에우클레이데스의 원론

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(기하학 원론에서 넘어옴)
이동: 둘러보기, 검색
《에우클레이데스의 원론》의 첫 번째 영어판 표지.

에우클레이데스의 원론》(그리스어: Στοιχεῖα, 스토이케이아)은 고대 그리스의 저명한 수학자에우클레이데스기원전 3세기에 집필한 으로 총 13권으로 구성되어 있다. 그리스어 제목 Στοιχεῖα는 ‘원소’, ‘구성 요소’, ‘글자’ 등을 뜻하는 단어이며, 한국어로는 유클리드의 원론, 또는 기하학 원본이라는 제목으로도 불린다. 흔히 ‘세계 최초의 수학 교과서’로 불린다. 에우클레이데스는 이 책에서 10개밖에 되지 않는 공리들로부터 465개에 달하는 정리를 연역해냈다.

주요 내용[편집]

《원론》의 내용은 다음과 같다. 제 1권에서 제 4권까지는 2차원 기하학에 관한 내용을 담고 있다.

  • 제1권 : 필수적이고 예비적인 정의와 설명 및 공준과 공리로 시작한다.[1] 제1권의 정리 중에는 합동, 평행선, 직선으로 이루어진 도형 등에 관한 친숙한 정리들이 포함되어 있다. 그 책의 마지막 두 정리인 정리 47과 48은 피타고라스 정리와 그 역이다.
  • 제2권 : 겨우 14개의 정리만을 포함하고 있는 작은 책인데 여기에서는 주로 피타고라스 학파의 기하 대수학을 다루고 있다. 이 책의 정리 12와 13은 근본적으로 오늘날 코사인 법칙으로 알려진 피타고라스 정리의 일반화이다.
  • 제3권 : 39개의 정리로 이루어졌으며, , , 할선, 접선, 연관된 각도의 측정 등에 관한 정리들을 포함하고 있다.
  • 제4권 : 16개의 정리로 이루어져 있으며 자와 컴퍼스를 이용한 작도, 주어진 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우의 작도, 정다각형의 작도를 포함하고 있다.

제 5권부터 비율비례로부터 시작해 기초적인 수론을 다룬다. 제 6권에서는 제 4권에 이어 이를 도형에 적용하고 제 10권까지 다시 수론을 다룬다.

  • 제5권 : 에우독소스의 비율 이론에 대한 대가다운 설명에 충당했다. 이 책은 수학적인 문헌 중에서 가장 훌륭한 걸작 중의 하나로 간주된다.
  • 제6권 : 에우독소스의 이론을 닮음 도형의 연구에 응용하고 있다.
  • 제7권 : 두 개 이상의 정수에 대한 최대공약수를 구하는 방법(유클리드 호제법)으로 시작된다. 또한 초기 피타고라스 학파의 비율 이론에 대한 설명을 발견할 수 있다.
  • 제8권 : 주로 연비례와 그것과 관련된 등비수열을 다루고 있다. 만약 a : b = c: d가 성립하면 a, b, c, d는 등비수열을 형성한다.
  • 제9권 : 수론에서 중요한 많은 정리들이 있는데 먼저 정리14는 중요한 ‘산술의 기본 정리(Fundamental theorem of arithmetic)’즉 “1보다 큰 임의의 정수는 반드시 소수들의 곱으로 표현될 수 있으며 근본적으로 단 한가지 방법으로 표현된다.”는 정리와 동치이다. 정리 20에서 ‘소수의 개수는 무한하다.’는 사실에 대한 매우 세련된 증명을 찾아볼 수 있다. 정리 35는 등비수열의 첫 n개의 항의 합에 대한 공식을 기하적으로 유도했다. 그리고 이 책의 마지막 정리인 정리 36은 짝수인 완전수를 만드는 놀라운 공식을 증명하고 있다.
  • 제10권 : 무리수들, 즉 어떤 주어진 선분의 길이를 단위로 재어 비율로 나타낼 수 없는 길이를 다루고 있다.

제 11권에서 제 13권까지는 3차원 기하학에 관한 내용들 담고 있다.


유클리드 원론 제2권 법칙4[편집]

Euclid-elements-II-4.svg

에서 임의의 한 에대해서 이고,[2]
이므로,

따라서,

일때,

이것은 대표적인 곱셈공식 이다.

