조밀집합

조밀집합(Dense Set)이란 해석학에서 부분집합에 대한 분류 중의 하나이다.

정의

집합 T와 S ⊂ T가 있다 하자. T안의 어떤 점 x ⊂ T의 모든 근방 N(x;ϵ), ϵ>0 에서 부분집합 S에 속하는 점을 적어도 하나 이상 찾을 수 있으면 그 때, 부분집합 S를 T안의 조밀집합이라 한다.

예

• 유리수 Q는 실수 R안의 조밀집합이다.
• 자연수 N, 정수 Z는 실수 R안의 조밀집합이 아니다.
• [a,b) ∪ (b,c] 는 [a,c]안의 조밀집합이다.

관련된 정리

집합 S ⊂ Rⁿ이 있다. 그러면 아래는 모두 동치이다.

• S는 Rⁿ안의 조밀집합이다.
• S의 닫힘 cl(S)는 Rⁿ이다. ( cl(s) = Rⁿ )
• S의 여집합 S^c의 모든 점은 S의 극한점이다.