\mathfrak {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b67d650ade2865bab313c307522639f3dbdcccda)
![{\displaystyle \gamma _{n}(rx)=r^{n}\gamma _{n}(x)\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\;r\in R,\;x\in {\mathfrak {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891160f5aa735216d1bcd227e5058266b4c68b81)
![{\displaystyle \gamma _{m}(x)\gamma _{n}(x)={\binom {m+n}{m}}\gamma _{m+n}(x)\qquad \forall m,n\in \mathbb {N} ,\;x\in {\mathfrak {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d732def91efb78d998d8b2bea620d67c565e51a5)
![{\displaystyle \gamma _{n}(\gamma _{m}(x))={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}\gamma _{mn}(x)\qquad \forall m\in \mathbb {Z} ^{+},\;n\in \mathbb {N} ,\;x\in {\mathfrak {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc14d83b0c298d3afb59552b28f6ebb3d4e14c0)
간혹
대신
와 같은 표기도 사용된다.
분할 거듭제곱 환 준동형[편집]
두 분할 거듭제곱 환
,
사이의 준동형
은 다음 두 조건을 만족시키는 환 준동형이다.
![{\displaystyle f({\mathfrak {I}})S\subseteq {\mathfrak {J}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f140d20bbcf2f11035cc7c3a4d5ef08241900533)
![{\displaystyle f(\gamma _{n}(x))=\delta _{n}(f(x))\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\;x\in {\mathfrak {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2509a5ab27d5d17e523fb5b259a9de439c825838)
이에 따라, 분할 거듭제곱 환과 그 준동형들로 구성된 구체적 범주가 존재한다.
분할 거듭제곱 스킴[편집]
분할 거듭제곱 환의 개념을 스킴으로 일반화시킬 수 있다.
분할 거듭제곱 스킴(分割-scheme, 영어: divided power scheme)은 다음 데이터로 주어진다.
- 스킴
![{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46716c1fec068ffe9981107a5a215fa1fc9e7d5f)
위의 아이디얼 층 ![{\displaystyle {\mathcal {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e9730a0ada0426927ff64141eb9f505eca132d4)
의 각 (자리스키) 열린집합
에 대하여, 분할 거듭제곱 구조 ![{\displaystyle \gamma _{n}\colon {\mathcal {I}}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32fb7f1764524e3ffc4ddbdca098c7263043c447)
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 임의의 두 (자리스키) 열린집합
및
에 대하여, 다음 그림이 가환한다. (즉, 준층의 사상을 이룬다.)
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {I}}(U)&{\overset {\gamma _{n}}{\to }}&{\mathcal {I}}(U)\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle \operatorname {res} _{U,V}^{\mathcal {I}}}\downarrow \scriptstyle \color {White}{\operatorname {res} _{U,V}^{\mathcal {I}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle \color {White}\operatorname {res} _{U,V}^{\mathcal {I}}}\downarrow \scriptstyle \operatorname {res} _{U,V}^{\mathcal {I}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\{\mathcal {I}}(V)&{\underset {\gamma _{n}}{\to }}&{\mathcal {I}}(V)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d3a466769af44f096da43c530dd5b258dbfb490)
분할 거듭제곱 스킴 사이의 사상 역시 분할 거듭제곱 환 사이의 준동형과 유사하게 정의된다.
임의의 분할 거듭제곱 환
에서, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle r^{n}=n!\gamma _{n}(r)\qquad (\forall n\in \mathbb {N} ,\;r\in {\mathfrak {I}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08b0c20bcdc911073c0efea036f61db6e53ef1bf)
물론, 만약
에서
이라면, 좌변과 우변 둘 다 0이다.