제1권 법칙47[편집]

Euclid-1-47-pythagorean-proposition001.svg

유클리드의 피타고라스 정리 증명은 닮음꼴 이론을 사용하지 않으므로서 순수하게 기하학적이다. [3]

일때,

2권 법칙 12[편집]

Euclid-elements-II-12.svg

유클리드 원론 2권 법칙4 에서, 둔각삼각형 에서의 임의의 한점 에대해서,[4]

그리고,

따라서,

그리고

Euclid-elements-II-12-ab.svg

따라서,

이것은 제2코사인법칙이 되겠다.

2권 법칙13[편집]

Euclid-elements-II-13.svg

예각삼각형을 예약하고,[5] 이것을 에대해 나타내보면,

따라서,

이것은,코사인법칙의 제1코사인법칙이다.

3권 법칙 3[편집]

Euclid-elements-III-3.svg

과 그 원의 중심점에 한점을 두는 삼각형을 예약하고, [6]

두 점 사이의 거리에서,
이므로,

그리고 삼각함수 항등식피타고라스 정리에서,

따라서,

한편,

이것은,제2코사인법칙에서는,

그리고,

따라서,

이렇게 삼각함수의 덧셈정리중 코사인함수에 접근해볼수있다.

2권 법칙 9[편집]

Euclid-elements-II-9.svg

정삼각형에서 을 예약하고, [7]

이것은 삼각함수의 덧셈정리중 사인함수이다.

한편,예약된 정삼각형에서, [8]


이것은 삼각함수의 덧셈정리중 코사인함수이다.

2권 법칙 8[편집]

Euclid-elements-II-8.svg

기하학에서, 두 점 사이의 거리좌표평면에서 임의의 두 점 을 예약하고, [9]

에서 축에 평행하게 그은 직선과 에서 축에 평행하게 그은 직선이 서로 만나는 점 을 예약할수있다.
두 점 사이의 거리를 이라고 가정했을때,
빗변으로 하는 직각삼각형이고, 이므로,
피타고라스 정리에 의해 다음과 같은 관계가 있다.

따라서,

좌표평면에서 두 점 가 있을 때 두 점 사이의 거리 은 다음과 같다.

2권 법칙 5와 6[편집]

Euclid-elements-II-6.svg

임의의 선분 을 예약하고,

이등분하는 를 가정하면, [10]

이것은 대표적인 곱셈공식으로부터 유도되는 피타고라스 정리의 변형 이다.

피타고라스 정리의 변형[편집]

그리고, 이므로,

이고,

피타고라스 정리 응용[편집]

이고,

같이 보기[편집]

참고 자료[편집]

  1. 오늘날의 수학자들은 ‘공리’와 ‘공준’이라는 단어를 형식논리학의 토대에서 사실상 동의어로 사용하지만, 고대 그리스의 에우클레이데스는 그 두 단어를 채택하는 데 공리는 모든 학문 분야에 공통인 초기 가정인 반면에 공준은 특수한 분야에 한정되는 것이라는 점에서 차이를 두었다고 여겨진다.
  2. (유클리드 기하학 원론 2권 법칙4 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,퍼블릭 도메인)
  3. (구텐베르크 프로젝트-기하학 원론 1권47,John Casey,퍼블릭 도메인)https://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=b505fb05308448caad895d905f0943ad1eb1f613 page53
  4. (유클리드 기하학 원론 2권 법칙12 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,퍼블릭 도메인)
  5. (유클리드 기하학 원론 2권 법칙13 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,Public Domain)
  6. (유클리드 기하학 원론 3권 법칙3 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain)
  7. (유클리드 기하학 원론 2권 법칙9 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,Public Domain)
  8. (유클리드 기하학 원론 2권 법칙9 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,Public Domain)
  9. (유클리드 기하학원론 2권 법칙8) http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트)
  10. (유클리드 기하학원론 2권 법칙5및6) http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트)

외부 링크[편집]

  • Euclid's Elements (영어) (유클리드의 원론 1~13 권 속의 정의, 공준, 공리, 명제의 내용과 그에 대한 설명, 그리고 명제의 증명)