매끈한 함수

매끈한 함수(smooth function)는 무한 번 미분이 가능한 함수이다. $C^\infty$ 함수로 표기하기도 한다.

만약 함수가 매끈하고 모든 점에서의 테일러 급수 값이 함수값과 같을 경우에는 해석함수가 된다.

함수의 미분가능성 계층

어떤 함수가 $k$번 미분가능하고 그 미분한 함수가 모두 연속일 경우, 그 함수를 $C^k$ 함수라고 부른다. 예를 들어, $C^0$는 연속인 함수를 의미하며, $C^1$는 연속미분가능한 함수, 즉 미분가능하고 도함수가 연속인 함수를 의미한다.

함수가 무한 번 미분가능할 경우 $C^\infty$로 표기하며, 해석함수일 경우는 $C^\omega$로 표기한다.

$C^{k+1}$ 집합은 $C^k$ 집합을 진부분집합으로 가지며, $C^{k+1}$에 속하지 않는 $C^k$ 함수가 존재한다. 마찬가지로 $C^\infty$는 $C^k$를 진부분집합으로, $C^\omega$는 $C^\infty$를 진부분집합으로 가진다.

예제

$x\ge0$이면 $f(x) = x$, $x<0$이면 $f(x) = 0$. $C^0$이지만 $C^1$은 아닌 함수

$f(x)$가 x가 0 이상일 때 $f(x) = x$, 0보다 작을 때 $f(x) = 0$일 경우, 이 함수는 연속함수이지만 $x=0$에서 미분값이 존재하지 않는다. 따라서 이 함수는 $C^0$이지만 $C^1$은 아니다.

매끈하지만 해석적이지는 않은 함수

$f(x) = \begin{cases}e^{-1/(1-x^2)} & \mbox{ if } |x| < 1, \\ 0 &\mbox{ otherwise }\end{cases}$

인 함수는 무한 번 미분이 가능하므로 매끈한 함수이다. 하지만 $x = \pm 1$일 때 해석적이지 않고, 따라서 이 함수는 해석함수는 아니다.