국소 콤팩트 공간

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일반위상수학에서, 국소 콤팩트 공간(局所compact空間, 영어: locally compact space)은 국소적으로 콤팩트한 구조를 갖는 위상 공간이다.

정의[편집]

임의의 위상 공간 에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, 국소 콤팩트 공간이라고 한다.[1]:182, §29

  • 의 모든 점은 항상 콤팩트 근방을 갖는다.

하우스도르프 분리 공리를 가정한다면, 국소 콤팩트 공간의 개념은 다음과 같이 다양하게 정의할 수 있다. 구체적으로, 하우스도르프 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

그러나 하우스도르프 공간이 아닌 위상 공간의 경우 위 조건들이 서로 동치이지 않다.

성질[편집]

함의 관계[편집]

콤팩트 공간은 (자명하게) 국소 콤팩트 공간이다.[1]:182

모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이며 (베르 범주 정리) 또한 티호노프 공간이다.

연산에 대한 닫힘[편집]

국소 콤팩트 공간 와 위상 공간 가 주어졌다고 하자. 만약 전사 연속 열린 함수 가 존재한다면, 역시 국소 콤팩트 공간이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 닫힌집합열린집합은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.[1]:185, Corollary 29.3

위상군[편집]

가 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군이며, 가 그 부분군이라고 하자. 그렇다면, 잉여류 공간 는 국소 콤팩트 공간이다.[1]:186, Exercise 29.9

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(유한 차원) 유클리드 공간 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 그러나 가산 무한 곱공간 는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.[1]:182–183, Example 29.2

p진수선 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.

모든 이산 공간은 자명하게 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 모든 비이산 공간은 (하우스도르프 공간이 아닐 수 있지만) 항상 자명하게 국소 콤팩트 공간이다.

유리수 공간 하우스도르프 공간이지만 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.[1]:186, Exercise 3.1

참고 문헌[편집]

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 

바깥 고리[편집]