아핀 평면 의 원점의 부풀리기. 회색 직선들은 아핀 평면의 원점을 지나는 직선들이며, 붉은 직선은 부풀리기로 추가된 예외적 곡선이다.
대수기하학 에서 부풀리기 (blowup )는 대수다양체 나 스킴 의 특이점 을 해소하기 위하여 특이점을 특이점에 대한 사영 접평면 으로 대체하는 과정이다.[ 1] [ 2] [ 3]
스킴
X
{\displaystyle X}
위의 준연접 아이디얼 층
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
가 있다고 하자. 그렇다면,
X
{\displaystyle X}
의
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
에서의 부풀리기 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
스킴
Bl
I
X
{\displaystyle \operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}
스킴 사상
π
:
Bl
I
X
→
X
{\displaystyle \pi \colon \operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X\to X}
. 또한,
π
−
1
I
{\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}}
는
Bl
I
X
{\displaystyle \operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}
위의 가역층 이다. 이에 대응되는 유효 카르티에 인자 를
Bl
I
X
{\displaystyle \operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}
의 예외 인자 (例外因子, 영어 : exceptional divisor )라고 한다. 만약 이 카르티에 인자 가 베유 인자 일 경우, 이는
Bl
I
X
{\displaystyle \operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}
의 특별한 부분 스킴으로 간주할 수 있다.
이는 다음 보편 성질 을 만족시켜야 한다.
임의의 스킴
Y
{\displaystyle Y}
및 스킴 사상
ϖ
:
Y
→
X
{\displaystyle \varpi \colon Y\to X}
에 대하여, 만약
ϖ
−
1
I
{\displaystyle \varpi ^{-1}{\mathcal {I}}}
가
Y
{\displaystyle Y}
위의 가역층 이라면,
ϖ
=
π
∘
f
{\displaystyle \varpi =\pi \circ f}
가 되는 스킴 사상
f
:
Y
→
Bl
I
X
{\displaystyle f\colon Y\to \operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}
가 유일하게 존재한다.
이는 보편 성질에 의하여 정의되므로, 부풀리기는 만약 존재한다면 (유일한 동형 사상 아래) 유일하다.
스킴
X
{\displaystyle X}
위의 준연접 아이디얼 층
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
가 있다고 하자. 그렇다면,
X
{\displaystyle X}
위의 가환 등급환 의 층
⨁
n
=
0
∞
I
n
=
O
X
⊕
I
⊕
I
2
⊕
⋯
{\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}={\mathcal {O}}_{X}\oplus {\mathcal {I}}\oplus {\mathcal {I}}^{2}\oplus \dotsb }
을 정의할 수 있다.
이 경우, 이에 대한 상대 사영 스펙트럼 (영어 : relative Proj construction )을 취할 수 있다.
Bl
I
X
=
P
r
o
j
_
⨁
n
=
0
∞
I
n
{\displaystyle \operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X=\operatorname {\underline {Proj}} \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}
이는 정의에 따라 표준적인 스킴 사상
π
X
:
Bl
I
X
→
X
{\displaystyle \pi _{X}\colon \operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X\to X}
을 갖는다. 이를
X
{\displaystyle X}
의
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
에서의 부풀리기 라고 한다. 이 구성이 추상적 정의의 보편 성질 을 충족시킴을 보일 수 있다.
이 스킴 사상 은
X
∖
supp
I
{\displaystyle X\setminus \operatorname {supp} {\mathcal {I}}}
에서 동형 사상 이다. 이 경우 아이디얼 층
⨁
n
=
1
∞
I
n
{\displaystyle \bigoplus _{n=1}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}
으로 정의되는 카르티에 인자 를 예외 인자 라고 한다.
X
{\displaystyle X}
가 국소 뇌터 스킴 이며,
Y
↪
X
{\displaystyle Y\hookrightarrow X}
와
Z
↪
X
{\displaystyle Z\hookrightarrow X}
가 닫힌 몰입 이라고 하자. (즉, 이들은 준연접 아이디얼 층 으로 정의된다.) 그렇다면, 부풀리기
π
X
:
Bl
Z
X
→
X
{\displaystyle \pi _{X}\colon \operatorname {Bl} _{Z}X\to X}
를 정의할 수 있다. 이 경우,
Y
{\displaystyle Y}
의 부풀리기는 다음과 같다.
Bl
Y
∩
Z
X
=
cl
Bl
Z
X
(
π
−
1
(
Y
∖
Z
)
)
{\displaystyle \operatorname {Bl} _{Y\cap Z}X=\operatorname {cl} _{\operatorname {Bl} _{Z}X}(\pi ^{-1}(Y\setminus Z))}
A
K
n
{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{n}}
이 체
K
{\displaystyle K}
에 대한
n
{\displaystyle n}
차원 아핀 공간 이라고 하고,
P
n
−
1
{\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}
이 같은 체에 대한
n
−
1
{\displaystyle n-1}
차원 사영 공간 이라고 하자.
