리 군론에서 극대 원환면({極大圓環面, 영어: maximal torus 맥시멀 토러스[*])은 어떤 콤팩트 리 군 속의 연결 콤팩트 닫힌 아벨 부분군 가운데 극대 원소인 것이다.
가 연결 콤팩트 리 군이라고 하자.
속의, 원환면
과 미분 동형인 닫힌 부분군
![{\displaystyle T\subseteq G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e1a18be292edceb145cdf85ee6afb495f6f2aa8)
들의 집합을 생각하자. 이들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 극대 원소를
의 극대 원환면이라고 한다.
연결 콤팩트 리 군
및 그 극대 원환면이 주어졌을 때, 모든 원소
는 (임의의) 극대 원환면
의 원소와 켤레 동치이다. 즉, 항상
가 되는
를 찾을 수 있다.
증명:
임의의
에 대하여,
가 되는
를 찾아야 한다. 이러한
는
![{\displaystyle gx\in xT}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccfbdbad7446e909407d375ba07897feb7cd868f)
이므로,
위의
의 왼쪽 군 작용의 고정점을 이룬다.
가 부분군이므로, 반대로
의 모든 고정점
은 이러한
에 대응한다.
가 콤팩트 공간이므로, 렙셰츠 고정점 정리를 사용하여,
의 작용의 렙셰츠 수가 0이 아님을 보이면 족하다. 렙셰츠 수는 호모토피류에 대하여 불변량이다.
가 경로 연결 공간이므로,
의 작용은
의 작용(즉, 항등 함수)과 호모토픽하며, 항등 함수의 렙셰츠 수는 오일러 지표와 같다. 즉,
의 오일러 지표
가 0이 아님을 보이면 족하다.
이를 계산하기 위하여, 원소
가운데,
로 생성되는 부분군
가
의 조밀 집합을 이루는 것을 고르자. (
가 원환면이므로, 이는 항상 가능하며, 거의 모든
에 대하여 이러한 성질이 성립한다.) 그렇다면,
의 작용의 고정점은
의 정규화 부분군
의 원소이다. 즉,
위의 고정점의 집합은
이다.
가 극대 원환면이라면, 이는 유한 집합이다. 그 모든 원소들은 서로 켤레이므로, 같은 지표를 갖는다. 따라서, 고정점
의 지표가 0이 아님을 보이면 족하다. 이는 1임을 쉽게 확인할 수 있다. 즉,
이며, 모든
에 대하여
인
가 존재한다.
존재와 유일성[편집]
모든 연결 콤팩트 리 군은 하나 이상의 극대 원환면을 갖는다. 극대 원환면은 일반적으로 유일하지 않지만, 연결 콤팩트 리 군
의 모든 극대 원환면들은 서로 켤레 동치이다.
증명:
임의의 두 극대 원환면
![{\displaystyle T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0)
,
![{\displaystyle T'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b32d735f4fbb6eff3b35ed3dc1005a069d0b2e5)
이 주어졌으며,
![{\displaystyle t\in T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4fe93f70df3818ecca67c2ca44f087483951856)
및
![{\displaystyle t'\in T'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acb924d1886b888c52914aa788db1751346c486d)
에 대하여,
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
로 생성되는 부분군이
![{\displaystyle T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0)
의
조밀 집합이며,
![{\displaystyle t'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69b623f18f6b111645f0ec200b3271729fa99af)
도
![{\displaystyle T'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b32d735f4fbb6eff3b35ed3dc1005a069d0b2e5)
에 대하여 마찬가지라고 하자. 그렇다면, 항상
![{\displaystyle gtg^{-1}=t'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ac57e9bffc4e5d0dbe494a2699b347aeaeb5ab)
인
![{\displaystyle g\in G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62)
를 찾을 수 있으므로,
![{\displaystyle gTg^{-1}=T'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11952281ec71c4a40f83ccf9ac5ac5bd2986ecec)
가 된다.
즉, 연결 콤팩트 리 군
의 경우 바일 군이 유일하게 정의된다.
단순 리 군과 단순 리 대수는 근계에 의하여 분류된다. 이 경우, 리 군/대수의 바일 군은 그 근계의 바일 군과 일치한다.
연결 콤팩트 리 군
의 극대 원환면의 차원은
의 계수와 같다. 즉, 그 리 대수
를 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합
![{\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)={\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f144a3cc52bd0218b9b2ca684502224eb43b0c0f)
으로 분해하였을 때,
의 차원은
의 차원과
의 딘킨 도표의 꼭짓점의 수의 합과 같다.
![{\displaystyle \dim T=\dim {\mathfrak {a}}\oplus |\operatorname {V} (\operatorname {Dynkin} ({\mathfrak {s}}))|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469e67a51c1dd9e6c83dfa8e9b45c4f8b7bda27f)
바일 군의 작용[편집]
연결 콤팩트 리 군
의 극대 원환면
가 주어졌을 때, 그 바일 군
![{\displaystyle \operatorname {Weyl} (G,T)=\operatorname {N} _{G}(T)/\operatorname {C} _{G}(T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a440f8e8c3a1a727d89cc5d576a5b4c5e99ad35)
은
위에 자연스럽게 작용한다. 이에 대한 몫공간
![{\displaystyle T/\operatorname {Weyl} (G/T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081d23fb7a59efddc98ff4a31ebdefaf6fe0b3f4)
은
의 켤레류의 공간과 동형이다.
유니터리 군
의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같이 대각 행렬로 구성되는 부분군이다.
![{\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (\exp(\mathrm {i} \theta _{1}),\exp(\mathrm {i} \theta _{2}),\dotsc ,\exp(\mathrm {i} \theta _{n}))\colon \theta _{1},\theta _{2},\dotsc ,\theta _{n}\in \mathbb {R} \right\}\leq \operatorname {U} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ddd0db3311918bcd62bf00bb0e49fff482fb52)
특수 유니터리 군
의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같이 대각 행렬로 구성되는 부분군이다.
![{\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (\exp(\mathrm {i} \theta _{1}),\exp(\mathrm {i} \theta _{2}),\dotsc ,\exp(\mathrm {i} \theta _{n-1}),\exp(-\mathrm {i} (\theta _{1}+\theta _{2}+\dotsb +\theta _{n-1}))\colon \theta _{1},\theta _{2},\dotsc ,\theta _{n-1}\in \mathbb {R} \right\}\leq \operatorname {SU} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d8ac483dd2fe05676e688ad0b6e1f013c3f096)
특수 직교군
의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같다.
![{\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (R(\theta _{1}),R(\theta _{2}),\dotsc ,R(\theta _{n}))\colon \theta _{1},\dotsc ,\theta _{n}\in \mathbb {R} \right\}\leq \operatorname {SO} (2n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebda32fd22123070498d3478a2803ca6756b405a)
여기서
![{\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0dcb37d09e2613d5bd53c71dfe056504af742ef)
이다. 특수 직교군
의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같다.
![{\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (R(\theta _{1}),R(\theta _{2}),\dotsc ,R(\theta _{n}),0_{1\times 1})\colon \theta _{1},\dotsc ,\theta _{n}\in \mathbb {R} \right\}\leq \operatorname {SO} (2n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c10936e3b5b765b5d220dc92ab6d96ec7df6049)
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
- Humphreys, James E. 《Introduction to Lie Algebras and Representation Theory》 (영어).
외부 링크[편집]