위너 확률 과정

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3차원 위너 과정

확률 과정 이론에서, 위너 확률 과정(Wiener確率過程, 영어: Wiener stochastic process) 또는 위너 과정(Wiener過程)은 시간차 의 증분의 확률 분포가 평균 0, 분산 정규 분포를 이루며, 각 증분이 서로 독립이며, 그 궤적이 거의 확실하게 연속적인 연속 시간 확률 과정이다.

정의[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

확률 과정

이 다음 조건들을 만족시킨다면, 위너 확률 과정(영어: Wiener stochastic process)이라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 확률 변수 확률 분포는 평균이 0이며 분산정규 분포 이다.
  • (초기 조건) . 즉, 거의 확실하게 이다.
  • 임의의 에 대하여, 는 서로 독립이다.
  • . 즉, 거의 확실하게 연속 함수 를 이룬다. 다시 말해,
    • 임의의 및 임의의 및 임의의 에 대하여, 이 되게 하는 양의 실수 가 존재한다.

연산[편집]

1차원 위너 확률 과정의 자기 유사성

위너 확률 과정 이 주어졌을 때, 확률 과정

역시 위너 확률 과정을 이룬다. 즉, 그 그래프는 일종의 프랙털을 이룬다.

유클리드 공간 값의 위너 확률 과정이라고 하자. 그렇다면, 임의의 부분 벡터 공간 에 대하여, 역시 값의 위너 확률 과정이다.

임의의 직교 행렬 값의 위너 확률 과정 에 대하여, 역시 값의 위너 확률 과정이다.

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다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 임의의 에 대하여, 급수

는 (거리 위상에서) 수렴한다. (여기서 는 폐구간의 지시 함수이다.) 이는 위너 확률 과정의 정의를 거의 확실한 연속성만을 제외하고 모두 만족시킨다.

만약 정규 직교 기저

로 잡는다면, 위 급수가 에 대하여 균등 수렴하는 것을 보일 수 있으며, 이 경우 이 급수는 위너 확률 과정을 이룬다.

역사[편집]

노버트 위너의 이름을 땄다.

외부 링크[편집]