증명:
분할 거듭제곱 구조의 공리에 따라,
![{\displaystyle r\gamma _{n}(r)=\gamma _{1}(r)\gamma _{n}(r)={\binom {n+1}{1}}\gamma _{n+1}(r)=(n+1)\gamma _{n+1}(r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa9b2be946a387d6646726fe3b488816c7795a34)
이다. 이를 반복하면
![{\displaystyle r^{n}=1\cdot r^{n-1}\gamma _{1}(r)=1\cdot 2\cdot r^{n-2}\gamma _{2}(r)=\dotsb =n!\gamma _{n}(r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d181b33f6819b673fde1832a6e710b25edcc926d)
을 얻는다.
분할 거듭제곱 포락[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 분할 거듭제곱 환
![{\displaystyle (A,{\mathfrak {I}},\gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181846079a27c9eff3c823be0e76a9134438b81b)
- 가환환
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
- 환 준동형
![{\displaystyle f\colon A\to B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119)
의 아이디얼
. 또한,
라고 하자.
그렇다면, 다음 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환
가 항상 존재함을 보일 수 있다.
- 임의의 분할 거듭제곱 환
에 대하여,
![{\displaystyle \hom _{\operatorname {PDRing} /(A,{\mathfrak {I}},\gamma )}\left(({\bar {B}},{\bar {\mathfrak {J}}},\delta ),(C,{\mathfrak {K}},\varepsilon )\right)=\hom _{\operatorname {CRingIdeal} /(A,{\mathfrak {I}})}\left((B,{\mathfrak {J}}),(C,{\mathfrak {K}})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a55d8cef479be4a7ec3353176495f2aba591823)
여기서
은 분할 거듭제곱 환의 범주이다.
은 가환환의 아이디얼들의 범주이다. 즉,
의 대상
은 가환환
와 그 속의 아이디얼
의 순서쌍이다.
의 사상
은
인 환 준동형
이다.
은 조각 범주를 뜻한다.
이 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환
을
위의 분할 거듭제곱 포락(分割-包絡, 영어: divided power envelope)이라고 한다. 즉, 이는 아이디얼에 분할 거듭제곱 구조를 “가장 자연스럽게” 부여한 것이다.
분할 거듭제곱 미분[편집]
고전적인 켈러 미분의 이론은 양의 표수에서 잘 작동하지 않는다. 분할 거듭제곱 환의 이론을 사용하면, 양의 표수에서도 공사슬 복합체를 이루는 분할 거듭제곱 드람 복합체를 정의할 수 있다.
구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
- 가환환
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
- 분할 거듭제곱 환
![{\displaystyle (R,{\mathfrak {I}},\gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ee43ec9e7b2424bebb78c1cf0918eae8a5f42c)
- 환 준동형
![{\displaystyle f\colon K\to R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28fb2d5f6ccaf40714597c35c092a2230b33295f)
켈러 미분의 가군과 유사하게, 분할 거듭제곱 미분 가군(分割-微分加群, 영어: module of divided-power differentials)
를 다음과 같은 항등식들을 만족시키는
들로 생성되는
-가군으로 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \mathrm {d} (r+s)=\mathrm {d} b+\mathrm {d} s\qquad (r,s\in R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c016024826e8ed1d332b2c06c0b81938aaf1a81)
![{\displaystyle \mathrm {d} (rs)=(\mathrm {d} r)s+r(\mathrm {d} s)\qquad (r,s\in R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a19846f77b63e39c20d297d11f9b3ed1bf5d1660)
![{\displaystyle \mathrm {d} f(\lambda )=0\qquad \forall \lambda \in K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e5a8aad0caad1fdee4c1592cdf0786dfb8d16e)
![{\displaystyle \mathrm {d} (\gamma _{n}(r))=\gamma _{n-1}\mathrm {d} r\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;r\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffda77eb04fb9593ad5aacdaca8b2ba30bc5963d)
이것이 보통 켈러 미분하고 다른 점은 넷째 조건 밖에 없다.
