결정 코호몰로지

대수기하학에서, 크리스탈린 코호몰로지(영어: crystalline cohomology)는 양의 표수를 가지는 가환환 위에서 푸앵카레 보조정리를 모방하려 만들어진 코호몰로지 이론이다.

정의

에탈 위치의 문제점

표수 $p$의 가환환 $A$ 위의 다항식환 $A[x]$에서, 미분의 곱셈 법칙

$(x^{n})'=nx^{n-1}$

을 생각하자. 만약 $p\mid n$일 경우

$(x^{n})'=0$

이 된다. 이 때문에 쿠머 열(영어: Kummer sequence)이 $\ell =p$에서는 에탈 위상 위에서 완전열이 되지 못하고, 따라서 코호몰로지는 $\ell \neq p$일 때만 유용하다.

이를 해결하기 위해서는 앞에 붙는 $n$을 처리해야만 한다. 이러한 미분을 위해서, 다음과 같은 특수한 곱을 정의하자.

$x^{[m]}y^{[n]}={\frac {(m+n)!}{m!n!}}x^{m}y^{n}$

그렇다면, 여기에 미분 구조를 주었다고 하면

$(x^{[n]})'=x^{[n-1]}$

가 되며, 골칫거리인 $n$이 사라지게 된다.

즉, 가환환 $A$에 대하여, 다음과 같은 정의를 생각할 수 있다.

$A\langle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle =\left\{\sum _{i_{1},\cdots ,i_{n}}a_{i_{1},\cdots ,i_{n}}x_{1}^{[i_{1}]}\cdots x_{n}^{[i_{n}]}|a_{i_{1},\cdots ,i_{n}}\in A\right\}$

분할 거듭제곱 환

 이 부분의 본문은 분할거듭제곱 구조입니다.

이러한 정의를 조금 더 일반화하면, 분할 거듭제곱 환(分割-環, 영어: divided power ring)의 개념을 얻는다. 분할 거듭제곱 환 $(A,I,\gamma )$은 다음과 같은 데이터로 구성된 순서쌍이다. 이를 좀 더 일반화하면 분할거듭제곱 구조가 된다. 분할거듭제곱 구조란

• 가환환 $A$
• $A$의 멱영 아이디얼 $I$
• 분할거듭제곱 구조 $\gamma _{n}:I\to A$. 이는 대략 $x^{n}$ 꼴을 미분할 때 앞에 어떤 상수가 나오지 않도록 잡아주는 역할을 하도록 만들어진 구조다.

이 정의에서 $I$를 멱영 아이디얼로 한정하는 이유는 분할 거듭제곱 구조를 주어야 하는 곳은 한정되어야 하기 때문이다. 예를 들면, $A\langle x\rangle$같은 경우는 $x$로 만들어지는 아이디얼만 작업을 가하면 된다. 우리가 어려움을 겪는 이유는 $x$가 들어간 것의 미분 때문이기 때문이다. 아이디얼을 임의로 하면 망가지지 말아야 할 $A$의 연산도 망가지게 된다.

두 분할 거듭제곱 환 $(A,I,\gamma ),(B,J,\delta )$ 사이의 준동형이란 다음 두 조건을 만족하는 환 준동형 $f\colon A\to B$이다.

$IB\subseteq J$

$f(\gamma _{n}(x))=\delta _{n}(f(x))$

분할 거듭제곱 포락

다음이 주어졌다고 하자.

• 분할 거듭제곱 환 $(A,I,\gamma )$
• 가환환 $B$
• 환 준동형 $A\to B$
• $B$의 아이디얼 $J$. 또한, $IB\subseteq J$라고 하자.

그렇다면, 다음 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환 $(D,{\bar {J}},\delta )$가 항상 존재함을 보일 수 있다.

임의의 분할 거듭제곱 환 $(C,K,\varepsilon )$에 대하여,

$\hom _{(A,I,\gamma )}((D,{\bar {J}},\delta ),(C,K,\varepsilon ))=\hom _{(A,I)}((B,J),(C,K))$

이 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환 $(D,{\bar {J}},\delta )$을 $(B,J)$의 분할 거듭제곱 포락(分割-包絡, 영어: divided power envelope)이라고 한다. 즉, 이는 아이디얼에 분할 거듭제곱 구조를 “가장 자연스럽게” 부여한 것이다. 이제부터 $D=D_{B,\gamma }(J)$라고 쓰자.

스킴의 경우

위 개념들을 스킴에 마찬자지로 확장할 수 있다.

