아이디얼 노름

대수적 수론에서 아이디얼 노름(영어: ideal norm)은 임의의 분수 아이디얼에 대하여 정의되는, 체 노름의 일반화이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 데데킨트 정역 $R$
• $R$의 분수체 $K=\operatorname {Frac} R$의 유한 분해 가능 확대 $L/K$

그렇다면, 크룰-아키즈키 정리에 의하여 $R$의 $L$ 속의 정수적 폐포 $R\subseteq S\subseteq K$ 역시 데데킨트 정역을 이룬다.

그렇다면, 상대 아이디얼 노름(영어: relative ideal norm)은 다음과 같은 꼴의 모노이드 준동형이다.

$\operatorname {N} _{S/R}\colon \operatorname {FracIdeal} (S)\to \operatorname {FracIdeal} (R)$

여기서 $\operatorname {FracIdeal} (-)$은 (영 아이디얼을 포함하는) 모든 분수 아이디얼들로 구성된 곱셈 모노이드이다. 이는 상대 아이디얼 노름이 만족시키는 성질들로부터 공리적으로 정의할 수 있으며, 체 노름을 사용하여 구체적으로도 정의할 수 있다.

공리적 정의

상대 아이디얼 노름 $\operatorname {N} _{S/R}\colon \operatorname {FracIdeal} (S)\to \operatorname {FracIdeal} (R)$은 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 모노이드 준동형이다.^{:Proposition 1.5.14}

• $\operatorname {N} _{S/R}((0)_{S})=(0)_{R}$. 여기서 $(0)$은 영 아이디얼이다.
• 임의의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 ${\mathfrak {q}}\subseteq S$ 및 ${\mathfrak {p}}\subseteq R$에 대하여, 만약 ${\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}$라면,

  $\operatorname {N} _{S/R}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{[S/{\mathfrak {q}}:R/{\mathfrak {p}}]}$

여기서 $[S/{\mathfrak {q}}:R/{\mathfrak {p}}]$는 (덧셈군으로서) 부분군의 지표를 뜻한다. 여기서 ${\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}$라는 것은 분기화에 대하여 ${\mathfrak {q}}$가 ${\mathfrak {p}}$ 위에 있다는 것을 뜻한다. 즉, ${\mathfrak {p}}$를 $S$에서 소인수 분해하면 ${\mathfrak {q}}$는 그 소인수 가운데 하나이다.

체 노름을 통한 정의

아이디얼 노름은 체 노름을 통해서도 정의할 수 있다.^{:Proposition I.8.2:25, §4} 분수 아이디얼 ${\mathfrak {A}}\in \operatorname {FracIdeal} S$의 아이디얼 노름 $\operatorname {N} _{S/R}({\mathfrak {A}})\in \operatorname {FracIdeal} R$은 다음과 같은 분수 아이디얼이다.

$\operatorname {N} _{S/R}({\mathfrak {A}})=\{r_{1}\operatorname {N} _{L/K}(a_{1})+r_{2}\operatorname {N} _{L/K}(a_{1})+\cdots +r_{n}\operatorname {N} _{L/K}(a_{n})\colon n\in \mathbb {N} ,\;a_{1},\dots ,a_{n}\in {\mathfrak {A}},\;r_{1},\dots ,r_{n}\in R\}\in \operatorname {FracIdeal} (R)$

즉, $\operatorname {N} _{L/K}$ 아래 ${\mathfrak {A}}$의 상으로 생성되는 분수 아이디얼이다. 여기서 $\operatorname {N} _{L/K}$는 체의 확대 $L/K$에 대한 체 노름이다.

절대 아이디얼 노름

대수적 수체 $L/\mathbb {Q}$이 주어졌을 때, $K=\mathbb {Q}$, $S={\mathcal {O}}_{L}$, $R=\mathbb {Z}$로 놓으면 위 조건이 성립한다. 이 경우, ($\mathbb {Z}$는 주 아이디얼 정역이므로) $\operatorname {FracIdeal} (\mathbb {Z} )$은 음이 아닌 유리수의 곱셈 모노이드 $\mathbb {Q} _{\geq 0}$로 여길 수 있다. 따라서 아이디얼 노름은 모노이드 준동형

$\operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\colon \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}_{L})\to \mathbb {Q} _{\geq 0}$

을 정의하며, 절대 아이디얼 노름이라고 한다.

