조밀 집합

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일반위상수학에서, 조밀 집합(稠密集合, 영어: dense set)은 어떤 공간을 "조밀하게" 채우는 부분 집합이다.

정의[편집]

위상 공간 X의 부분 집합 D\subseteq X에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 조밀 집합이라고 한다.

  • 임의의 열린 집합 U에 대하여, 만약 U\subseteq X\setminus D라면 U=\varnothing이다.
  • 임의의 닫힌 집합 C에 대하여, 만약 D\subseteq C\subseteq X라면 C=X이다.
  • \operatorname{cl}(D)=X. 여기서 \operatorname{cl}폐포이다.
  • \operatorname{int}(X\setminus D)=X. 여기서 \operatorname{int}내부이다.
  • 모든 x\in Xx의 모든 근방 U\ni x에 대하여, D\cap U\ne\varnothing.
  • X의 모든 점들은 D의 원소이거나 D극한점이다.

성질[편집]

위상 공간 X는 스스로의 조밀 집합이다. 만약 X이산 공간이라면, 조밀 집합은 X 전체밖에 없다.

조밀성은 추이적이다. 즉, 만약 X\subseteq Y\subseteq Z이며, XY의 조밀 집합이고 YZ의 조밀 집합이라면 XZ의 조밀 집합이다.

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  • 유리수의 집합 \mathbb Q는 실수의 집합 \mathbb R 안의 조밀 집합이다.
  • 반면, 자연수의 집합 \mathbb N, 정수의 집합 \mathbb Z\mathbb R의 조밀 집합이 아니다.
  • [a,b) ∪ (b,c] 는 [a,c]안의 조밀 집합이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]