분할 거듭제곱 스킴(영어: divided power scheme)은 다음 데이터로 주어진다.

• 스킴 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$
• ${\mathcal {O}}_{X}$ 위의 멱영 아이디얼 층 ${\mathcal {I}}$
• $X$의 각 (자리스키) 열린 부분 스킴 $U$에 대하여, 분할 거듭제곱 구조 $\gamma _{n}:{\mathcal {I}}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(U)$

물론, 이 데이터는 적절한 층 공리들을 만족시켜야 한다.

분할 거듭제곱 스킴 사이의 사상 역시 분할 거듭제곱 환 준동형과 유사하게 정의된다.

앞으로 $(S,{\mathcal {I}},\gamma )$는 ${\mathbb {Z} }_{(p)}$ 위의 분할거듭제곱 스킴이라고 생각하자. 그리고 편의상 모든 스킴에서 $p$는 국소적으로 멱영이라고 가정하자.

스킴 사상 $X\to S$가 주어졌을 때, $X$ 위의 크리스탈린 열린 부분 스킴(영어: crystalline open subscheme) $(U,T,\delta )$은 다음과 같은 순서쌍으로 구성된다.

• $U$는 $X$의 (자리스키) 열린 부분 스킴이다.
• $T$는 $U$를 (자리스키) 닫힌 부분 스킴으로 갖는 스킴이다. 즉, 닫힌 몰입 $U\to T$이 주어졌으며, 이 닫힌 몰입의 아이디얼 층은 멱영이다. 이를 잠깐 ${\mathcal {I}}'$라고 쓰자.
• $\delta$는 $(U,{\mathcal {I}}')$ 위의 분할 거듭제곱 구조이다.

$(U,{\mathcal {I}}',\delta )$가 $(S,{\mathcal {I}},\gamma )$ 위에 있을 때 이를 $X$의 크리스탈린 열린 스킴이라고 한다.

대략, 크리스탈린 열린 스킴은 $X$의 자리스키 열린 부분 스킴에 미분할 수 있는 다항식 구조를 부여하고, 거기에 미분을 좀 더 잘 하기 위해 분할 거듭제곱 구조도 함께 부여한 것이다.

이제 이렇게 해서 크리스탈린 위치(영어: crystalline site)를 정의할 수 있고, 보통 코호몰로지를 정의하는 방법하고 비슷하게 코호몰로지 군

$\operatorname {H} _{\mathrm {cris} }^{i}((X/S),{\mathcal {F}})$

를 정의할 수 있다.

드람 복합체

크리스탈린 코호몰로지를 도입하는 주된 이유는 양의 표수에서도 미분을 잘 하고 드람 코호몰로지도 잘 정의하기 위해서 만들려는 것이다. 이에 따라, 드람 복합체를 분할 거듭제곱 구조 위에서 재사용하는 것은 당연한 일일 것이다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $A$
• $A$ 위의 분할 거듭제곱 환 $(B,J,\delta )$

켈러 미분과 유사하게, $\Omega _{B/A,J,\delta }^{1}$를 다음과 같은 항등식들을 만족시키는 $\mathrm {d} b$들로 정의할 수 있다.

$\mathrm {d} (b+b')=\mathrm {d} b+\mathrm {d} b'$

$\mathrm {d} (bb')=(\mathrm {d} b)b'+b(\mathrm {d} b')$

$\mathrm {d} a=0$ for all $a\in A$

$\mathrm {d} (\delta _{n}(b))=\delta _{n-1}\mathrm {d} b$ for all $n\geq 1$

이것이 보통 켈러 미분하고 다른 점은 네 번째 밖에 없다. 그리고 $\Omega _{B/A,J,\delta }^{n}=\wedge _{B}^{n}\Omega _{B/A,J,\delta }^{1}$라고 정의하면, 다음과 같은 드람 복합체를 구성할 수 있다.

$\Omega _{B/A,J,\delta }^{0}{\overset {\mathrm {d} }{\longrightarrow }}\Omega _{B/A,J,\delta }^{1}{\overset {\mathrm {d} }{\longrightarrow }}\Omega _{B/A,J,\delta }^{2}{\overset {\mathrm {d} }{\longrightarrow }}\Omega _{B/A,J,\delta }^{3}{\overset {\mathrm {d} }{\longrightarrow }}\cdots$

여기에서

$\mathrm {d} (b_{0}(\mathrm {d} b_{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} b_{n}))=\mathrm {d} b_{0}\wedge \mathrm {d} b_{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} b_{n}$

라고 정의한다.

