조밀집합

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일반위상수학에서, 주어진 공간의 조밀집합(稠密集合, 영어: dense set)은 그 공간을 "조밀하게" 채우는 부분공간이다.

정의[편집]

위상공간 X의 부분공간 D\subset X가 다음 성질을 만족시킨다고 하자.

  • 모든 x\in X에 대하여, x의 모든 근방 U\ni xD와의 교집합이 비어있지 않다 (D\cap U\ne\varnothing). 다시 말해, X의 모든 점들은 D의 원소이거나 D극한점이다.

이 경우 DX조밀집합이라고 한다.

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  • 유리수의 집합 \mathbb Q는 실수의 집합 \mathbb R 안의 조밀집합이다.
  • 반면, 자연수의 집합 \mathbb N, 정수의 집합 \mathbb Z\mathbb R의 조밀집합이 아니다.
  • [a,b) ∪ (b,c] 는 [a,c]안의 조밀집합이다.

관련된 정리[편집]

집합 S ⊂ Rn이 있다. 그러면 아래는 모두 동치이다.

  • S는 Rn안의 조밀집합이다.
  • S의 닫힘 cl(S)는 Rn이다. ( cl(s) = Rn )
  • S의 여집합 Sc의 모든 점은 S의 극한점이다.