기하화 추측

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기하화 추측(영어: geometrization conjecture)은 모든 콤팩트한 3차원 다양체의 부분다양체가 각각 기초적인 기하학적 구조들 중 하나로 해석된다는 정리이다. 이는 2차원 다양체에 대한 앙리 푸앵카레균일화 정리에 대응하며, 또한 푸앵카레 추측을 포함하는 서스턴의 타원화 추측의 모든 3차원 다양체에 대한 일반화이다. 이 추측은 윌리엄 서스턴의 1982년 논문에서 제기되었다. 서스턴은 자신의 추측을 쌍곡 기하학을 갖는 하켄 다양체(H3)에 한정해 증명한 공로로 필즈 상을 받았다 (1983). 흔히 푸앵카레 추측의 증명으로 알려진 그리고리 페렐만의 2003년 논문과 보충 논문은 실제로 기하화 추측 전반을 증명하는데, 페렐만은 2차원의 리만 계량 텐서로 얻는 리치 흐름 텐서를 변형하였다. 이 방법은 윌리엄 로언 해밀턴이 1981년 논문에서 제기하고 1988년에 2차원에 적용하여 균일화 정리를 증명한 방식과 같았다.

서스턴 기하[편집]

서스턴은 닫힌 3차원 다양체의 기하 모델을 구조에 따라 아래와 같이 8가지로 분류하였다. 이를 서스턴 기하(영어: Thurston geometry)라고 한다.

  • 3차원 구면 기하 (S3 기하)
  • 3차원 유클리드 기하 (E3 기하)
  • 3차원 쌍곡면 기하 (H3 기하)
  • 2차원 구면기둥 기하 (S2×R 기하)
  • 2차원 쌍곡면기둥 기하 (H2×R 기하)
  • 복소 단위 곡면(SL2(R)) 전피복공간 기하
  • 닐 기하 (E2 덮개군 기하)
  • 솔 기하 (R2 덮개군 기하)