모스 이론

미분위상수학에서, 모스 이론(영어: Morse theory)은 다양체의 위상수학을 그 위에 정의된 매끈한 함수로 분석하는 분야이다. 이 경우 함수의 임계점을 통해 다양체의 호몰로지를 다룰 수 있다.

전개

모스 함수와 모스 지표

$M$이 콤팩트 미분다양체라고 하고, 그 위에 매끈한 함수 $f\colon M\to \mathbb {R}$이 있다고 하자. $f$의 임계점들은 $f$의 헤시안 행렬이 0인 $M$의 부분집합이다. 특이점 $x\in M$의 모스 지표(영어: Morse index)는 $x$에서의 $M$의 헤시안 행렬의 음의 고윳값의 수이고, $\gamma (x)$라고 쓰자.

모스 함수(영어: Morse function)는 모든 임계점들의 헤시안 행렬이 비퇴화 형식인 함수다. 매끈한 함수 $M\to \mathbb {R}$의 공간 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ 위에 임의의 리만 계량을 가해, 다음과 같은 일련의 노름들로 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다.

$\Vert f\Vert |_{k}=\sup _{M}|f|^{2}+\sup _{M}\Vert \nabla f\Vert ^{2}+\cdots +\sup _{M}\Vert \nabla ^{k}f\Vert ^{2}$

이 프레셰 위상을 $C^{\infty }$ 위상이라고 하고, 리만 계량에 의존하지 않는다. 이 위상에 따라, 모스 함수들의 부분공간은 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )$의 조밀집합이다.

세포 구조

콤팩트 미분다양체 $M$ 위에 모스 함수 $f$가 있다고 하자. 그렇다면

$M^{a}=f^{-1}(-\infty ,a]$

로 정의하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

• 만약 $[a,b]\subset \mathbb {R}$ 사이에 $f$의 임계값이 없다면, $M^{a}$와 $M^{b}$는 미분동형이다.
• 만약 $x\in M$이 $f$의 임계점이고, 또한 $f^{-1}[f(x)-\epsilon ,f(x)+\epsilon ]$이 $x$이외 다른 임계점을 포함하지 않는다면, $M^{f(x)+\epsilon }$은 $M^{f(x)-\epsilon }$에 $\gamma (x)$차 세포를 추가한 공간과 호모토피 동치이다.

따라서, 모스 함수 $f$는 다양체 $M$와 호모토피 동치인 세포 복합체를 결정짓는다. 이 세포 복합체에서 지표가 $k$인 특이점은 $k$차 세포에 대응된다.

모스 부등식

지표가 $k$인 특이점의 수를 $N_{k}$라고 하자. 그렇다면 세포 복합체의 호몰로지 이론에 따라서 다음이 성립한다.

$\sum _{k}(-1)^{k}N_{k}=\sum _{k}(-1)^{k}b_{k}(M)=\chi (M)$

여기서 $b_{k}(M)$은 $M$의 $k$차 베티 수이고, $\chi (M)$은 $M$의 오일러 지표다. 또한, 세포 복합체 호몰로지로부터 다음을 쉽게 알 수 있다

$N_{k}\geq b_{k}(M)$

이를 약한 모스 부등식(영어: weak Morse inequality)이라고 한다.

약한 모스 부등식을 다음과 같은 강한 모스 부등식(영어: strong Morse inequality)으로 강화시킬 수 있다 모든 $k$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\sum _{i=0}^{k}(-)^{k-i}N_{i}\geq \sum _{i=0}^{k}(-)^{k-i}b_{i}(M)$

모스 호몰로지

콤팩트 미분다양체 $M$의 호몰로지를 다음과 같이 모스 이론으로 정의할 수 있다. 이 호몰로지를 모스 호몰로지(영어: Morse homology)라고 하고, 다음과 같이 정의한다.

콤팩트 미분다양체 $M$ 위에 임의의 리만 계량 $g$와 모스 함수 $f$를 정의하자. 이 경우 그 기울기 벡터장 $\nabla f\in \Gamma (TM)$을 정의할 수 있다. 각 임계점 $x\in M$에 대하여, $\nabla f$의 안정 부분공간(stable subspace) $W^{\text{s}}(x)$과 불안정 부분공간(unstable subspace) $W^{\text{u}}(x)$을 정의할 수 있다. 만약 모든 임계점들의 안정 부분공간과 불안정 부분공간이 횡단교차(틀:En)한다면 (즉, 모든 $y\in W^{\text{s}}(x)\cap W^{\text{u}}(x)$에서 $T_{y}M=T_{y}W^{\text{s}}(x)\oplus T_{y}W^{\text{u}}(x)$이라면) 순서쌍 $(g,f)$를 모스-스메일(영어: Morse–Smale)이라고 한다. 이는 마스턴 모스와 스티븐 스메일의 이름을 딴 것이다.

$f$의 기울기 흐름(gradient flow)은 $f$의 임계점들을 연결시킨다. 두 임계점 $x_{i}$, $x_{j}$ 사이의 기울기 흐름들의 모듈러스 공간 ${\mathcal {F}}(x_{i},x_{j})$을 정의하자. 이 모듈러스 공간의 차원은 임계점들의 모스 지표의 차의 절댓값과 같다.

$\dim {\mathcal {F}}(x_{i},x_{j})=|\gamma (x_{i})-\gamma (x_{j})|$

모스-스메일 구조 $(g,f)$가 주어진 콤팩트 미분다양체 $M$ 위에, 모스 사슬 복합체(영어: Morse chain complex) $C_{i}(M)$는 모스 지표가 $i$인 임계점들로 생성되는 자유 아벨 군이며, 그 위에 정의된 경계 연산자

$\partial _{i}\colon C_{i}(M)\to C_{i-1}(M)$

는 $x_{i}\in C_{i}(M)$을 $x_{i}$로부터 시작하는 $f$의 기울기 흐름들의 (부호가 붙은) 종점들의 합으로 대응시킨다. 이 사슬 복합체로부터 정의한 호몰로지

$H_{\text{M}}(M)=\ker \partial _{i}/\operatorname {im} \partial _{i+1}$

를 모스 호몰로지라고 한다. 이는 모스-스메일 구조의 선택에 의존하지 않으며, 또한 다른 호몰로지 이론(특이 호몰로지, 드람 호몰로지 등)과 일치함을 보일 수 있다.

역사와 어원

마스턴 모스 이전에도 이미 아서 케일리와 제임스 클러크 맥스웰 등이 측량학에 관련하여, 곡면 위에 정의된 높이 함수의 특이점들을 고려하였다.

마스턴 모스가 변분법을 연구하면서 모스 이론을 1934년 도입하였다. 이후 모스는 평생을 주로 모스 이론을 연구하는 데 바쳤다.

1950년대에, 라울 보트는 모스 이론을 특이점들이 고립돼 있지 않고 닫힌 집합을 이루는 경우로 확장한 모스-보트 이론(영어: Morse–Bott theory)을 도입하였고, 이를 사용하여 위상 K이론의 보트 주기성(영어: Bott periodicity)을 증명하였다.

1982년에 에드워드 위튼은 모스 이론을 초대칭 양자역학을 사용하여 재정의하였다. 이를 모스-위튼 이론(영어: Morse–Witten theory)이라고 한다.

참고 문헌

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