물리학에서 리 군 위의 입자(영어: particle on a Lie group)는 리 군의 구조를 가진 공간 속에서 움직이는 입자를 나타내는 물리학 모형이다.[1]:§2 고전적으로 그 해(리 군의 측지선)는 간단하게 표현될 수 있으며, 대칭으로 인하여 쉽게 양자화될 수 있다.
콤팩트 연결 리 군
가 주어졌다고 하자.
의 리 대수
위의 양의 정부호 2차 대칭 불변 다항식
![{\displaystyle g(t,t')=g_{ab}t^{a}{t'}^{b}\qquad (t,t'\in {\mathfrak {lie}}(G))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2954fa3e97d5ce88d86aa690ffce6a0ce52a99a1)
은
위의 리만 계량을 정의하며, 이는
의 왼쪽 · 오른쪽 작용에 대하여 불변이다. 즉, 군의 준동형
![{\displaystyle G\times G\to \operatorname {Isom} (G,g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cdc34cff0fad8d8003ef9e0ba25db0ccc0bae68)
이 존재한다 (
은 전단사 등거리 변환의 군).
이 경우, 라그랑지언
![{\displaystyle L(g,{\dot {g}})=-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(g^{-1}{\dot {g}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fb675cfce6498a2159b89360e55036fc35b11c7)
을 정의할 수 있다. (편의상, 입자의 질량을 리만 계량 속에 흡수하였다.) 그 변분은
![{\displaystyle \delta \operatorname {tr} \left(g^{-1}{\dot {g}}\right)^{2}=-2\operatorname {tr} \left(g^{-1}\delta g{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(g^{-1}{\dot {g}})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a002e6aea1a30875b58973d139c3a933c5b293)
이다.
유도:
우선,
![{\displaystyle 0=\delta 1=\delta (g^{-1}g)=\delta (g^{-1})g+g^{-1}\delta g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b6a0601e8f68a20daab719e56bfc04dc9a6a67)
이므로,
![{\displaystyle \delta (g^{-1})=-g^{-1}\delta gg^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b783f6ad1c0af6e18efbe00fdc559a5be3de7ff9)
이며,
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}g^{-1}=-g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a24e96599bf7e03abc9ac0dc484309ddc49623)
이다. 따라서, 대각합의 순환성 및 부분 적분을 사용하여, 다음과 같이 계산할 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \operatorname {tr} (g^{-1}{\dot {g}})^{2}&=2\operatorname {tr} \left(g^{-1}{\dot {g}}\delta (g^{-1}{\dot {g}})\right)\\&=2\operatorname {tr} \left(g^{-1}{\dot {g}}\delta (g^{-1}){\dot {g}}+g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta {\dot {g}}\right)\\&=-2\operatorname {tr} \left(g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta gg^{-1}{\dot {g}}\right)-2\operatorname {tr} \left(\delta g{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(g^{-1}{\dot {g}}g^{-1})\right)+2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {tr} (g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta g)\\&=2\operatorname {tr} \left(\delta gg^{-1}{\dot {g}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}g^{-1}\right)-2\operatorname {tr} \left(\delta g{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(g^{-1}{\dot {g}}g^{-1})\right)+2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {tr} (g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta g)\\&=-2\operatorname {tr} \left(\delta g{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(g^{-1}{\dot {g}})g^{-1})\right)+2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {tr} (g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta g)\\&=-2\operatorname {tr} \left(g^{-1}\delta g{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(g^{-1}{\dot {g}}))\right)+2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {tr} (g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}\delta g)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d6fa3df0523f5d155e8cab67aac0e68b5b6da9)
이다. 여기서 둘째 항은 완전 적분이므로 오일러-라그랑주 방정식을 구할 때 무시할 수 있다.
오일러-라그랑주 방정식(측지선 방정식)은
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(g^{-1}{\dot {g}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6820b42d289b56b6629612797867f9588c1413de)
이다. 그 해는 항상 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.
![{\displaystyle g(t)=g_{\mathrm {L} }\exp(t\lambda )g_{\mathrm {R} }^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b400234945fb5f1acd425442c1e06420afe67f5)
여기서
는 상수이다. 특히,
는 초기 조건이다.
는
의 리 대수의 카르탕 부분 대수이다.
는 카르탕 부분 대수의 임의의 원소이다.
이에 따라,
를 위상 공간의 좌표계로 여길 수 있다. 그러나 위상 공간은
차원이므로 (측지선은 초기 위치와 초기 속력으로 완전히 결정되므로),
개의 성분을 갖는
좌표계는
차원의 게이지 변환을 갖는다. 구체적으로, 이 게이지 군은
의 극대 원환면
이며, 이에 따라 좌표는 다음과 같이 변환한다.