이제, 켈러 미분과 마찬가지로
![{\displaystyle \Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{n}=\bigwedge _{R}^{n}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\delta }^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c150c04c9c4e2e2b05ba69b12136a09cdfe843)
![{\displaystyle \mathrm {d} \colon \left(r_{0}(\mathrm {d} r_{1}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} r_{n})\right)\mapsto \mathrm {d} r_{0}\wedge \mathrm {d} r_{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} r_{n}\qquad (r_{0},r_{1},\dotsc ,r_{n}\in R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc38e0e5bc9c818ae94f1f0cfa4345ae4b70bae)
를 정의하면, 이것이 다음과 같은 공사슬 복합체를 이룸을 보일 수 있다.
![{\displaystyle \Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{0}{\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega _{R/K,J,\delta }^{1}{\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{2}{\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega _{R/K,{\mathfrak {I}},\gamma }^{3}{\xrightarrow {\mathrm {d} }}\dotsb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddcb79de1d24df32db1ca94c6793c2c01f81d43e)
이를 분할 거듭제곱 드람 복합체(分割-de Rham複合體, 영어: divided-power de Rham complex)라고 한다.
이 드람 복합체의 존재는 궁극적으로 구조층
가 결정 위치 위의 결정이기 때문이다.
표수 0의 대수[편집]
표수 0의 체
위의 가환 결합 대수
의 임의의 아이디얼
위에는 유일한 분할 거듭제곱 구조가 존재하며, 다음과 같다.
![{\displaystyle \gamma _{n}(x)={\frac {1}{n!}}\cdot x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65d144cb276d2b581f5df14466f96d90d29b9ec8)
물론, 이 경우
로 놓을 수 있다.
자유 분할 거듭제곱 구조[편집]
가환환
![{\displaystyle \mathbb {Z} \langle {x}\rangle :=\mathbb {Z} \left[x,{\frac {x^{2}}{2}},\ldots ,{\frac {x^{n}}{n!}},\dotsc \right]\subset \mathbb {Q} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e700ea8ae013dff49fcd2b8a1d476e52ac3258)
의 주 아이디얼
위에는 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조가 존재한다.
![{\displaystyle \gamma _{n}(x)={\frac {x^{n}}{n!}}\qquad \forall n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d190a77a1ca08205cca7f6d3ef20c66b20651e6)
이 분할 거듭제곱 대수는 하나의 생성원에 대한 자유
-분할 거듭제곱 대수이다. 여기서 “자유”라는 것은, 범주 이론의 의미로 붙인 것이다.
분할 거듭제곱 다항식환[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 가환환
![{\displaystyle R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33)
- 유한 집합
![{\displaystyle I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f)
그렇다면, 분할 거듭제곱 단항식(分割-單項式, 영어: divided power monomial)은 다음과 같은 꼴의 형식적 단항식이다.
![{\displaystyle r\prod _{i\in I}x_{i}^{[n_{i}]}\qquad ((n_{i})_{i\in I}\in \mathbb {N} ^{I},\;r\in R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a4033e3bdcdfed6df0f02aff17747ed652e382)
이와 같은 분할 거듭제곱 단항식들의 (유한 개의) 합들로 구성된 가환
-결합 대수
를 분할 거듭제곱 다항식환(分割-多項式環, 영어: divided power polynomial ring)이라고 한다.
이 속에서, 양의 차수(즉,
인 것)인 분할 거듭제곱 단항식들로 구성된 아이디얼을 생각할 수 있다. 이 위에는
![{\displaystyle \lambda _{n}(x_{i}^{[m]})={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}x_{i}^{[mn]}\qquad (m,n\in \mathbb {N} ,\;i\in I)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7747760540d872af7885b130f1bf86ca1af99865)
와 같은 표준적인 분할 거듭제곱 구조가 주어진다.
양의 표수[편집]
양의 표수의 체 위의 가환 결합 대수의 경우,
는 성립하더라도,
로 나눌 수 없는 경우가 생길 수 있으므로, 분할 거듭제곱 구조는 유일하지 않을 수 있다.