이 다음엔 $M$이 $B$-가군일 때 접속을 정의하자. 접속(영어: connection)이란 $\nabla :M\longrightarrow \Omega _{B/A,J,\delta }^{1}\otimes _{B}M$ 이란 가군 준동형이며, 다음을 만족해야 한다.

$\nabla (bm)=b\nabla (m)+m\otimes \mathrm {d} b$

이것이 적분 가능 접속(영어: integrable connection)이란 것은 이것으로 만들어지는

$M{\overset {\nabla }{\longrightarrow }}\Omega _{B/A,J,\delta }^{1}\otimes _{B}A{\overset {\nabla }{\longrightarrow }}\Omega _{B/A,J,\delta }^{2}\otimes _{B}M$

가 복합체라는 것이다. 그렇다면 이것 또한 드람 복합체를 만든다.

$(U,T,\delta )\to (U,T',\delta )$가 분할 거듭제곱 환 준동형이라고 하자. 그러면 $f\colon T\to T'$를 생각할 수 있고, 그에 따라 자연스럽게 ${\mathcal {F}}$가 크리스탈린 위치에서 $X$ 위의 ${\mathcal {O}}_{X/S}$-가군층이라면 다음을 만들 수 있다.

$f^{*}{\mathcal {F}}_{T}\longrightarrow {\mathcal {F}}_{T'}$

를 만들 수 있게 되고, 이게 언제나 동형 사상이면 ${\mathcal {F}}$를 크리스탈(영어: crystal)이라고 한다. 이는 $X/S$에 있는 크리스탈린 구조에 ${\mathcal {F}}$가 아주 자연스럽게 배여 있다는 것이다.

이는 중요한데, 다음을 정의할 수 있기 때문이다. 먼저 $(U,T,\delta )$라는 $X$의 크리스탈린 열린 부분 스킴이 있을 때

${\mathcal {O}}_{T'}:={\mathcal {O}}_{T}\otimes \Omega _{T,\delta }^{1},(U(1),T(1),\delta (1))=(U,T,\delta )\times _{(S,I,\gamma )}(U,T,\delta )$

로 정의하고, $p_{0},p_{1}\colon T(1)\to T$로 사영을 잡았을 때, $X$의 크리스칼 ${\mathcal {F}}$에 대하여

$p_{0}^{*}{\mathcal {F}}_{T}{\overset {c_{0}}{\longrightarrow }}{\mathcal {F}}_{T'}{\overset {c_{1}}{\longleftarrow }}p_{1}^{*}{\mathcal {F}}_{T}$

를 생각할 수 있으며, 양 화살표는 가정에 의해서 모두 동형 사상이다.

$s\in \Gamma (T,{\mathcal {F}}_{T})$를 생각하면

$\nabla (s)=p_{1}^{*}s-c(p_{0}^{*}s)$

로 정의하자. 여기에서 $c=c_{1}^{-1}\circ c_{0}$다. 이것은 보통 접속을 정의할 때 쓰는 리 미분 $\nabla _{X}(Y)=XY-YX$를 모방한 것이다. 그러면 이는

$\nabla \colon \Gamma (T,{\mathcal {F}}_{T})\longrightarrow \Gamma (T,{\mathcal {F}}_{T}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X/S}}\Omega _{T/X,\delta }^{1})$

를 만들고, 이는 적분 가능 접속이 된다.

미분은 당연히 다항식에서 해야 하고, 표수는 불편하니 다음을 정의하자. $(A,I,\gamma )$가 분할거듭제곱 환이고 $A\to B$가 환 준동형이라면 적당한 $P=A[x_{i}]$를 잡아서 $P\to C$가 전사 준동형이 되도록 하자. 그리고 그 핵을 $J$라고 하면

$D=\varprojlim _{e}D_{B,\gamma }(J)/p^{e}D_{B,\gamma }(J)$

를 정의할 수 있고, 여기 위에서 적당한 성질을 가진 적분 가능 접속과 $X/S$의 (크리스탈린 위치에서) 준연접층은 1-1 대응을 가진다는 것이 알려져 있다.

푸앵카레 보조정리

다음을 생각하자.

• 가환환 $A$
• 환 $P=A\langle x_{i}\rangle$
• $x_{i}$들이 생성하는 아이디얼 $I$
• $(P,I)$ 위의 자명한 분할 거듭제곱 구조

그렇다면, 다음과 같은 완전열이 존재한다.