![{\displaystyle g_{\mathrm {L} }\mapsto g_{\mathrm {L} }h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d73688b65bd72f4f58f4ddcf40ea172157fb4af)
![{\displaystyle g_{\mathrm {R} }\mapsto \exp(t\alpha )h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3763b63efcef930a41d30191d239bb6a6a564cd4)
![{\displaystyle \lambda \mapsto \lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb1bc65c4998503bc28ec64d9fcf364f3432406)
![{\displaystyle h\in \exp({\mathfrak {h}})\leq G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf95b796181786be57aa0f2e0d7fa589d18cd29)
게이지 변환을 도입하면, 계의
대칭이
![{\displaystyle (h_{\mathrm {L} },h_{\mathrm {R} })\cdot (g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} },\lambda )=(h_{\mathrm {L} }g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} }h_{\mathrm {R} }^{-1},\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/135a8e96f6a255ff4a79515a84fe298570804f9c)
와 같이 분해된다.
해밀턴 역학[편집]
위상 공간은 리 군의 공변접다발
이며, 그 위에는 표준적인 심플렉틱 형식이 존재한다. 이 위의 심플렉틱 형식은
좌표계에서 다음과 같은 꼴로 두 성분으로 분해된다.
![{\displaystyle \omega (\lambda ,g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} })=\omega _{\mathrm {L} }(\lambda ,g_{\mathrm {L} })+\omega _{\mathrm {R} }(\lambda ,g_{\mathrm {R} })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93b7937c82a2d6afb288b3ab79974e7123d3c7c3)
양자화[편집]
콤팩트 연결 리 군
위의 입자의 힐베르트 공간은
위의 복소수 2차 르베그 공간
![{\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(G;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bad90ec39e141edecc933ff6c428b031982667d)
이다. 이 경우 사용한 측도는 하르 측도이다. (콤팩트 리 군의 경우 왼쪽 하르 측도와 오른쪽 하르 측도가 일치한다.) 이 위에는
의 왼쪽 군 작용이 다음과 같이 존재한다.
![{\displaystyle G\times G\times \operatorname {L} ^{2}(G;\mathbb {C} )\to \operatorname {L} ^{2}(G;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815e638572c2228cffba3098af295b47e1ba0611)
![{\displaystyle ((g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} })\cdot \phi )(x)=\phi (g_{\mathrm {L} }^{-1}xg_{\mathrm {R} })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31509f596c7d302b99cabf1954120e76f890c9ab)
이에 따라서,
는
의 표현들로 분해된다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(G;\mathbb {C} )={\widehat {\bigoplus }}_{R\in \operatorname {IrRep} (G)}V_{R}\otimes V_{\bar {R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb57c3d7b3acdedcca485dc70189630bf7f525aa)
![{\displaystyle (g_{\mathrm {L} },g_{\mathrm {R} })\cdot (v\otimes {\bar {v}})=(g_{\mathrm {L} }\cdot v)\otimes (g_{\mathrm {R} }\cdot v)\qquad (v\in V_{R},\;{\bar {v}}\in V_{\bar {R}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786ff56b07431f0ed80b6641cc3135a446f75fcd)
여기서
는
의 모든 복소수 기약 표현들의 동형류들의 가산 집합이다.
는 가산 무한 개의 유한 차원 내적 공간들의 직합으로 구성되는 분해 가능 힐베르트 공간이다.
는 기약 표현
의 표현 공간인 유한 차원 복소수 벡터 공간이다.
는 기약 표현
의 켤레 표현이다.
해밀토니언[편집]
의 무한소 작용을 나타내는 연산자
![{\displaystyle \langle g|J_{\mathrm {L} }(t^{a})|\phi \rangle =\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \epsilon }}\right|_{\epsilon =0}\phi (\exp(-\epsilon t^{a})g)\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71ca0c91ec9d88a6d3fad5e4865993d762719cf)
![{\displaystyle \langle g|J_{\mathrm {R} }(t^{a})|\phi \rangle =\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \epsilon }}\right|_{\epsilon =0}\phi (g\exp(\epsilon t^{a}))\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37a8c25d7add40a946d6415c252a39f81c69e57)
를 생각하자. 그렇다면,
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}H=\Delta _{g}=g_{ab}J(t^{a})(J^{b})=g_{ab}{\tilde {J}}^{a}{\tilde {J}}^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea5c681fcb04b7a71a8119895ea84c3981d99e64)
는
위의 (양의 고윳값) 라플라스-벨트라미 연산자이다.
이 해밀토니언은 기약 표현에 대한 분해에 대하여 대각형이다. 구체적으로,
위에서, 해밀토니언의 고윳값
은
![{\displaystyle g_{ab}R(t^{a})R(t^{b})=2E_{R}1_{V_{R}}g_{ab}t^{a}t^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b17d5a5ef54544b82c411da8f2a4c8ae6faf8b)
로 주어진다.