예를 들어, 만약
- 소수
의 표수를 갖는 가환환 ![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
인 멱영 아이디얼 ![{\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b099323d969b4af947ff1a589b89e98e8d33cda)
에 대하여, 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \gamma _{n}(x)={\begin{cases}x^{n}/n!&n<p\\0&n\geq p\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9d0cb29ae82105d0f1b77f532a521ff89f52b6)
일반적으로 양의 표수의 환에서 주의할 점 하나는, 아이디얼
과, 모든
에 대해
로 생성된 아이디얼 사이에는 차이가 있다는 점이다. 전자는 0이 아닐 수 있지만, 후자의 경우는 분할 거듭제곱 구조가 존재한다면 항상 0이 된다는 것을 증명할 수 있다.
분할 거듭제곱 구조는 분할 거듭제곱 미분 연산자의 이론이나 결정 코호몰로지 이론에서 기본적인 도구로 사용된다. 이를 이용하여, 양의 표수를 가지는 환에서의 기술적인 어려움들이 극복될 수 있다.
구체적으로, 양의 표수
의 경우, 에탈 코호몰로지는
인 경우에서만 유용하다. 직관적으로, 표수
의 가환환
위의 다항식환
에서, 미분의 곱 규칙
![{\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5d6f88dda501c400f982e5b547659b76186e1b)
을 생각하자. 만약
일 경우
![{\displaystyle (x^{n})'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6edfb9e0e485a62124b14b3e427be55bbe4a4f55)
이 된다. 이 때문에 쿠머 열(영어: Kummer sequence)이
에서는 에탈 위상 위에서 완전열이 되지 못하게 된다.
이를 해결하기 위해서는 앞에 붙는
을 처리해야만 한다. 이러한 미분을 위해서, 다음과 같은 특수한 곱을 정의하자.
![{\displaystyle x^{[m]}y^{[n]}={\frac {(m+n)!}{m!n!}}x^{m}y^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7bce5f5fc7dbba1e499ffd941303d8c10907e8d)
그렇다면, 여기에 미분 구조를 주었다고 하면
![{\displaystyle (x^{[n]})'=x^{[n-1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687048a72814fc46f7886cc6ab20f08073e996f3)
가 되며, 골칫거리인
이 사라지게 된다.
즉, 가환환
에 대하여, 다음과 같은 정의를 생각할 수 있다.
![{\displaystyle A\langle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle =\left\{\sum _{i_{1},\cdots ,i_{n}}a_{i_{1},\cdots ,i_{n}}x_{1}^{[i_{1}]}\cdots x_{n}^{[i_{n}]}|a_{i_{1},\cdots ,i_{n}}\in A\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c57ae0722ab51d9df8a067a783fde2f30151b3)
이와 같은 구성을 조금 더 일반화하면, 분할 거듭제곱 환 및 분할 거듭제곱 스킴의 개념에 도달하게 된다.
보통, 대수기하학에서는 멱영 아이디얼 위의 분할 거듭제곱 구조만을 고려하는데, 이는 분할 거듭제곱 구조를 주어야 하는 곳은 한정되어야 하기 때문이다. 예를 들면,
같은 경우는
로 생성되는 주 아이디얼에만 “작업을 가하면” 된다. 우리가 어려움을 겪는 이유는
가 들어간 것의 미분 때문이기 때문이다. 아이디얼을 더 크게 잡으면, 망가지지 말아야 할
의 연산도 망가지게 된다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
- Berthelot, Pierre; Ogus, Arthur (1978). 《Notes on Crystalline Cohomology》. Annals of Mathematics Studies (영어). Princeton University Press. Zbl 0383.14010.
- Hazewinkel, Michiel (1978). 《Formal Groups and Applications》. Pure and applied mathematics (영어) 78. Elsevier. ISBN 0123351502. Zbl 0454.14020.
- Berthelot, Pierre (1974). 《Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 407. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0068636. ISBN 978-3-540-06852-5. MR 0384804.
외부 링크[편집]