이토 확률 과정

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확률론에서, 이토 확률 과정([伊藤]確率過程, 영어: Itō stochastic process)은 위너 과정이토 적분으로 정의되는 확률 과정이다.

정의[편집]

확률 공간 위의 위너 확률 과정

이 주어졌다고 하자. 위와 여과 확률 공간

자연 여과 확률 공간의 오른쪽 연속 완비화라고 하자.

에 대한 이토 확률 과정은 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있는 확률 과정

이다.

여기서

  • 이토 적분 가능 확률 과정이다.
  • 에 대한 순응 확률 과정이다.
  • 독립확률 변수이다.
  • 이토 적분이다.

흔히, 이토 확률 과정의 분해는 상수항 을 생략하고

와 같이 표기된다.

다양체 위의 이토 확률 과정[편집]

보다 일반적으로, 매끄러운 다양체 위의 이토 과정을 생각할 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 값의 이토 확률 과정은 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있는 확률 과정

이다. (미분 기하학에서 첨자를 널리 사용하므로, 편의상 시간을 첨자 대신 괄호로 표기하였다.)

여기서

  • 이토 적분 가능 확률 과정이다.
  • 에 대한 순응 확률 과정이다.
  • 독립인, 값의 확률 변수이다.
  • 위의 개의 벡터장이다. 즉, 이다.
  • 매끄러운 다양체접다발의 지표는 로, 유클리드 공간의 지표는 로 표기하였다.

성질[편집]

이토 보조 정리[편집]

이토 적분에서, 변수의 변환은 일반적으로 추가 항을 갖는다. 즉, 통상적인 연쇄법칙이 성립하지 않으며, 위너 확률 과정의 스스로와의 상관 현상에 의한 추가 항이 등장한다. 이를 이토 보조 정리([伊藤]補助定理, 영어: Itō’s lemma) 또는 이토-되블린 정리(영어: Itō–Döblin theorem)라고 한다.

다음이 주어졌다고 하자.

  • 확률 공간
  • 위의 위너 확률 과정
  • 에 대한 이토 확률 과정
  • 함수 , . 또한, 이 함수가 첫째 변수에 대하여 (연속 미분 가능) 함수이며, 둘쨰 변수에 대하여 (2차 연속 미분 가능) 함수라고 하자.

그렇다면, 이토 보조 정리에 따르면,

는 역시 이토 확률 과정을 이루며, 또한 그 분해는 다음과 같다.

미분 표기법으로는 이토 보조 정리는 다음과 같이 표기된다.

여기서 마지막 항은 비(非)확률 미적분학의 연쇄법칙에 등장하지 않는 것이다.

특히, 만약 이며, 에 직접 의존하지 않는다면, 이토 보조 정리는 다음과 같이 된다.

무한소 생성원[편집]

유클리드 공간 위의 이토 과정 의, 시간 에서의 무한소 생성원은 다음과 같은 2차 미분 연산자의 족 이다.

이는 다음과 같은 꼴임을 보일 수 있다.

이 경우,

와 같은 편미분 방정식포커르-플랑크 방정식이라고 한다. 이토 과정의 확률 분포 함수

는 이 편미분 방정식을 따른다.

외부 링크[편집]