공간 (수학)

수학에서 공간(space)은 집합의 요소들 간의 관계에 대한 정의(구조)가 있는 집합(전체모임)이다. 현대 수학은 유클리드 공간, 선형 공간, 위상 공간, 힐베르트 공간, 확률 공간 등 다양한 유형의 공간을 사용하지만 "공간" 자체의 개념을 정의하지는 않는다.^[1]

공간은 점으로 처리되는 선택된 수학적 대상과 이러한 점 사이의 선택된 관계로 구성된다. 점의 성격은 매우 다양할 수 있다. 예를 들어 점은 숫자, 다른 공간의 기능 또는 다른 공간의 하위 공간을 나타낼 수 있다. 공간의 성격을 정의하는 것은 관계이다. 더 정확하게 말하면, 동형 공간은 동일한 것으로 간주된다. 여기서 두 공간 간의 동형은 관계를 유지하는 점 간의 일대일 대응이다. 예를 들어, 3차원 유클리드 공간의 점 사이의 관계는 유클리드의 공리에 의해 고유하게 결정되며, 모든 3차원 유클리드 공간은 동일한 것으로 간주된다.

연속성과 같은 위상학적 개념은 모든 유클리드 공간에 대해 자연스러운 정의를 갖는다. 그러나 위상수학은 직선과 곡선을 구별하지 않으므로 유클리드 공간과 위상수학 공간 간의 관계는 "망각"된다.

주어진 수학적 대상이 기하학적 "공간"으로 간주되어야 하는지, 아니면 대수적 "구조"로 간주되어야 하는지가 항상 명확한 것은 아니다. 니콜라 부르바키가 제안한^[2] "구조"의 일반적인 정의는 모든 일반적인 유형의 공간을 포괄하고, 동형의 일반적인 정의를 제공하며, 동형 구조 간의 속성 전달을 정당화한다.

수학 공간 목록

같이 보기

각주

↑ Carlson, Kevin (2012년 8월 2일). “Difference between 'space' and 'mathematical structure'?”. 《Stack Exchange》.
↑ Bourbaki 1968, Chapter IV

외부 링크

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Matilde Marcolli (2009) The notion of space in mathematics, from Caltech.

[carlson-1] Carlson, Kevin (2012년 8월 2일). “Difference between 'space' and 'mathematical structure'?”. 《Stack Exchange》.

[BS-2] Bourbaki 1968, Chapter IV

[1]

[2]