확률론에서 파인먼-카츠 공식(Feynman-Kac公式, 영어: Feynman–Kac formula)은 확률 미분 방정식과 편미분 방정식이 어떤 관계를 맺고 있는지를 나타낸 공식이다. 이 공식을 통해 특정 확률 미분 방정식을 만족시키는 확률 과정을 찾기 위해서 어떤 편미분 방정식을 풀어야 하는지를 알 수 있으며, 따라서 이 공식은 금융공학에서 어떤 자산이 이토 확률 과정을 따르는 것으로 가정했을 때 이 자산을 기초자산으로 하는 파생상품의 가격을 어떻게 구해야 하는지에 대한 해답을 찾기 위한 도구로 유용하게 쓰이고 있다.
파인먼-카츠 공식의 기본적인 근거는 어떤 함수
가 마팅게일일 경우 미분 계수
에서 시간
에 대한 변화율을 나타내는 항인
가 반드시 0이라는 데 있다. 따라서 만약
를 0으로 만들 수 있는 편미분 방정식을 찾을 수 있다면 이를 풀이함으로써
를 발견할 수 있다는 것이 파인먼-카츠 공식의 핵심적인 내용이다. 이 공식은 초기 조건
가 주어진 이토 확률 과정
에 대한 보렐 가측 함수
가 시점
에 갖는 값에 대한 시점
의 기댓값
가 마팅게일임을 이용하여
를 찾아내기 위해서 풀어야 할 편미분 방정식과 풀이에 필요한 최종 조건을 밝혀낸다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 확률 공간
![{\displaystyle \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
- 유클리드 공간
. 그 벡터 지표를
로 나타내자 (
).
위의 위너 확률 과정 ![{\displaystyle W^{j}\colon \Omega \times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66bbfc7d9f9d9a50203747ac0a6d3d66c9f70e98)
에 대한 이토 확률 과정 ![{\displaystyle \mathrm {d} X^{i}(t)=\mu ^{i}(X(t),t)\,\mathrm {d} t+\sigma ^{i}{}_{j}(X(t),t)\,\mathrm {d} W^{j}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb7520dde5c970dcb21f662b1be81d9c6253d82)
- 보렐 가측 함수
![{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6991fd928a18a993d719e93137af6240a9b6545a)
- 보렐 가측 함수
![{\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71aa7a6bf9a0d9c3f9772ab61e1ed38312319a80)
- 보렐 가측 함수
. 이는 퍼텐셜에 해당한다.
이제, 다음과 같은 확률 과정을 정의하자.
![{\displaystyle G\colon \Omega \times [0,T]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8568a2ff702887fa6b9b36c41b608ad89c248ef)
![{\displaystyle G(t)=f(X(T))\exp \left(-\int _{t}^{T}V(X(s),s)\,\mathrm {d} s\right)+\int _{t}^{T}\mathrm {d} s\,h(X(s),s)\exp \left(-\int _{t}^{s}\mathrm {d} r\,V(X(r),r)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c1a87592ffcddcfda71b650d03483fe65e6cb15)
특히,
![{\displaystyle G(T)=f(X(T))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e1ac8cde2295c6e085666ff555091a652966c4)
이다.
이제, 그 조건부 기댓값을 정의하자.
![{\displaystyle g(x,t)=\mathbb {E} \left[G(t)|X(t)=x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0278c8eb5fefbff98c2333a467386bb352c27784)
이 함수가 유계 함수라고 하자. 특히,
![{\displaystyle g(x,T)=\mathbb {E} [f(X(T))|X(T)=x]=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7212fb0f787f85d1cbfd9170c7dcd114c17b4f32)
이다.
그렇다면, 이는 다음 2차 선형 비동차 편미분 방정식을 만족시킨다.
![{\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{j}\mu ^{j}(x,t){\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j,k}\sigma ^{i}{}_{k}(x,t)\sigma ^{j}{}_{k}(x,t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-V(x,t)\right)g(x,t)+h(x,t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7cb91bf7bf04a358f1e5831b291d754130261d)
아인슈타인 표기법으로 합 기호를 생략하면, 이는 다음과 같다.
