복소수 미분 형식

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미분기하학에서, 복소수 미분 형식(複素數微分形式, 영어: complex differential form)은 복소다양체 위에 정의한 미분 형식이다. 실수다양체 위의 미분 형식과는 달리, 정칙 형식, 돌보 코호몰로지 등의 개념을 정의할 수 있다.

전개[편집]

n차원의 복소다양체 을 생각하자. 국소적으로 복소좌표 ()를 잡을 수 있다. 이에 따라 실수다양체와 마찬가지로 형식 , 를 정의할 수 있다. 일반적인 복소수 미분 형식

꼴의 형식을 취한다. 여기서 개, 개 있으면 이를 -형식으로 부른다. 이 차수 는 전칙적 좌표변환에 대하여 바뀌지 않으므로, -형식의 집합은 복소수 벡터 다발 을 이룬다. 이를 으로 볼 수도 있다.

돌보 코호몰로지[편집]

실수 미분 형식의 경우와 마찬가지로, 복소수 미분 형식에도 외미분 를 정의할 수 있다. 일반적으로 이는

과 같다. 복소구조에 의하여 이는 다음 두 연산자의 합으로 쓸 수 있다.

;

여기서 돌보 연산자(프랑스어: opérateur de Dolbeault)라고 부른다.

국소적 좌표로는 돌보 연산자를 외미분과 유사하게 정의할 수 있다. 즉 -형식 의 경우,

그 돌보 연산자는 다음과 같다.

여기서 , 다중지표(multiindex)다.

이들은 다음 성질을 만족한다.

따라서 돌보 연산자로 코호몰로지를 정의할 수 있다. 통상적으로 을 쓴다. 즉 다음과 같은 사슬 복합체를 생각하자.

이 경우 다음과 같은 -형식의 동치류 공간을 정의한다.

이를 돌보 코호몰로지(프랑스어: cohomologie de Dolbeault)라고 부른다. 돌보 코호몰로지 공간의 (복소수 벡터 공간) 차원을 호지 수(영어: Hodge number)라고 부른다. 즉 호지 수 는 다음과 같다.

호지 수는 0, 양의 정수, 또는 다. 만약 복소다양체콤팩트하면 호지 수는 유한하다. 호지 수는 실수 다양체의 베티 수와 유사한 개념이다.

정칙 형식[편집]

p-정칙 형식(正則形式, 영어: holomorphic form)은 -형식이다. 즉, 국소 좌표계로는 p-정칙형식 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 정칙함수다. 또한, 정칙형식은

을 만족하는 형식 라고 생각할 수도 있다. -정칙형식의 집합은 벡터다발 를 이룬다.

돌보 코호몰로지는 정칙 형식 층에 대한 체흐 코호몰로지(Čech cohomology)와 같다는 사실을 보일 수 있다.

이를 돌보 정리(영어: Dolbeault's theorem)라고 하며, 실 미분 형식의 드람 정리를 복소수 미분 형식에 대하여 확장한 것이다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]