물리학에서 리 군 위의 입자(영어: particle on a Lie group)는 리 군의 구조를 가진 공간 속에서 움직이는 입자를 나타내는 물리학 모형이다.[1]:§2 고전적으로 그 해(리 군의 측지선)는 간단하게 표현될 수 있으며, 대칭으로 인하여 쉽게 양자화될 수 있다.
콤팩트 연결 리 군 가 주어졌다고 하자. 의 리 대수 위의 양의 정부호 2차 대칭 불변 다항식
은 위의 리만 계량을 정의하며, 이는 의 왼쪽 · 오른쪽 작용에 대하여 불변이다. 즉, 군의 준동형
이 존재한다 (은 전단사 등거리 변환의 군).
이 경우, 라그랑지언
을 정의할 수 있다. (편의상, 입자의 질량을 리만 계량 속에 흡수하였다.) 그 변분은
이다.
유도:
우선,
이므로,
이며,
이다. 따라서, 대각합의 순환성 및 부분 적분을 사용하여, 다음과 같이 계산할 수 있다.
이다. 여기서 둘째 항은 완전 적분이므로 오일러-라그랑주 방정식을 구할 때 무시할 수 있다.
오일러-라그랑주 방정식(측지선 방정식)은
이다. 그 해는 항상 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.
여기서
- 는 상수이다. 특히, 는 초기 조건이다.
- 는 의 리 대수의 카르탕 부분 대수이다.
- 는 카르탕 부분 대수의 임의의 원소이다.
이에 따라, 를 위상 공간의 좌표계로 여길 수 있다. 그러나 위상 공간은 차원이므로 (측지선은 초기 위치와 초기 속력으로 완전히 결정되므로), 개의 성분을 갖는 좌표계는 차원의 게이지 변환을 갖는다. 구체적으로, 이 게이지 군은 의 극대 원환면 이며, 이에 따라 좌표는 다음과 같이 변환한다.
게이지 변환을 도입하면, 계의 대칭이
와 같이 분해된다.
해밀턴 역학[편집]
위상 공간은 리 군의 공변접다발 이며, 그 위에는 표준적인 심플렉틱 형식이 존재한다. 이 위의 심플렉틱 형식은 좌표계에서 다음과 같은 꼴로 두 성분으로 분해된다.
양자화[편집]
콤팩트 연결 리 군 위의 입자의 힐베르트 공간은 위의 복소수 2차 르베그 공간
이다. 이 경우 사용한 측도는 하르 측도이다. (콤팩트 리 군의 경우 왼쪽 하르 측도와 오른쪽 하르 측도가 일치한다.) 이 위에는 의 왼쪽 군 작용이 다음과 같이 존재한다.
이에 따라서, 는 의 표현들로 분해된다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
여기서
- 는 의 모든 복소수 기약 표현들의 동형류들의 가산 집합이다.
- 는 가산 무한 개의 유한 차원 내적 공간들의 직합으로 구성되는 분해 가능 힐베르트 공간이다.
- 는 기약 표현 의 표현 공간인 유한 차원 복소수 벡터 공간이다.
- 는 기약 표현 의 켤레 표현이다.
해밀토니언[편집]
의 무한소 작용을 나타내는 연산자
를 생각하자. 그렇다면,
는 위의 (양의 고윳값) 라플라스-벨트라미 연산자이다.
이 해밀토니언은 기약 표현에 대한 분해에 대하여 대각형이다. 구체적으로, 위에서, 해밀토니언의 고윳값 은
로 주어진다.
양자 모형과 고전 모형 사이의 관계[편집]
양자 모형과 고전 모형 사이의 관계는 파인먼-카츠 공식으로 주어진다. 즉, 해밀토니언 의 핵(즉, 위의 열핵)은 다음과 같이 주어진다.
여기서
- 은 , 인 연속 함수 로 구성된 위너 공간이다.
- 는 이 위너 공간 위의 확률 측도이다.
- 는 고전 모형의 작용이다.
- 는 표현 의 지표이다.
특히, 극한에서 이는 디랙 델타가 된다.
인 경우(원군)를 생각하자. 이 경우 고전적으로 모든 상수 속도 곡선이 측지선이다. 양자 모형에서, 힐베르트 공간은
이다. 로 좌표 를 주었을 때, 이는 정규 직교 기저
를 갖는다.
원군의 기약 표현은 (아벨 군이므로) 모두 1차원이며,
이다. 즉, 그 기약 표현들의 집합은 정수의 집합과 표준적으로 일대일 대응된다.
힐베르트 공간의 분해
는 의 정규 직교 기저 에 대한 분해이다.
해밀토니언
에 대하여, 각 정규 직교 기저의 고윳값은
이다. 그 위의 열핵은
이며, 사실
이다.
3차원 초구[편집]
인 경우(3차원 초구)를 생각하자. 이 경우, 측지선은 대원이다. 양자 모형에서, 힐베르트 공간은
이다. 의 기약 표현은 스핀 에 의하여 결정된다. 힐베르트 공간의 분해는
이다. 차원 기약 표현에서, 해밀토니언 연산자의 고윳값은 (적절한 비례 상수에 대하여)
이다.
참고 문헌[편집]
- ↑ Gawędzki, Krzysztof (1999년 4월 21일). “Conformal field theory: a case study” (영어). arXiv:hep-th/9904145.
외부 링크[편집]