이토의 보조정리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

이토의 보조정리(Itō's lemma)는 특정한 형태를 갖는 확률과정의 도함수를 찾는 데 쓰이는 추계해석학의 주요 방법론 중 하나로, 이를 고안한 일본의 수학자 이토 키요시의 이름을 따 명명하였다. 일반미적분학연쇄법칙에 상응하며 테일러 급수전개에서 이차항에 해당하는 부분을 확률과정의 특성에 맞게 수정한 것이다. 금융공학에서 블랙-숄즈 방정식과 같은 주요한 이론을 이끌어내는 도구로 쓰이며, 최근에는 이 정리를 발전시키는 데 기여한 수학자 되블린의 업적을 기려 이토-되블린 정리(Itō–Doeblin Theorem)라 부르기도 한다.

내용[편집]

단순 위너과정[편집]

위너과정 W_{t}에 대한 실수함수 f(W_{t})가 2차미분이 가능할 경우 도함수 df(W_{t})를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

df(W_t) = f'(W_t)dW_t + \frac{1}{2} f''(W_t)dt

이토 확률과정[편집]

시간 t와 위너과정 W_{t}로 이루어진 이토 확률과정 X_{t}=\mu_{t}dt+\sigma_{t}dW_{t}에 대한 실수함수 f(t,X_{t})X_{t}에 대해 2차편미분이 가능할 경우 도함수 df(t,X_{t})를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

df(t,X_t) =\left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu_t \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\sigma_t^2}{2}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\right)dt+ \sigma_t \frac{\partial f}{\partial x}\,dX_t

따라서 f(t,X_t) 역시 이토 확률과정이다.