군 표현의 지표

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군 표현론에서, 군 표현지표(指標, 영어: character 캐릭터[*])는 공액류에 대한, 표현 행렬의 대각합인 함수이다.

정의[편집]

G이고, V k에 대한 벡터 공간이고, \rho\colon G\to\operatorname{GL}(V)군 표현이라고 하자. G공액류의 집합을 [G]로 쓰자. 그렇다면 표현 \rho지표 \chi_\rho\colon[G]\to k는 다음과 같은 함수다.

\chi_\rho([g])=\operatorname{tr}\rho(g). (g\in G, [g]\in Gg공액류)

성질[편집]

표현 \rho의 차원은 \dim\rho=\chi_\rho(1)이다.

지표는 군 표현의 직합텐서곱을 준수한다. 즉,

\chi_{\rho\oplus\sigma}=\chi_\rho+\chi_\sigma
\chi_{\rho\otimes\sigma}=\chi_\rho\chi_\sigma

이다.

표현의 텐서 제곱 \rho\otimes\rho는 다음과 같이 대칭반대칭 성분으로 분해할 수 있다.

\rho\otimes\rho=\operatorname{Sym}^2(\rho)+\rho\wedge\rho.

이 경우,

\chi_{\rho\wedge\rho}(g)=\frac12\left((\chi_\rho)^2(g)-\chi_\rho(g^2)\right)
\chi_{\operatorname{Sym}^2(\rho)}(g)=\frac12\left((\chi_\rho)^2(g)+\chi_\rho(g^2)\right)

이다.

복소 벡터공간 위 표현의 경우, 다음이 성립한다.

\chi_{\rho^*}=\bar\chi_\rho.

여기서 \rho^*는 복소 표현의 행렬 원소들의 (전치 없는) 복소켤레 표현이고, \bar\chi_\rho\chi_\rho복소켤레이다.

역사[편집]

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 유한군의 지표론을 제창하였다.[1] 이는 군 표현이 정의되기 이전이었고, 군 표현론의 시초로 여겨진다.

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Frobenius, F. G. (1896년). Über Gruppencharaktere. 《Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin》: 985-1021.

바깥 고리[편집]