![{\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mu ^{j}(x,t)\partial _{j}+{\frac {1}{2}}\delta ^{kl}\sigma ^{i}{}_{k}(x,t)\sigma ^{j}{}_{l}(x,t)\partial _{i}\partial _{j}-V(x,t)\right)g(x,t)+h(x,t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600be81a1dc1a390c78b16d883a173014ad96664)
특히, 만약
인 경우
는 시간에 의존하지 않는 확률 과정, 즉 확률 변수가 된다.
![{\displaystyle G_{t}=f(X(T))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e538d56d9e6f617d2b2176631cf2ba583b8e370a)
이 경우
![{\displaystyle g(x,t)=\mathbb {E} \left[f(X(T))|X(t)=x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90fa23ec2acb284bb8e417724161e018b62c934)
이다.
리만 다양체의 경우, 다음과 같은 파인먼-카츠 공식이 존재한다.[1] 다음이 주어졌다고 하자.
차원 연결 리만 다양체
. 그 벡터 지표를
로 나타내자 (
)
- 점
(초기 조건)
- 양의 실수
(최종 시각)
그렇다면, 초기 조건이
인 연속 함수로 구성된 바나흐 공간
![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{x_{0}}^{0}([0,T],M)=\{f\in {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],M)\colon f(0)=x_{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eab03c65c5ea0cb7eaf462995c8125dc86e0c86)
을 생각하자. 그 속에 소볼레프 공간인 캐머런-마틴 공간
![{\displaystyle \operatorname {W} _{x_{0}}^{1,2}([0,T],M,g)=\left\{f\in {\mathcal {C}}_{x_{0}}^{0}([0,T],M)\colon \int _{0}^{T}g_{f(t)}({\dot {f}}(t),{\dot {f}}(t))\,\mathrm {d} t<\infty \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe65e2d68e2147b71b4574213f3a893b63de97e)
을 부여하면, 이는 위너 공간을 이룬다. 즉,
위에, 열핵으로 유도되는 위너 확률 측도
가 존재한다.
또한, 임의의
(최종 조건)에 대하여, 마찬가지로
![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{x_{0},x_{T}}^{0}([0,T],M)=\{f\in {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],M)\colon f(0)=x_{0},f(T)=x_{T}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda6b7ad42bd3f06c2a441fb4d43587aee1a790b)
를 생각하자. 이 경우도 마찬가지로 캐머런-마틴 공간
![{\displaystyle \operatorname {W} _{x_{0},x_{T}}^{1,2}([0,T],M,g)=\operatorname {W} _{x_{0}}^{1,2}([0,T],M,g)\cap \operatorname {C} ^{0}{x_{0},x_{T}}([0,T],M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2a63dfd46912569779e1c4ebcdd336a6c473714)
을 통하여 위너 공간을 이루며, 이는
위의 확률 측도의 조건부 확률이다.
이제, 다음이 주어졌다고 하자.
(퍼텐셜 함수)
(초기 조건)
그렇다면, 실수 힐베르트 공간
![{\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(M;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f27b3f8257a57771a76001555a6a9f0ee02193)
위에 자기 수반 작용소인 해밀토니언 연산자
![{\displaystyle H=\nabla +V=-g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}+V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecdb213b166ecee3b768e7624ae0d9f765c0ed78)
를 정의할 수 있다. (라플라스-벨트라미 연산자
는 음이 아닌 스펙트럼을 가지므로,
전체로 유일한 프리드릭스 확장(영어: Friedrichs extension)을 갖는다.)
이제, 이에 대한 열 방정식
![{\displaystyle \partial _{t}\psi (t,x)=-H\psi (t,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd47c83fe2e272ef92266180b4c539270cc7ce3c)
![{\displaystyle \psi (0,x)=\psi _{0}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d555e9fcb8b447eb1cc8e51a58ee577c0d974773)
을 생각할 수 있다. (해석학적 이유로 인하여, 복소수 힐베르트 공간 대신 실수 힐베르트 공간, 슈뢰딩거 방정식 대신 열 방정식을 사용하였다. 물리학에서 이는 시간의 윅 회전에 해당한다.) 힐베르트 공간의 이론으로 인하여, 이는 항상 유일한 해
![{\displaystyle \psi (t,x)=\exp(-tH)\psi _{0}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea7bac40cc214849d102c4a24ad07a03510860f)
를 갖는다. 브라-켓 표기법으로 이는
![{\displaystyle |\psi \rangle (t)=\exp(-tH)|\psi _{0}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f924e7185e77fb11aae0aadcdf18f48a7447f7)
![{\displaystyle \langle x|\psi \rangle (t)=\langle x|\exp(-tH)|\psi _{0}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecdef3f947f98be96614b18b25a26d127eea8243)
이다.