A
n
{\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}
의 좌표를
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
이라고 하고,
P
n
−
1
{\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}
의 동차좌표 를
y
1
,
…
,
y
n
{\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}
이라고 하자.
원점
0
∈
A
K
n
{\displaystyle 0\in \mathbb {A} _{K}^{n}}
에 대한 부풀리기
Bl
0
A
K
n
⊆
A
K
n
×
P
K
n
−
1
{\displaystyle \operatorname {Bl} _{0}\mathbb {A} _{K}^{n}\subseteq \mathbb {A} _{K}^{n}\times \mathbb {P} _{K}^{n-1}}
는 다음과 같은 아이디얼 로 정의되는 부분 대수다양체이다. 이는 준사영 대수다양체
A
K
n
×
P
K
n
−
1
⊊
P
K
2
n
−
1
{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{n}\times \mathbb {P} _{K}^{n-1}\subsetneq \mathbb {P} _{K}^{2n-1}}
의 닫힌 부분 대수다양체이므로,
K
{\displaystyle K}
에 대한 준사영 대수다양체이다.
Bl
0
A
n
=
{
(
x
1
,
…
,
x
n
,
y
1
,
…
,
y
n
)
|
x
i
y
j
=
x
j
y
i
∀
i
,
j
=
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \operatorname {Bl} _{0}\mathbb {A} ^{n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n})|x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}\forall i,j=1,\dots ,n\}}
.
물론 다음과 같은 자연스러운 사영 사상이 존재한다.
π
:
Bl
0
A
n
→
A
n
{\displaystyle \pi \colon \operatorname {Bl} _{0}\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{n}}
(
x
1
,
…
,
x
n
,
y
1
,
…
,
y
n
)
↦
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n})\mapsto (x_{1},\dots ,x_{n})}
.
이 사상은 체가 복소수 일 경우 정칙사상(regular map)이다.
이 사상의 올은 다음 두 가지 경우가 있다.
원점이 아닌 점 위의 올: 이 경우 올의 유일한 점은
[
y
1
:
⋯
:
y
n
]
=
[
x
1
:
⋯
:
x
n
]
{\displaystyle [y_{1}:\dotsb :y_{n}]=[x_{1}:\dotsb :x_{n}]}
이다. 즉, 올은 한원소 공간 이다.
증명:
이 경우
x
k
≠
0
{\displaystyle x_{k}\neq 0}
인
k
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle k\in \{1,\dotsc ,n\}}
가 존재한다. 그렇다면 임의의
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}}
에 대하여
y
i
=
x
i
x
k
y
k
{\displaystyle y_{i}={\frac {x_{i}}{x_{k}}}y_{k}}
이다. 즉,
y
k
{\displaystyle y_{k}}
에 의하여 모든
y
{\displaystyle y}
들이 결정된다. 사영 공간의 동차 좌표는 모두 0일 수 없으므로,
y
k
≠
0
{\displaystyle y_{k}\neq 0}
이다. 그렇다면 임의로
y
k
=
x
k
{\displaystyle y_{k}=x_{k}}
로 놓을 수 있으며, 그렇다면
y
i
=
x
i
{\displaystyle y_{i}=x_{i}}
이다.
원점 위의 올: 이 경우 올은 (자명하게)
{
0
}
×
P
K
n
−
1
{\displaystyle \{0\}\times \mathbb {P} _{K}^{n-1}}
이다.
이 사상은 쌍유리 사상 이며, 구체적으로 원점을 제외하면 대수다양체의 동형 사상 이다.
0
∈
A
n
{\displaystyle 0\in \mathbb {A} ^{n}}
에서는
E
=
π
−
1
(
0
)
≅
P
n
−
1
{\displaystyle E=\pi ^{-1}(0)\cong \mathbb {P} ^{n-1}}
이다. 즉,
Bl
0
A
n
{\displaystyle \operatorname {Bl} _{0}\mathbb {A} ^{n}}
은
A
n
{\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}
에서 원점만을 사영 공간
P
n
−
1
{\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}
로 대체하여 얻는 공간이며, 예외 인자는 이 사영 공간이다.
마찬가지로, 아핀 공간 속의 임의의 아핀 대수다양체 역시 위와 같이 부풀려질 수 있다. 구체적으로, 아핀 공간 속의 부분 대수다양체
V
⊆
A
n
{\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}
의 원점에서의 부풀리기는 사영 사상
π
:
Bl
0
A
n
→
A
n
{\displaystyle \pi \colon \operatorname {Bl} _{0}\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{n}}
아래, 부풀리기를 한 점을 제외한 나머지의 원상
π
−
1
(
V
∖
{
0
}
)
{\displaystyle \pi ^{-1}(V\setminus \{0\})}
의 자리스키 폐포이다.