절대 아이디얼 노름은 다음과 같이 직접적으로 정의할 수 있다. 대수적 수체 $L/\mathbb {Q}$의 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{L}$의 아이디얼 ${\mathfrak {a}}$의 절대 아이디얼 노름은 다음과 같다.^{:34, §I.6}

$\operatorname {N} _{L}({\mathfrak {a}})={\begin{cases}|{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}|\\0&{\mathfrak {a}}=(0)\end{cases}}$

즉, 만약 ${\mathfrak {a}}$가 영 아이디얼이 아니라면 몫환 ${\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}$의 집합의 크기이다. 이는 곱셈 연산을 보존하므로, 다음과 같은 모노이드 준동형을 이룬다.

$\operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\colon \operatorname {Ideal} ({\mathcal {O}}_{L})\to \mathbb {N}$

$\operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }({\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}})=\operatorname {N} _{L}({\mathfrak {a}})\operatorname {N} _{K}({\mathfrak {b}})$

$\operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }({\mathcal {O}}_{L})=1$

여기서 $\operatorname {Ideal} ({\mathcal {O}}_{L})$은 ${\mathcal {O}}_{L}$의 아이디얼들의 곱셈 모노이드이며, $\mathbb {N}$은 자연수(음이 아닌 정수)들의 곱셈 모노이드이다.

보다 일반적으로, ${\mathcal {O}}_{L}$-아이디얼의 절대 아이디얼 노름은 ${\mathcal {O}}_{L}$-분수 아이디얼로 다음과 같이 일반화할 수 있다.

$\operatorname {N} _{L}({\mathfrak {a}}/b)=\operatorname {N} _{L}(\operatorname {a} )/\operatorname {N} _{L}((b))\qquad \left({\mathfrak {a}}/b\in \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}_{L}),\;b\in {\mathcal {O}}_{L}\right)$

(여기서 $(b)$는 $b$로 생성되는 주 아이디얼이다.) 이는 다음과 같은 모노이드 준동형을 이룬다.

$\operatorname {N} _{L}\colon \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}_{L})\to \mathbb {Q} _{\geq 0}$

여기서

• $\operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}_{L})$은 (영 분수 아이디얼을 포함하는) ${\mathcal {O}}_{L}$의 분수 아이디얼들의 곱셈 모노이드이다.
• $\mathbb {Q} _{\geq 0}$는 음이 아닌 유리수들의 곱셈 모노이드이다.

아라켈로프 인자의 아이디얼 노름

대수적 수체 $L$의 무한 또는 유한 자리 ${\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}$ (${\mathfrak {p}}\in \{2,3,5,7,\dots ,\infty \}$)에 대하여 다음을 정의하자.

• $\kappa ({\mathfrak {q}})$는 값매김환 ${\mathcal {O}}_{L_{\mathfrak {q}}}$의 잉여류체이다. (만약 ${\mathfrak {q}}$가 무한 위치라면 ${\mathcal {O}}_{L_{\mathfrak {q}}}=L_{\mathfrak {q}}$이다.) 마찬가지로 $\kappa ({\mathfrak {p}})$는 값매김환 ${\mathcal {O}}_{K_{\mathcal {p}}}$의 잉여류체이다.
• $f_{\mathfrak {p}}=[\kappa ({\mathfrak {q}}):\kappa ({\mathfrak {p}})]$는 분기화 $S/R$에 대한 ${\mathfrak {q}}$의 관성 차수이다.

그렇다면 다음을 정의할 수 있다.

$\operatorname {N} ({\mathfrak {q}})={\begin{cases}{\mathfrak {q}}^{\nu ({\mathfrak {q}})}&{\mathfrak {q}}\nmid \infty \\\mathrm {e} ^{\nu ({\mathfrak {q}})}&{\mathfrak {q}}\mid \infty \end{cases}}$

그렇다면 임의의 아라켈로프 인자

${\mathfrak {A}}=\prod _{\mathfrak {q}}{\mathfrak {q}}^{\nu ({\mathfrak {q}})}\qquad \nu ({\mathfrak {q}})\in {\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mathfrak {q}}\nmid \infty \\\mathbb {R} &{\mathfrak {q}}\mid \infty \end{cases}}$

의 아이디얼 노름은 다음과 같다.^{:186, Definition III.1.5}

$\operatorname {N} ({\mathfrak {A}})=\prod _{\mathfrak {q}}\operatorname {N} ({\mathfrak {q}})^{\nu ({\mathfrak {q}})}\in \mathbb {R} ^{+}$

이는 아라켈로프 인자들의 아벨 군에서 양의 실수의 곱셈군 $\mathbb {R} ^{+}$으로 가는 군 준동형을 정의한다.

