타이히뮐러 공간

수학에서, 타이히뮐러 공간(영어: Teichmüller space)은 주어진 (위상수학적) 곡면의 복소 구조들의 모듈러스 공간이다. 이는 자연스럽게 복소 구조 및 다양한 계량들을 가진다.

역사 및 어원

오스발트 타이히뮐러(독일어: Oswald Teichmüller)의 이름을 땄다.

정의

2차원 다양체 $\Sigma$ 위에 복소 구조들의 집합을 ${\mathcal {J}}$라고 하자. 여기에, 다음과 같은 동치관계를 정의하자.

$J\sim \phi ^{*}J\forall \phi \in \operatorname {Homeo} _{0}(\Sigma )$

여기서 $\operatorname {Homeo} (\Sigma )$는 위상동형사상 $\phi \colon \Sigma \to \Sigma$들의 군이며, $\operatorname {Homeo} _{0}(\Sigma )$는 그 가운데 단위원(항등함수)을 포함하는 연결 성분인 부분군이다. 이 동치관계에 대한 동치류 ${\mathcal {J}}/\sim ={\mathcal {T}}_{\Sigma }$는 자연스럽게 유한차원 다양체를 이루며, 또한 자연스러운 복소 구조가 존재한다.

복소 구조의 모듈러스 공간은 $\operatorname {Homeo} _{0}(\Sigma )$ 대신 $\operatorname {Homeo} (\Sigma )$를 사용하여 정의한다. 따라서,

$0\to \operatorname {Homeo} _{0}(\Sigma )\hookrightarrow \operatorname {Homeo} (\Sigma )\twoheadrightarrow \operatorname {MCG} (\Sigma )\to 0$

이므로, 복소 구조의 모듈러스 공간은 타이히뮐러 공간에 $\operatorname {MCG} (\Sigma )$에 대한 몫공간을 취한 오비폴드다. 여기서 $\operatorname {MCG} (\Sigma )$는 $\Sigma$의 사상류군(영어: mapping class)이다.

종수가 $g$이고, $n$개의 점을 제거한 리만 곡면 $\Sigma _{g,n}$의 타이히뮐러 공간을 ${\mathcal {T}}_{g,n}$으로 쓰며, 복소 모듈러스 공간을 ${\mathcal {M}}_{g,n}$이라고 쓴다. 즉,

${\mathcal {M}}_{g,n}={\mathcal {T}}_{g,n}/\operatorname {MCG} (\Sigma _{g,n})$

이다.

성질

차원

$g>1$인 경우, 타이히뮐러 공간 ${\mathcal {T}}_{g,n}$의 차원은 다음과 같다.

$\dim {\mathcal {T}}_{g,n}=3g-3+n$

이는 다음과 같이 유도할 수 있다. 종수 $g$의 리만 곡면 $\Sigma _{g}$의 모듈러스 공간 ${\mathcal {M}}_{g}$의 접공간은 반정칙 미분 ${\bar {\partial }}$의 변형에 의하여 매개변수화된다. 즉,

${\bar {\partial }}\mapsto {\bar {\partial }}+\mu \partial$

의 꼴이다. 여기서 $\mu \in \Gamma (T\Sigma \otimes T^{*}\Sigma )$는 (1,1)-텐서장으로, 임의의 $\xi \in \Gamma (T\Sigma )$에 대하여 $\mu$와 $\mu +{\bar {\partial }}\xi$는 같은 복소 구조를 나타낸다. 따라서 복소 구조의 접공간은 다음과 같다.

$T_{\Sigma }{\mathcal {M}}_{g}=H^{1}(\Sigma ;T)=H^{0}(\Sigma ;2K)$

여기서

• $T=T^{+}\Sigma$는 $\Sigma$ 위의 정칙 벡터 다발들의 선다발의 인자이다.
• $K=-T=\Omega ^{1,0}\Sigma$는 리만 곡면의 표준 선다발의 인자이다.

두 번째 등식은 세르 쌍대성에 의한 것이다.

리만-로흐 정리에 따라,

$\dim H^{0}(\Sigma ;-K)-\dim H^{0}(\Sigma ;2K)=-\deg K-g+1=-3g+3$

이다. 즉,

$\dim {\mathcal {M}}_{g}=\dim H^{0}(\Sigma ;2K)=3g-3+\dim H^{0}(\Sigma ;T)$

이다. 여기서 $\dim H^{0}(\Sigma ;T)$는 $\Sigma$의 자기미분동형군 $\operatorname {Diff} (\Sigma )$의 차원이다. $g>1$이면 자기미분동형군은 더 이상 연속적이지 않으므로,

$\dim {\mathcal {M}}=3g-3$

이다.

베유-페테르손 계량

타이히뮐러 공간 위에는 베유-페테르손 계량(영어: Weil–Petersson metric)이라는 켈러 구조가 존재한다. 이는 사상류군의 작용에 불변이며, 따라서 리만 곡면의 모듈러스 공간 (즉, 복소 구조 모듈러스 공간) 위에도 존재한다.