$0\to M\longrightarrow M\otimes _{A}\Omega _{P/A,\delta }^{1}\longrightarrow M\otimes _{A}\Omega _{P/A,\delta }^{2}\longrightarrow M\otimes _{A}\Omega _{P/A,\delta }^{3}\longrightarrow \cdots$

이 완전열의 존재는 일종의 “푸앵카레 보조정리”에 해당하며, 반면 일반 다항식환 $A[x_{i}]$의 경우에는 성립하지 않는다 ($(x^{n})'=nx^{n-1}$이기 때문).

좀 더 일반화해서 $(B,I,\delta )$가 $A$ 위의 분할 거듭제곱 환이고 $J'=JP+A\langle x_{i}\rangle$라고 정의하자. 역시 자명한 분할 거듭제곱 구조를 부여하자. 여기에서 $+$는 최저차항의 차수가 1 이상인 것들만 고르라는 것이다. 그렇다면 유도 범주 $\operatorname {D} (A)$ 안에서

$M\otimes _{B}\Omega _{B/A,\delta }^{*}\longrightarrow M\otimes _{B}\Omega _{P/A,\delta }^{*}$

이라는 유사 동형 사상이 있다.

이제 다음을 생각하자. $X/S$의 크리스탈린 위치를 $\mathrm {Cris} (X/S)$로 표기하자.

$D(n)=\prod ^{n}D$

그러면 $D(0)\longrightarrow D(1)\longrightarrow \cdots$는 $\mathrm {R} \Gamma (\mathrm {Cris} (X/S),{\mathcal {F}})$하고 유사동형사상이다. 이는 마치 체흐 신경과 비슷한 역할을 한다. 이것과 드람 복합체와의 스펙트럼 열을 계산하면 ${\mathcal {F}}$를 크리스탈린 위치에서 준연접층이라고 하고 $M$를 ${\mathcal {F}}$하고 대응되는 p진으로 완벽한 $D$-가군이라고 하면 $\mathrm {R} \Gamma (\mathrm {Cris} (X/S),{\mathcal {F}})$는 대응되는 적분 가능 접속으로 만들어지는 $M\otimes _{D}\Omega _{D}^{*}$하고 유사 동형이 된다. 즉, 크리스탈린 코호몰로지 군을 계산하는 것이란 곧 드람 복합체를 계산하는 것과 동치이다.

역사

알렉산더 그로텐디크가 1966년에 도입하였다. 이후 피에르 베르틀로(프랑스어: Pierre Berthelot)가 그 이론에 공헌하였다.

응용

크리스탈린 코호몰로지는 대수적 수론에서 중요한 역할을 한다.

어떤 유한체 $\mathbb {F} _{q}$ 위의 스킴 $X$가 주어졌을 때, 그냥 크리스탈린 코호몰로지 군$\operatorname {H} _{\mathrm {cris} }^{i}(X/{\mathbb {F}}_{q},{\mathcal {O}}_{X})$를 계산하는 것은 별 도움 안 된다. 왜냐하면 정수론도 그냥 다항식을 쓰는데, 크리스탈린 코호몰로지는 위에서 확인한 바에 의하면 $A\langle x_{i}\rangle$만이 진짜 미분을 정의하고 따라서 크리스탈린 코호몰로지 군을 계산하는 것도 이것이기 때문이다.

하지만 표수가 커지면 커질수록 $A\langle x_{i}\rangle$는 $A[x_{i}]$와 가까워진다. 따라서, 비트 벡터를 생각해서

$\operatorname {H} _{\mathrm {cris} }^{i}(X):=\varprojlim H_{\mathrm {cris} }^{i}(X/W_{n}(\mathbb {F} _{q}),{\mathcal {O}}_{X})$

를 생각할 수 있고, 이것을 $\ell =p$일 때의 코호몰로지로 에탈 코호몰로지 대신 쓸 수 있다.

참고 문헌

• Illusie, Luc (1976). “Cohomologie cristalline (d’après P. Berthelot)”. 《Séminaire Bourbaki》 (프랑스어) 17: 456. MR 444668. Zbl 0345.14005. 
• Berthelot, Pierre (1974). 《Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 407. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0068636. ISBN 978-3-540-06852-5. MR 0384804. 

바깥 고리

• “Crystalline cohomology”. 《nLab》 (영어). 
• “Crystalline cohomology” (PDF). 《The Stacks Project》 (영어). 컬럼비아 대학교. 2016년 4월 10일.