단사층

층 이론에서, 단사층(單射層, 영어: injective sheaf, 프랑스어: faisceau injectif)은 층의 범주에서의 단사 대상이다. 이를 사용하여 층 코호몰로지를 계산할 수 있다.

정의

위상 공간 X 위의 아벨 군 값을 갖는 층들의 아벨 범주 $\operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )$는 항상 충분한 단사 대상을 갖지만, 충분한 전사 대상을 갖지 않는다. $X$ 위의 아벨 군 층의 범주의 단사 대상을 단사층이라고 한다. 즉, 아벨 군층 ${\mathcal {F}}$에 대하여, 만약 임의의

• 층 ${\mathcal {B}}\in \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )$
• ${\mathcal {B}}$의 부분층 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}$
• 층 준동형 $\phi \colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {F}}$

가 주어졌을 때, 항상 ${\tilde {\phi }}|_{\mathcal {A}}=\phi$인 층 준동형 ${\tilde {\phi }}\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {F}}$가 존재한다면, ${\mathcal {F}}$를 단사층이라고 한다.

이 밖에도, 관련된 개념으로

• 섬세층(纖細層, 영어: fine sheaf, 프랑스어: faisceau fin)
• 물렁한 층(영어: soft sheaf, 프랑스어: faisceau mou)
• 말랑한 층(영어: flabby sheaf, 프랑스어: faisceau flasque)
• 비순환층(非循環層, 영어: acyclic sheaf, 프랑스어: faisceau acyclique)

이 있다. 이 개념들은 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위에서 잘 작동하지만, 대수다양체와 같은 공간에서는 잘 작동하지 않는다.

섬세층

위상 공간 $X$과 그 열린 덮개 $\{U_{i}\}_{i\in I}$ 및 아벨 군층 ${\mathcal {F}}$이 주어졌다고 하자. $\{U_{i}\}_{i\in I}$에 종속된 ${\mathcal {F}}$의 단위 분할은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 $i\in I$에 대하여, 자기 사상 $\phi _{i}\in \operatorname {End} ({\mathcal {F}})$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 각 $i\in I$에 대하여, $\operatorname {supp} \phi _{i}\subseteq U_{i}$
• 각 $x\in X$에 대하여, $\{i\in I\colon x\in \operatorname {supp} \phi _{i}\}$는 유한 집합이다.
• $\textstyle \sum _{i}\phi _{i}$는 항등 사상이다.

파라콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 위의 아벨 군층 ${\mathcal {F}}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아벨 군층을 섬세층이라고 한다.

• 자기 사상의 층 $\operatorname {End} ({\mathcal {F}})$이 물렁한 층이다.
• 임의의 열린 덮개에 대하여, 이에 종속되는 단위 분할이 존재한다.

물렁한 층

위상 공간 $X$ 위의 아벨 군층 ${\mathcal {F}}$에 대하여, 그 에탈레 공간 $\pi _{\mathcal {F}}\colon E\twoheadrightarrow X$을 정의할 수 있다. $X$의 임의의 닫힌집합 $C\subseteq X$에 대하여, 임의의 연속 함수

$s\colon C\to E$

에 대하여, 만약 $\pi _{\mathcal {F}}\circ s=\operatorname {id} _{C}$라면 $s$를 ${\mathcal {F}}$의 $C$ 위의 단면이라고 하며, 단면 집합을 $\Gamma (C;{\mathcal {F}})$라고 한다. 만약 $X$가 파라콤팩트 공간일 경우, 이는 $C$의 모든 열린 근방에 대하여 취한 귀납적 극한

$\Gamma (C;{\mathcal {F}})=\varinjlim _{U\supseteq C}\Gamma (U;{\mathcal {F}})$

과 같다.

위상 공간 $X$ 위의 아벨 군층 ${\mathcal {F}}$에 대하여, 만약 닫힌집합 $C\subseteq X$ 위의 모든 단면을 $X$ 전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면, ${\mathcal {F}}$를 물렁한 층이라고 한다. 위상 공간 $X$ 위의 아벨 군층 ${\mathcal {F}}$에 대하여, 만약 콤팩트 집합 $K\subseteq X$ 위의 모든 단면을 $X$ 전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면, ${\mathcal {F}}$를 콤팩트 물렁한 층(영어: c-soft sheaf)이라고 한다.

말랑한 층

위상 공간 $X$ 위의, 구체적 범주 ${\mathcal {C}}$의 값을 갖는 층 ${\mathcal {F}}$에 대하여, 임의의 두 열린집합 $V\subseteq U\subseteq X$에 대하여 제한 사상

$\operatorname {res} _{UV}\colon \Gamma (U,{\mathcal {F}})\to \Gamma (V,{\mathcal {F}})$

이 전사 함수라면, ${\mathcal {F}}$를 말랑한 층이라고 한다.^{:67, Exercise 1.16:137} 즉, 임의의 열린집합에 정의된 단면을 공간 전체로 연장할 수 있는 층이다.

