매끄러운 함수

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해석학에서, 매끄러운 함수(영어: smooth function)는 무한 번 미분이 가능한 함수이다. C^\infty 함수로 표기하기도 한다.

만약 함수가 매끄럽고 모든 점에서의 테일러 급수 값이 함수값과 같을 경우에는 해석함수가 된다.

함수의 미분가능성 계층[편집]

어떤 함수가 k번 미분가능하고 그 미분한 함수가 모두 연속일 경우, 그 함수를 C^k 함수라고 부른다. 예를 들어, C^0는 연속인 함수를 의미하며, C^1연속 미분 가능한 함수, 즉 미분 가능하고 도함수연속 함수인 함수를 의미한다.

함수가 무한 번 미분가능할 경우 C^\infty로 표기하며, 해석함수일 경우는 C^\omega로 표기한다.

C^{k+1} 집합은 C^k 집합을 진부분집합으로 가지며, C^{k+1}에 속하지 않는 C^k 함수가 존재한다. 마찬가지로 C^\inftyC^k를 진부분집합으로, C^\omegaC^\infty를 진부분집합으로 가진다.

[편집]

x\ge0이면 f(x) = x, x<0이면 f(x) = 0. C^0이지만 C^1은 아닌 함수

f(x)가 x가 0 이상일 때 f(x) = x, 0보다 작을 때 f(x) = 0일 경우, 이 함수는 연속함수이지만 x=0에서 미분값이 존재하지 않는다. 따라서 이 함수는 C^0이지만 C^1은 아니다.

매끄럽지만 해석적이지는 않은 함수
f(x) = \begin{cases}e^{-1/(1-x^2)} & \mbox{ if } |x| < 1, \\ 0 &\mbox{ otherwise }\end{cases}

인 함수는 무한 번 미분이 가능하므로 매끄러운 함수이다. 하지만 x = \pm 1일 때 해석적이지 않고, 따라서 이 함수는 해석함수는 아니다.

성질[편집]

유클리드 공간의 열린 집합 U\subset\mathbb R^n에 대하여, \mathcal C^\infty(U;\mathbb R)U 위의 매끄러운 실수값 함수들의 집합이라고 하자.

이 공간 위에는 다음과 같은 일련의 반노름들이 주어진다. 모든 콤팩트 공간 K\subset U다중 지표 \alpha\in\mathbb N^n에 대하여,

\|f\|_{K,\alpha}=\sup_K|\partial^\alpha f|

따라서, 이 반노름들을 사용하여 \mathcal C^\infty(U;\mathbb R) 위에 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다.

바깥 고리[편집]