양자 모형과 고전 모형 사이의 관계[편집]
양자 모형과 고전 모형 사이의 관계는 파인먼-카츠 공식으로 주어진다. 즉, 해밀토니언
의 핵(즉,
위의 열핵)은 다음과 같이 주어진다.
![{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {vol} G}}\sum _{R\in \operatorname {IrRep} (G)}(\dim V_{R})\exp(-\beta E_{R})\operatorname {tr} _{V_{R}}(g_{0}g_{1}^{-1})=K(g_{0},g_{1};\beta )=\int _{g\in \operatorname {W} (g_{0},g_{1})}\exp(-S[g])\;\mathrm {D} g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b896742467dbb157717302ba9e88a71f55d18e6)
여기서
은
,
인 연속 함수
로 구성된 위너 공간이다.
는 이 위너 공간 위의 확률 측도이다.
는 고전 모형의 작용이다.
는 표현
의 지표이다.
특히,
극한에서 이는 디랙 델타가 된다.
인 경우(원군)를 생각하자. 이 경우 고전적으로 모든 상수 속도 곡선이 측지선이다. 양자 모형에서, 힐베르트 공간은
![{\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(\operatorname {U} (1);\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0d66b811e92b634749984c89963b550b167b47)
이다.
로 좌표
를 주었을 때, 이는 정규 직교 기저
![{\displaystyle |n\rangle =\exp(\mathrm {i} n\theta )\qquad (n\in \mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d9b9fb581237744f55ce029edc706d4559300a)
를 갖는다.
원군의 기약 표현은 (아벨 군이므로) 모두 1차원이며,
![{\displaystyle R_{n}\colon \operatorname {U} (1)\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df3ccd98f90879d4f61613f43bae7db114cd7a6)
![{\displaystyle R_{n}\colon \theta \mapsto \exp(\mathrm {i} \theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c340e9e45adec15cbc9219164ec3a81b24a0c01f)
이다. 즉, 그 기약 표현들의 집합은 정수의 집합과 표준적으로 일대일 대응된다.
![{\displaystyle \operatorname {IrRep} (\operatorname {U} (1))\cong \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9638e75f41876adb1503e76859beaad4bf6f6c36)
힐베르트 공간의 분해
![{\displaystyle H={\widehat {\bigoplus }}_{n\in \mathbb {Z} }\mathbb {C} \otimes \mathbb {C} =\sum _{n\in \mathbb {Z} }\mathbb {C} |n\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122b1724539d254dd6aea46a17f4b99615f87013)
는
의 정규 직교 기저
에 대한 분해이다.
해밀토니언
![{\displaystyle H=-{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f29450b34c79650c4672ae6f575bec6eb42c8fd5)
에 대하여, 각 정규 직교 기저의 고윳값은
![{\displaystyle H|n\rangle =n^{2}|n\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a57e2ecf96beb4b9ad19fde6f0fc9d5d4b8780a)
이다. 그 위의 열핵은
![{\displaystyle K(\theta _{0},\theta _{1};\beta )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp(-\beta n^{2})\exp(\mathrm {i} n(\theta _{1}-\theta _{0}))=\int _{{\scriptstyle \theta \colon [0,\beta ]\to \operatorname {U} (1)} \atop {\scriptstyle \theta (0)=\theta _{0},\;\theta (\beta )=\theta _{1}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\beta }{\dot {g}}^{2}\right)\,\mathrm {D} g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95443e97040dd2c97f0ea4df485682a46b858cf)
이며, 사실
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp(-n^{2}\beta )\exp(\mathrm {i} n\theta )={\frac {1}{\sqrt {4\pi \beta }}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp {\frac {(\theta -2n\pi )^{2}}{4\beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58ac93d4700cf8f64df4e155e328b6c88401c01)
이다.
3차원 초구[편집]
인 경우(3차원 초구)를 생각하자. 이 경우, 측지선은 대원이다. 양자 모형에서, 힐베르트 공간은
![{\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(\operatorname {SU} (2);\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c42b52d5a0900cbbf69751188286d65259fb32)
이다.
의 기약 표현은 스핀
에 의하여 결정된다. 힐베르트 공간의 분해는
![{\displaystyle {\mathcal {H}}={\widehat {\bigoplus }}_{j}\mathbb {C} ^{2j+1}\otimes \mathbb {C} ^{2j+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf1fd66671203c75538e01afcf329975a9ab134)
이다.
차원 기약 표현에서, 해밀토니언 연산자의 고윳값은 (적절한 비례 상수에 대하여)
![{\displaystyle E_{j}=j(j+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e647f1d1c9ab5446811545ffbc1a1f82c7123e)
이다.
- ↑ Gawędzki, Krzysztof (1999년 4월 21일). “Conformal field theory: a case study” (영어). arXiv:hep-th/9904145.
외부 링크[편집]