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티호노프 공간

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일반위상수학에서 티호노프 공간(Тихонов空間, 영어: Tychonoff space) 또는 T 공간(영어: T space)은 점과 닫힌집합연속 함수로 분리할 수 있는 하우스도르프 공간이며, 이는 콤팩트 하우스도르프 공간부분 공간인 조건과 동치이다.

정의

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위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 완비 정칙 공간(完備正則空間, 영어: completely regular space)이라고 한다.

  • (점과 닫힌집합의 실함수를 통한 분리) 임의의 닫힌집합 에 대하여, 이며 연속 함수 이 존재한다.[1]:231
  • 의 위상은 어떤 연속 함수들의 집합 에 대한 시작 위상이다.[2]:40, Theorem 3.6–3.7[3]:48, Exercise 1.5.E, (a)
  • 의 위상은 연속 함수의 집합 에 대한 시작 위상이다.[2]:40, Theorem 3.6
  • 의 위상은 유계 연속 함수의 집합 에 대한 시작 위상이다.[2]:40, Theorem 3.6
  • (균등화 가능성 영어: uniformizability) 위에 그 위상과 호환되는 균등 공간 구조가 존재한다.

위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 티호노프 공간이라고 한다.

성질

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다음과 같은 포함 관계가 성립한다.[1]:231–232

정규 하우스도르프 공간(T4) ⊊ 티호노프 공간(T) ⊊ (정칙 하우스도르프 공간(T3) ∩ 완비 하우스도르프 공간)

완비 정칙 공간의 부분 공간은 완비 정칙 공간이다. 완비 정칙 공간의 임의 개수 곱공간은 완비 정칙 공간이다.[4]:141[5]:211 하우스도르프 공간부분 공간곱공간하우스도르프 공간이므로, 티호노프 공간의 부분 공간과 임의 개수 곱공간 역시 티호노프 공간이다.

증명:

완비 정칙 공간 와 그 부분 공간 가 주어졌다고 하자. 닫힌집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 닫힌집합 가 존재하며, 이에 대하여 , 연속 함수 이 존재한다. 라고 하자. 그렇다면 연속 함수이며, 을 만족시킨다.

완비 정칙 공간들의 집합 가 주어졌다고 하자. 곱공간 닫힌집합 가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 열린 근방 를 취하자.

그렇다면 각 에 대하여, , 연속 함수 이 존재한다.

라고 하자. 그렇다면 연속 함수이며, 을 만족시킨다.

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티호노프 공간이 아닌 정칙 완비 하우스도르프 공간

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티호노프 공간이 아닌 정칙 (완비) 하우스도르프 공간의 구성은 복잡한 편이다. 한 가지 간단한 구성은 다음과 같다. 집합

위에 각 점이 다음과 같은 국소 기저를 갖는 위상을 주자.

  • 모든 고립점이다 (즉, 열린 근방이다).
  • 유한 집합 에 대하여, 열린 근방이다.
  • 에 대하여, 열린 근방이다.

그렇다면, 하우스도르프 공간이며, 완비 하우스도르프 공간이며, 정칙 공간이지만, 티호노프 공간이 아니다.[6][3]:40, Example 1.5.9

증명:

하우스도르프 공간임은 정의에 따라 쉽게 확인할 수 있다. 완비 하우스도르프 조건을 확인하기 위해, 서로 다른 두 점 가 주어졌다고 하자. 편의상 이라고 하자. 하우스도르프 조건에 따라, 의 서로소 국소 기저 원소라고 하자. 그렇다면, 열린닫힌집합이다. 따라서, 지시 함수 연속 함수이며, 을 분리한다.

이제, 의 정칙성을 확인하자. 의 국소 기저 원소들은 열린닫힌집합이므로, 임의의 는 이를 포함하지 않는 닫힌집합과 서로소 근방을 통해 분리된다. 따라서, 인 임의의 닫힌집합 를 서로소 근방으로 분리하는 것으로 충분하다.

을 취하자. 그렇다면

는 각각 열린 근방이며, 이다.