파인먼-카츠 공식에 따르면, 이 방정식의 해는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.
![{\displaystyle \psi (T,x_{0})=\int _{{\mathcal {C}}_{x_{0}}^{0}([0,T],M)}\psi _{0}(x_{0})\exp \left(-\int _{0}^{T}V(f(t))\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} W_{x_{0}}(f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2878a0262f47aad50f316d62d74126bdcf31bfa1)
편의상
,
인 경우만을 생각하자.
의 마팅게일 특성
[편집]
만약 시점
가 주어졌을 경우, 시점
와
에
가 갖는 기댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle \mathbb {E} [f(X(T))\vert {\mathcal {F}}(s)]=g(X(s),s),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8ac45304cc8c1923443ff041d46ce67855089b)
![{\displaystyle \mathbb {E} [f(X(T))\vert {\mathcal {F}}(t)]=g(X(t),t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ce5068a7a4bb37317be01ab6b8efb6fc9565f0)
이 두 식과 반복 조건(iterated condition)의 법칙을 활용해 시점
에
가 갖는 기댓값을 다음과 같이 정리할 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} [g(X(T),t))\vert {\mathcal {F}}(s)]&=\mathbb {E} [\,\mathbb {E} [f(X(T))\vert {\mathcal {F}}(t)]\,\vert {\mathcal {F}}(s)]\\&=\mathbb {E} [f(X(T))\vert {\mathcal {F}}(s)]=g(X(s),s)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5caa953ba1cec4a3bb0fa6e7f77da5e7ddfd435b)
따라서
는 마팅게일이다.
이토 확률 과정
에 대한 확률 미분 방정식의 해를
라고 하자.
가 마팅게일이므로 미분 계수
에서 시간
에 대한 변화율을 나타내는 항인
는 반드시 0이다. 미분 계수
를 정리하면 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} g(X(t),t)&={\frac {\partial }{\partial t}}g(X(t),t)dt+{\frac {\partial }{\partial x}}g(X(t),t)dX+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}g(X(t),t)\mathrm {d} X\,\mathrm {d} X\\&={\frac {\partial }{\partial t}}g(X(t),t)\,\mathrm {d} t+\mu {\frac {\partial }{\partial x}}g(X(t),t)\,\mathrm {d} t+\sigma {\frac {\partial }{\partial X}}g(X(t),t)\,\mathrm {d} W(t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}g(X(t),t)\,\mathrm {d} t\\&=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}g(X(t),t)+\mu {\frac {\partial }{\partial x}}g(X(t),t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}g(X(t),t)\right]\,\mathrm {d} t+\sigma {\frac {\partial }{\partial x}}g(X(t),t)\,\mathrm {d} W(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7ee134b16145165787be5354ad15742fc83a26)
따라서 항
의 계수를 분리해 내면 다음과 같이 모든
에 대해
가 만족시키는 편미분 방정식을 구할 수 있다.
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}g(x,t)+\mu {\frac {\partial }{\partial x}}g(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}g(x,t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939280f73509ebcc6df446cbc6e014f83a28290b)
리처드 파인먼과 마레크 카츠(폴란드어: Marek Kac, 영어: Mark Kac, 1914〜1984)의 이름을 땄다.
파인먼은 이 공식을 양자역학의 경로 적분을 정의하기 위하여 유도하였으나, 엄밀하게 증명하지 않았다. 마레크 카츠가 이 공식의 엄밀한 증명을 1949년에 출판하였다.[2]
- ↑ Bär, Christian; Pfäffle, Frank. “Wiener measures on Riemannian manifolds and the Feynman–Kac formula” (영어). arXiv:1108.5082.
- ↑ Kac, Mark (1949). “On distributions of certain Wiener functionals”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 65 (1): 1–13. doi:10.2307/1990512. JSTOR 1990512. MR 27960.