이델 노름

보다 일반적으로, 두 대역체 사이의 확대 $L/K$가 주어졌을 때, 그 이델 군 사이의 다음과 같은 상대 이델 노름(영어: relative idèle norm)이 존재한다.

$\operatorname {N} _{L/K}\colon \mathbb {A} _{L}^{\times }\to \mathbb {A} _{K}^{\times }$

$\operatorname {N} _{L/K}\colon (a_{\mathfrak {q}})_{{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Places} L}\mapsto \prod _{{\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}}\operatorname {N} _{L_{\mathfrak {q}}/K_{\mathfrak {p}}}(a_{\mathfrak {q}})$

여기서

• $\textstyle \prod _{{\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}}$는 $K$의 모든 자리 ${\mathfrak {p}}$ 및 ${\mathfrak {p}}$가 분기화하는 모든 $L$의 자리 ${\mathfrak {q}}$들에 대한 곱이다.
• $\operatorname {N} _{L_{\mathfrak {q}}/K_{\mathfrak {p}}}$는 완비체의 확대 $L_{\mathfrak {q}}/K_{\mathfrak {p}}$에 대한 체 노름이다.

이는 연속 함수이며 군 준동형을 이룬다. $a\in L^{\times }$에 의하여 정의되는 주 이델 $(a)\in \mathbb {A} _{L}^{\times }$의 상은 $K$의 주 이델이므로, 이는 이델 유군 사이의 연속 군 준동형

$C_{L}\to C_{K}$

을 정의한다.

마찬가지로, 다음과 같은, 양의 실수 값의 절대 이델 노름(영어: absolute idèle norm)이 존재한다.

$\operatorname {N} _{K}\colon \mathbb {A} _{K}^{\times }\to \mathbb {R} ^{+}$

$\operatorname {N} _{K}\colon (a_{\mathfrak {q}})_{{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Places} K}\mapsto \prod _{\mathfrak {p}}|a|_{\mathfrak {p}}$

이는 연속 함수이며 군 준동형을 이룬다. $a\in K^{\times }$에 의하여 생성되는 주 이델 $(a)\in \mathbb {A} _{K}^{\times }$의 절대 이델 노름은 항상 1이다.^{:185, Proposition III.1.3} 따라서 이는 이델 유군을 정의역으로 하는 연속 군 준동형

$C_{K}\to \mathbb {R} ^{+}$

을 정의한다.

성질

체 노름과의 관계

임의의 대수적 수체의 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{L}$에서, 주 아이디얼의 절대 아이디얼 노름은 체 노름 $\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }$의 절댓값이다. 보다 일반적으로, $L=\operatorname {Frac} {\mathcal {O}}_{L}$의 임의의 원소의 주 분수 아이디얼 $(a{\mathcal {O}}_{L})$의 절대 아이디얼 노름은 체 노름의 절댓값이다.

$\operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }(a{\mathcal {O}}_{L})=|\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)|\qquad (a\in K)$

그러나 아이디얼 노름은 체 노름과 달리 부호를 기억하지 않는다.

복소수 자리의 수

임의의 대수적 수체 $L/\mathbb {Q}$에 대하여, $L$의 복소수 자리의 수(즉, 환 준동형 집합 $\hom _{\operatorname {CRing} }(L,\mathbb {C} )$의 크기의 절반. 이는 복소켤레에 의하여 이는 항상 정수이다)를 $s_{\mathbb {C} }(L)$라고 하자. 그렇다면, 임의의 (영 아이디얼이 아닌) 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathcal {O}}_{L}$에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.^{:35, Lemma I.6.2}

$\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s_{\mathbb {C} }(L)}\leq {\frac {{\sqrt {\left|\Delta _{L}\right|}}\operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }({\mathfrak {a}})}{\min _{a\in {\mathfrak {a}}\setminus \{0\}}|\operatorname {N} _{L/\mathbb {Q} }(a)|}}$

여기서 $\Delta _{L}$은 수체의 판별식을 뜻한다. 따라서, 이를 통하여 대수적 수체의 복소수 자리의 수의 상계를 얻을 수 있다.

역사

일반적인 데데킨트 정역에 대한 아이디얼 노름은 장피에르 세르가 정의하였다.^{:Proposition 1.5.14}