이름의 "말랑한"(프랑스어: flasque, 영어: flabby)은 주어진 단면을 쉽게 연장할 수 있는 성질을 말랑말랑한 찰흙 따위에 빗댄 것이다.

비순환층

위상 공간 $X$ 위의 아벨 군층 ${\mathcal {F}}$에 대하여, 만약 모든 양의 차수 층 코호몰로지 군이 자명군이라면, ${\mathcal {F}}$를 비순환층이라고 한다.

$H^{i}(X;{\mathcal {F}})=0\qquad (\forall i>0)$

물론, 0차 코호몰로지 군은 단면들의 군 $H^{0}(X;{\mathcal {F}})=\Gamma (X;{\mathcal {F}})$이므로, 층이 자명하지 않는 이상 자명군이 아니다.

성질

파라콤팩트 하우스도르프 공간 위의 아벨 군층들에 대하여, 다음이 성립한다.

단사층 ⊆ 말랑한 층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층

단사층 ⊆ 섬세층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층

그러나 일반적으로 물렁한 층이 아닌 섬세층이 존재하고, 또 섬세층이 아닌 물렁한 층이 존재한다.

섬세층은 비순환층이므로, 복소 대수기하학에서 단사 분해(injective resolution) 대신에 섬세층을 이용해서 다른 주어진 층들의 층 코호몰로지를 계산할 수 있다. 돌보 분해(Dolbeault resolution)가 대표적인 그러한 경우이다.

위상 공간 $X$, $Y$ 사이에 연속 함수 $f\colon X\to Y$가 주어졌을 때, $X$ 위의 말랑한 층 ${\mathcal {F}}$의 직상 $f_{*}{\mathcal {F}}\in \operatorname {Sh} (Y)$ 역시 말랑한 층이다.^{:67, Exercise 1.16d} 위상 공간 $X$의 열린집합 $U$ 및 말랑한 층 ${\mathcal {F}}$에 대하여, 제약층 ${\mathcal {F}}|_{U}$ 역시 말랑한 층이다.

기약 공간 위의 상수층은 말랑한 층이다.^{:67, Exercise 1.16a}

예

다음과 같은 층들은 섬세층을 이룬다.

• 다양체 $M$ 위의 실수 연속 함수들의 층 ${\mathcal {C}}(M;\mathbb {R} )$
• 매끄러운 다양체 $M$ 위의 실수 매끄러운 함수들의 층 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$
• 매끄러운 다양체 $M$ 위의 $p$차 미분 형식들의 층 $\Omega ^{p}(M)$

그러나 복소다양체 위의 정칙 함수들의 층은 섬세층이 아니며, 말랑한 층 또한 아니다. 즉, 임의의 열린집합 위에 정의된 정칙 함수는 공간 전체로 해석적 연속을 하지 못할 수 있다.

드람 코호몰로지의 계산

드람 코호몰로지는 다음과 같이 계산할 수 있다. 매끄러운 다양체 $M$위의 상수층 ${\underline {\mathbb {R} }}$은 미분 형식의 층으로 다음과 같이 분해된다.

$0\to {\underline {\mathbb {R} }}\to \Omega ^{0}(M)\to \Omega ^{1}(M)\to \cdots$

미분 형식층들은 섬세층이므로 비순환층이다. 따라서, 드람-베유 정리에 따라서

$H^{i}(X;{\underline {\mathbb {R} }})\cong H^{i}(\Omega ^{\bullet }(M))$

이 된다. 즉, 드람 코호몰로지는 실수 계수 코호몰로지와 동형이다.

그러나 돌보 코호몰로지를 계산하려면, 복소 미분 형식의 층은 섬세층이 아니며 비순환층도 아니다. 따라서, 드람-베유 정리를 통해 계산할 수 없으며, 이 경우 초코호몰로지(영어: hypercohomology)와 스펙트럼 열을 사용하여야 한다.

같이 보기

• 층 코호몰로지
• 단사 대상
• 단사 가군

외부 링크

• “Fine sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Soft sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Flabby sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Fine sheaf”. 《nLab》 (영어). 2015년 2월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 24일에 확인함. 
• “Soft sheaf”. 《nLab》 (영어). 2015년 2월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 24일에 확인함. 
• “Flabby sheaf”. 《nLab》 (영어). 2015년 2월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 24일에 확인함. 
• “Abelian sheaf cohomology”. 《nLab》 (영어). 2015년 2월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 24일에 확인함. 
• Mathew, Akhil (2011년 6월 10일). “Soft sheaves”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 2015년 2월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 25일에 확인함.