아핀 스킴
Spec
R
{\displaystyle \operatorname {Spec} R}
을 생각하자. 이 경우, 그 위의 준연접 아이디얼 층 은 아이디얼
i
⊆
R
{\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq R}
이다. 이 경우, 상대 사영 스펙트럼은 다음과 같은 가환 등급환 의 사영 스펙트럼 이다.
B
=
⨁
n
=
0
∞
i
n
=
R
⊕
i
⊕
i
2
⊕
⋯
=
R
[
t
i
]
⊆
R
[
t
]
(
deg
t
=
1
)
{\displaystyle B=\bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathfrak {i}}^{n}=R\oplus {\mathfrak {i}}\oplus {\mathfrak {i}}^{2}\oplus \dotsb =R[t{\mathfrak {i}}]\subseteq R[t]\qquad (\deg t=1)}
만약
Spec
R
{\displaystyle \operatorname {Spec} R}
가 추가로 뇌터 스킴 이라면, 그 위의 연접 아이디얼 층 은 유한 생성 아이디얼
i
=
(
r
1
,
…
,
r
n
)
⊆
R
{\displaystyle {\mathfrak {i}}=(r_{1},\dotsc ,r_{n})\subseteq R}
이며, 이 경우 부풀리기를 정의하는 가환 등급환 은 다음과 같다.
B
=
R
[
r
1
t
,
r
2
t
,
…
,
r
n
t
]
⊆
R
[
t
]
(
deg
t
=
1
)
{\displaystyle B=R[r_{1}t,r_{2}t,\dotsc ,r_{n}t]\subseteq R[t]\qquad (\deg t=1)}
특히, 만약
i
=
0
{\displaystyle {\mathfrak {i}}=0}
(영 아이디얼 )인 경우,
B
=
R
{\displaystyle B=R}
이다. 반대로,
i
=
(
1
)
=
R
{\displaystyle {\mathfrak {i}}=(1)=R}
인 경우,
B
=
R
[
t
]
{\displaystyle B=R[t]}
이다.
스킴
X
{\displaystyle X}
를 공집합 에서 부풀린다면, 이는
X
{\displaystyle X}
와 같다. 이에 대응하는 준연접 아이디얼 층 은
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
이다. 구체적으로
P
r
o
j
_
X
O
X
[
t
]
=
P
X
(
O
X
)
=
X
{\displaystyle \operatorname {\underline {Proj}} _{X}{\mathcal {O}}_{X}[t]=\mathbb {P} _{X}({\mathcal {O}}_{X})=X}
이다. 보다 일반적으로, 스킴을 (
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
등의) 가역층 에서 부풀린다면, 원래 스킴을 얻는다. 이 사실은 부풀리기의 보편 성질 에 의하여 자동적으로 성립한다.
스킴
X
{\displaystyle X}
를
X
{\displaystyle X}
전체에서 부풀린다면, 이는 공집합 이다. 이에 대응하는 준연접 아이디얼 층 은 0이다. 구체적으로
P
r
o
j
_
X
(
O
X
⊕
0
⊕
0
⊕
⋯
)
=
P
r
o
j
_
X
O
X
=
P
X
(
0
)
=
∅
{\displaystyle \operatorname {\underline {Proj}} _{X}({\mathcal {O}}_{X}\oplus 0\oplus 0\oplus \dotsb )=\operatorname {\underline {Proj}} _{X}{\mathcal {O}}_{X}=\mathbb {P} _{X}(0)=\varnothing }
이다.
부풀리기는 대수다양체 의 내재적인 변환이다. 역사적으로 이 구성은 ‘모노이드 변환’(영어 : monoidal transformation ) 또는 ‘시그마 과정’(영어 : σ-process ) 따위로 불렸으며, 외재적으로 (즉, 사영 공간 속으로의 구체적 매장을 통하여) 정의되었지만, 사실 이 구성은 대수다양체의 사영 공간 이나 아핀 공간 으로의 매장에 의존하지 않는다.
부풀리기에 대하여 헤르비히 하우저(독일어 : Herwig Hauser )는 다음과 같이 적었다.
“
“그 당시 수학자들은 특이점의 해소를 위하여 부풀리기 따위의 서투른 방법을 사용하였다.”라고 21세기 후반의 한 수학자 J.H.Φ. 라이히트는 언젠가 적을 수 있을지 모른다. 그러나 우리 시대에는 여전히 해소를 위하여 주로 부풀리기를 사용한다.
“At that time, blowups were the poor man’s tool to resolve singularities. ” This phrase of the late 21st century mathematician J.H.Φ. Leicht could become correct. In our days, however, blowups are still the main device for resolution purposes.
”