이제, 가 티호노프 공간이 아님을 보이자. 닫힌집합이며, 이다. 연속 함수 가 항상 을 만족시킴을 보이는 것으로 충분하다. 각 에 대하여 무한 집합임을 보이는 것으로 충분하다. 수학적 귀납법을 사용하여, 가산 무한 집합 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,

는 가산 개의 유한 집합의 합집합이므로 가산 집합이다. 가산 집합이므로,

가산 집합이며, 무한 집합이다. 임의의 에 대하여, 의 교점은 에 속한다. 무한 집합이므로, 의 모든 근방은 의 점을 포함한다. 에서의 연속성에 따라 이다. 즉, 이며, 무한 집합이다.

정규 공간이 아닌 티호노프 공간

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니미츠키 평면(영어: Niemytzki plane)은 닫힌 상반평면 위에, 그 통상적인 열린집합들과 다음과 같은 꼴의 집합들을 기저로 하는 위상을 부여한 위상 공간이다.

즉, 추가된 열린집합들은 상반평면의 경계선에 접하는 (통상적인 거리 함수에 대한) 열린 원판과 그 접점의 합집합들이다.

니미츠키 평면은 티호노프 공간이며, 모든 닫힌집합Gδ 집합이지만, 정규 공간이 아니다.[7]:101, 82.2–82.3[3]:41, Example 1.5.10; 48, Exercise 1.5.H, (a)

증명:

니미츠키 평면이 하우스도르프 공간임은 쉽게 확인할 수 있다. 완비 정칙 조건을 확인하자. 위상 공간부분 기저 가 주어졌을 때, 완비 정칙 조건은 임의의 에 대하여, 의 여집합이 실함수를 통해 분리되는 것과 동치이다. 는 통상적인 위상을 주었을 때 티호노프 공간이며, 니미츠키 평면의 위상은 통상적인 위상보다 섬세하므로, 모든 통상적인 열린집합의 점과 그 여집합은 실함수를 통해 분리된다. 임의의 에 대하여, 이 실함수를 통해 분리되므로, 역시 같은 실함수를 통해 분리된다. 따라서, 임의의 에 대하여,

연속 함수

를 찾으면 충분하다. 편의상 이라고 하자. 그렇다면,

는 원하는 조건을 만족시킨다.

이제, 니미츠키 평면의 열린집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 열린집합이며, 따라서 가산 개의 (통상적 거리 함수에 대한) 열린 공들의 합집합이다. 각 열린 공은 가산 개의 닫힌 공들의 합집합이며, 닫힌 공은 니미츠키 평면의 닫힌집합이므로, Fσ 집합이다. 의 모든 부분 집합은 니미츠키 평면의 닫힌집합이며, 특히 닫힌집합이다. 따라서 Fσ 집합이다.

이제, 니미츠키 평면이 정규 공간이 아님을 증명하자. 귀류법을 사용하여, 니미츠키 평면이 정규 공간이 아니라고 가정하자. 임의의 가 주어졌다고 하자. 는 모두 닫힌집합이므로, 서로소 열린 근방 를 갖는다. 함수

를 생각하자. 이며 이라고 하자. 그렇다면, 이며, 조밀 집합이므로,

이다. 이에 따라, 위 함수는 단사 함수이며,

이다. 이는 모순이다.

역사

[편집]

안드레이 니콜라예비치 티호노프의 이름이 붙어 있다.

같이 보기

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각주

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  1. 유정옥 (2013). 《알기쉬운 위상수학》 2판. 교우사. ISBN 978-89-8172-528-0. 
  2. Gillman, Leonard; Jerison, Meyer (1976). 《Rings of continuous functions》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 43 Reprint ofe 1960 Van Nora판. New York - Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4615-7819-2. ISBN 978-0-387-90198-5. MR 0407579. Zbl 0327.46040. 
  3. Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 6 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001. 
  4. James, I. M. (1987). 《Topological and Uniform Spaces》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어). New York, NY: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4716-6. ISBN 978-1-4612-9128-2. ISSN 0172-6056. Zbl 0625.54001. 
  5. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  6. Mysior, A. (1981). “A regular space which is not completely regular”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 81 (4): 652–653. doi:10.2307/2044178. ISSN 0002-9939. MR 0601748. Zbl 0451.54019. 
  7. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978) [1970]. 《Counterexamples in Topology》 (영어) 2판. New York, NY: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001. 

외부 링크

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