리 초대수

리 대수 이론에서, 리 초대수(Lie 超代數, 영어: Lie superalgebra)는 리 대수에 $\mathbb {Z} /(2)$ 등급을 주어 일반화한 수학적 구조다. 초대칭이나 BRST 대칭 따위를 수학적으로 다룰 때 쓰인다.

정의

가환환 $K$가 주어졌다고 하자. $K$-리 초대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 두 $K$-가군 ${\mathfrak {g}}_{0}$, ${\mathfrak {g}}_{1}$. 또한, ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$로 표기하자. ${\mathfrak {g}}$는 $\mathbb {Z} /(2)=\{0,1\}$-등급 가군으로 여긴다. 순수 성분의 등급은 $\deg x\in \{0,1\}$로 표기하자.
• $K$-쌍선형 연산 $[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ (일부 문헌에서 이는 $[-,-\}$로 표기되기도 한다).

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다. (이는 일반적인 $K$-리 대수의 공리를 등급을 고려하여 일반화한 것이다.)

• (리 괄호의 등급) $\deg[x,y]=(\deg x+\deg y){\bmod {2}}\qquad \forall x,y\in ({\mathfrak {g}}_{0}\cup {\mathfrak {g}}_{1})\setminus \{0\}$
• (반대칭성) $[x,y]+(-1)^{\deg x\deg y|}[y,x]=0\qquad \forall x,y\in ({\mathfrak {g}}_{0}\cup {\mathfrak {g}}_{1})\setminus \{0\}$
• (야코비 항등식) $(-1)^{\deg z\deg x}[x,[y,z]]+(-1)^{\deg x\deg y}[y,[z,x]]+(-1)^{\deg y\deg z}[z,[x,y]]=0\qquad \forall x,y,z\in ({\mathfrak {g}}_{0}\cup {\mathfrak {g}}_{1})\setminus \{0\}$
• $[x,x]=0\qquad \forall x\in {\mathfrak {g}}_{0}$
• $[x,[x,x]]=0\qquad \forall x\in {\mathfrak {g}}_{1}$

여기서, 넷째 공리는 만약 $K$에서 2가 가역원일 경우 자동으로 반대칭성으로부터 유도되며, 다섯째 공리는 만약 $K$에서 3이 가역원일 경우 자동으로 야코비 항등식으로부터 유도된다. 즉, 예를 들어 $K$가 표수가 2 또는 3이 아닌 체일 경우 이들을 생략할 수 있다.

성질

가군으로서, 리 초대수 ${\mathfrak {g}}$는 그 등급이 0(보손)인 부분 가군 ${\mathfrak {g}}_{0}$과 등급이 1(페르미온)인 부분 가군 ${\mathfrak {g}}_{1}$의 직합이다. 이렇게 분해하면, ${\mathfrak {g}}_{0}$는 리 대수를 이루고, ${\mathfrak {g}}_{1}$은 ${\mathfrak {g}}_{0}$의 표현을 이룬다. 또한, ${\mathfrak {g}}_{1}$은 다음과 같은 가환 비결합 괄호

$\{\cdot ,\cdot \}\colon {\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\to {\mathfrak {g}}_{0}$

를 가진다.

단순 리 초대수

 이 부분의 본문은 단순 리 초대수입니다.

자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수를 단순 리 초대수라고 하며, 이들은 모두 분류되었다.

예

아벨 초대수

가환환 $K$ 위의 임의의 두 가군 ${\mathfrak {g}}_{0}$ 및 ${\mathfrak {g}}_{1}$이 주어졌을 때, 리 초괄호

$[x,y]=0\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$

을 주면, ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{q}$은 리 초대수를 이룬다. 이를 아벨 리 초대수(Abel Lie超代數, 영어: Abelian Lie superalgebra)라고 한다.

일반·특수 선형 초대수

$(m|n)\times (m|n)$ 초행렬은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.

