미분 가능 다양체

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미분기하학에서, 미분 가능 다양체(微分可能多樣體, 영어: differentiable manifold)는 미적분학을 전개할 수 있는 구조가 주어진 다양체이다. 미분 가능 다양체 위에서는 함수의 미분적분벡터장이나 미분 형식과 같은 해석학적 대상들을 정의할 수 있다.

정의[편집]

자연수 n\in\mathbb N에 대하여, n차원 다양체 M 위의 좌표근방계(영어: atlas) \Phi는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

이 구조는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

  • \bigcup_{\phi\in\Phi}\operatorname{dom}\phi=M. 즉, \{\operatorname{dom}\phi\}_{\phi\in\Phi}M열린 덮개이다.
  • 임의의 \phi,\psi\in\Phi에 대하여, 만약 \operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi\ne\varnothing이라면, \psi|_{\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi}\circ \phi^{-1}|_{\phi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)}\colon\phi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)\to\psi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)매끈한 함수이다. 이러한 함수를 추이 사상(영어: transition map)이라고 한다.

미분 가능 다양체 (M,\Phi)는 좌표근방계를 갖춘 다양체이다.

만약 추이 사상에 대한 조건을 \mathcal C^k로 약화시킨다면, 이를 \mathcal C^k 다양체라고 한다. 만약 추이 사상에 대한 조건을 해석함수로 강화시킨다면, 이를 해석 다양체(영어: analytic manifold)라고 한다.

같은 다양체 M 위의 두 좌표근방계 \Phi, \Phi'에 대하여, 만약 \Phi\cup\Phi'이 역시 좌표근방계를 이룬다면 두 좌표계가 서로 호환된다고 한다. 이는 동치 관계를 이룬다. 또한, M 위의 모든 좌표근방계들의 집합은 포함 관계 \subseteq에 대하여 부분 순서 집합을 이루며, 이에 대한 극대 원소극대 좌표근방계(영어: maximal atlas)라고 한다. 임의의 좌표근방계 \Phi에 대하여 \Phi\subseteq\Phi'인 극대 좌표근방계 \Phi'이 항상 유일하게 존재한다. 서로 호환되는 두 좌표근방계는 미분동형 미분 가능 다양체를 정의한다.

두 미분 가능 다양체 사이의 매끈한 함수 f\colon(M,\Phi)\to(N,\Phi)는 다음 조건을 만족시키는 연속 함수이다.

  • 임의의 \phi\in\Phi\psi\in\Psi에 대하여, 만약 f(\operatorname{dom}\phi)\cap\operatorname{dom}\psi\ne\varnothing이라면, \psi|_{\operatorname{dom}\psi\cap f(\operatorname{dom}\phi)}\circ\phi^{-1}|_{\phi(\operatorname{dom}\phi\cap f^{-1}(\operatorname{dom}\psi))}\colon\phi(\operatorname{dom}\phi\cap f^{-1}(\operatorname{dom}\psi))\to\chi(\operatorname{dom}\chi)는 (유클리드 공간 사이의) 매끈한 함수이다.

\mathcal C^k 다양체 사이의 \mathcal C^k 함수 역시 마찬가지로 정의한다. 미분 가능 다양체와 매끈한 함수의 범주\operatorname{Diff}라고 쓴다. 이 범주에서의 동형사상미분동형사상이라고 한다.

성질[편집]

\mathcal C^k 다양체의 범주는 미분 가능 다양체의 범주와 동치이다. 다양체 M 위의 임의의 \mathcal C^k 좌표근방계 \Phi에 대하여, 이와 \mathcal C^k-호환되는 유일한 (매끈한) 극대 좌표근방계 \Phi_\infty가 항상 유일하게 존재한다. 이 사실은 해슬러 휘트니가 증명하였다. 따라서, \mathcal C^k 다양체들은 보통 직접적으로 다룰 필요가 없다.

범주론적 성질[편집]

미분 가능 다양체의 범주 \operatorname{Diff}는 유한 을 가지며, 다양체의 범주로의 망각 함자 \operatorname{Diff}\to\operatorname{TopMfd}는 곱을 보존한다. 구체적으로, 다양체 (M,\Phi)(N,\Psi)의 곱 (M\times N,\Phi\times\Psi)는 다음과 같다.

M\times N\dim M+\dim N차원 미분 가능 다양체이다. 그러나 두 미분 가능 다양체 사이의 함수 공간은 무한 차원의 공간이므로 다양체가 아니며, 따라서 미분 다양체의 범주는 데카르트 닫힌 범주가 아니다.

미분 가능 구조의 존재와 유일성[편집]

3차원 이하의 차원의 다양체는 항상 유일한 극대 좌표근방계를 갖는다. 4차원 이상의 차원에서는 좌표근방계가 존재할 수 없는 다양체도 존재하고, 또 서로 다른 두 극대 좌표근방계를 갖는 다양체도 존재한다.

분류[편집]

0차원 미분 가능 다양체 S이산 공간이다. 이 위에는 유일한 극대 좌표근방계가 존재하며, 구체적으로 S의 임의의 부분 집합에서 \mathbb R^0=\{0\}으로 가는 모든 함수들의 집합이다.

1차원 미분 가능 다양체의 각 연결 성분은 원 S^1 또는 실수선 \mathbb R이다.

2차원 미분 가능 다양체의 분류는 매우 복잡하지만, 콤팩트 2차원 미분 가능 다양체들은 그 오일러 지표에 따라 간단히 분류된다.

3차원 콤팩트 미분 가능 다양체는 기하화 추측에 따라 분류된다. 4차원의 경우, 콤팩트 다양체들은 모두 분류되었지만, 이들 위의 미분 가능 구조들의 분류는 미해결 난제이다. 5차원 이상의 미분 가능 다양체들은 수술 이론을 사용하여 분류된다.

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유클리드 공간 \mathbb R^n열린 집합 U\subseteq\mathbb R^n에, 하나의 포함 함수로만 구성된 다음과 같은 좌표근방계를 부여하자.

  • \{\iota_U\colon U\hookrightarrow\mathbb R^n\}

이는 좌표근방계를 이루며, 이를 부여하면 Un차원 미분 가능 다양체를 이룬다.

초구 S^n원환면 T^n 등 역시 미분 가능 다양체의 예이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]