이 경우, 임의의 접벡터 $\psi ,\chi \in T{\mathcal {M}}_{g}\cong H^{0}(\Sigma ;K)$에 대하여, 베유-페테르손 계량은 다음과 같다.

$\langle \psi ,\chi \rangle =[\Sigma ]\frown (\psi \smile \chi )=\int _{\sigma }\psi \wedge \chi$

여기서 우변은 코호몰로지류를 미분 형식으로 나타낸 것이며, 동치류의 원소의 선택에 의존하지 않는다.

예

종수 0

종수가 0인 리만 곡면은 리만 구면 ${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cap \{{\hat {\infty }}\}$이 유일하다. 즉, 복소 모듈러스 공간 ${\mathcal {M}}_{0}=\{\bullet \}$은 하나의 점만을 포함한다.

타이히뮐러 공간 ${\mathcal {T}}_{0,0}$, ${\mathcal {T}}_{0,1}$, ${\mathcal {T}}_{0,2}$, ${\mathcal {T}}_{0,3}$은 모두 하나의 점만을 포함한다. 이는 뫼비우스 변환을 사용하여, 임의의 3개의 점을 다른 임의의 점으로 보낼 수 있기 때문이다. 즉, 서로 다른 3개의 점 $z_{1},z_{2},z_{3}\in {\hat {\mathbb {C} }}$이 주어진다면, 다음과 같은 뫼비우스 변환을 사용해 이들을 각각 $0,1,{\hat {\infty }}\in {\hat {\mathbb {C} }}$로 보낼 수 있다.

$z\mapsto {\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}$

${\mathcal {T}}_{0,4}$는 1차원으로, 복소 상반평면 $\mathbb {H}$와 동형이다.

종수 1

타원 곡선의 모듈러스 공간은 상반평면의 모듈러 군 작용에 대한 몫공간이며, 이는 기본 영역(회색으로 칠해진 영역)으로 나타낼 수 있다.

종수 1의 리만 곡면은 (매끈한 복소) 타원 곡선이다. 이 경우, 복소 구조 모듈러스 공간 ${\mathcal {M}}_{0}$은 상반평면 $\mathbb {H}$에 다음과 같은 몫공간을 취한 오비폴드이다.

$z\sim {\frac {az+b}{cz+d}}$ (${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$

이 경우, 사상류군

$\operatorname {MCG} (T^{2})=\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )/(M\sim -M)=\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )=\Gamma$

은 모듈러 군이라고 한다. 이 경우 타이히뮐러 공간은 물론 ${\mathcal {T}}_{1,0}=\mathbb {H}$이다. 이 몫공간은 다음과 같은 기본 영역(基本領域, 영어: fundamental domain)으로 나타낼 수 있다.

$R=\{z\in \mathbb {H} \colon |z|>1,|\operatorname {Re} z|<1/2\}$

타원 곡선 모듈러스 공간 ${\mathcal {M}}_{1}\cong \mathbb {H} /\Gamma$는 위상수학적으로 $\mathbb {R} ^{2}$와 위상동형이다. 여기에 서스턴 콤팩트화(Thurston compactification)을 통해 $S^{2}$와 위상동형인 콤팩트화 모듈러스 공간 ${\hat {\mathcal {M}}}_{1}$을 정의할 수 있다. 이 경우, 추가된 점은 기본 영역에서 $z=+i\infty$에 해당한다. 이 경우, 위상동형사상은 j-불변량 $j\colon {\hat {\mathcal {M}}}_{1}\to {\hat {\mathbb {C} }}$으로 주어진다.

${\mathcal {T}}_{1,0}$, ${\mathcal {T}}_{1,1}$은 모두 복소 상반평면 $\mathbb {H}$와 동형이다.

종수 2 이상

종수 2 이상의 경우, 차원 공식에 따라서 복소 모듈러스 공간 및 타이히뮐러 공간은 유한차원이다. 이 경우, 그 사상류군은 타이히뮐러 모듈러 군(영어: Teichmüller modular group)이라고 한다.

참고 문헌

• Hubbard, John Hamal (2006). 《Teichmüller Theory and Applications to Geometry, Topology, and Dynamics. Volume I: Teichmüller Theory》. Matrix Editions. ISBN 978-0-9715766-2-9. MR 2245223. Zbl 1102.30001. 
• Imayoshi, Yoichi; Masahiko Taniguchi (1992). 《An Introduction to Teichmüller Spaces》. Springer. doi:10.1007/978-4-431-68174-8. ISBN 78-4-431-68176-2. 
• Bers, Lipman (1981). “Finite-dimensional Teichmüller spaces and generalizations”. 《American Mathematical Society. Bulletin. New Series》 5 (2): 131–172. doi:10.1090/S0273-0979-1981-14933-8. MR 621883.