${\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}$

여기서 $A$는 $m\times m$이고, $B$는 $n\times n$이다. $(m|n)\times (m|n)$ 초행렬의 모임을 일반 선형 초대수 (general linear Lie superalgebra) ${\mathfrak {gl}}(m|n)$이라고 쓰자. 초행렬의 초대각합(超對角合, 영어: supertrace)은 다음과 같다.^:§25

$\operatorname {str} {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\operatorname {tr} A-\operatorname {tr} D$

응용

리 초대수는 이론물리학에서 쓰인다. (푸앵카레) 초대칭에서는 짝수 등급이 보존을, 홀수 등급이 페르미온을 나타낸다. 그러나 BRST에서는 그 반대다.

BRST 대칭

 이 부분의 본문은 BRST 양자화입니다.

게이지 이론은 BRST 대칭이라는 대칭을 지닌다. BRST 초대수는 0|1차원 초대수이며, 그 페르미온 생성원 $Q$의 초괄호는 다음과 같다.

$\{Q,Q\}=0$

즉, 이는 멱영(영어: nilpotent) 리 초대수이다.

초대칭

 이 부분의 본문은 초대칭입니다.

초대칭 이론들은 시공간의 대칭들과 초대칭들을 포함하는 리 초대수를 대칭으로 가진다. 이들 대수의 보손 생성원은 푸앵카레 군과 R대칭에 해당하고, 페르미온 생성원은 초대칭에 해당한다.

만약 이론이 초대칭과 등각 대칭을 둘 다 가질 경우, 이 두 대칭군은 초등각 대칭군이라는 하나의 초군을 생성시킨다. 대표적으로, 4차원 민코프스키 ${\mathcal {N}}=4$ 초등각 대칭군은 단순초군 $PSU(2,2|4)$이다. 이 초군은 AdS/CFT 대응성에서 등장한다.

역사

펠릭스 알렉산드로비치 베레진(러시아어: Фе́ликс Алекса́ндрович Бере́зин)과 게오르기 이사코비치 카츠(러시아어: Георгий Исаакович Кац)가 1970년에 도입하였다.

참고 문헌

• Musson, Ian M. (2012). 《Lie Superalgebras and Enveloping Algebras》 (영어). Graduate Studies in Mathematics 131. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6867-6. MR 2906817. Zbl 1255.17001. 
• Cheng, Shun-Jen; Weiqiang Wang (2010년 1월). “Dualities for Lie superalgebras” (영어). arXiv:1001.0074. Bibcode:2010arXiv1001.0074C. 
• Leites, D. A. (1985년 9월). “Lie superalgebras”. 《Journal of Soviet Mathematics》 (영어) 30 (6): 2481–2512. doi:10.1007/BF02249121. ISSN 0090-4104. 
• Kac, Victor G. (1977년 10월). “Lie superalgebras”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 26 (1): 8–96. doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2. ISSN 0001-8708. MR 0486011. 
• Kac, Victor G. (1977년 2월). “A sketch of Lie superalgebra theory”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 53 (1): 31–64. Bibcode:1977CMaPh..53...31K. doi:10.1007/BF01609166. ISSN 0010-3616. MR 0442049. Zbl 0359.17009. 
• Ramond, Pierre (2010년 5월). 《Group theory: a physicist’s survey》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 9780521896030. MR 2663568. Zbl 1205.20001. 
• Rittenberg, V. (1978). 〈A guide to Lie superalgebras〉. 《Group theoretical methods in physics: Sixth International Colloquium, Tübingen, 1977》. Lecture Notes in Physics (영어) 79. Springer. 3–21쪽. doi:10.1007/3-540-08848-2_1. ISBN 978-3-540-08848-6. ISSN 0075-8450. 2015년 6월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 6월 23일에 확인함. 

외부 링크

• “Super Lie algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Supergroup”. 《nLab》 (영어). 
• “Super-translation group”. 《nLab》 (영어). 
• “General linear supergroup”. 《nLab》 (영어). 
• “Orthosymplectic super Lie algebra”. 《nLab》 (영어). 
• Ridout, David (2011년 4월 29일). “A (gentle) introduction to Lie superalgebras” (PDF) (영어). 2015년 3월 28일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 6월 22일에 확인함.