리 군론에서 8차원 회전군(八次元回轉群, 영어: eight-dimensional rotation group)은 8차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(8) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 삼중성(영어: triality)이라는 특별한 대칭을 갖는다.
8차원 회전군은 8차원 실수 계수 직교군
이다. 그 딘킨 도표는
![{\displaystyle \bullet -\bullet {\big \langle }{\textstyle \bullet \atop \textstyle \bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12922c222459a78c401ff549d0fedf486d45fcd5)
이다. 이 그래프는 중심 밖의 꼭짓점의 순열에 대하여 3차 대칭군
대칭을 갖는데, 이를 삼중성(영어: triality)이라고 한다. 삼중성을 갖는 연결 딘킨 도표는 이것이 유일하다.
그 복소수 리 대수
은 5개의 실수 형태를 갖는다. 이에 대응하는 리 군들은 다음이 있다.
킬링 형식의 부호수 |
기호 |
직교군 기호 |
사타케 도표 |
보건 도표 |
비고
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(0,28) |
|
Spin(8) |
![{\displaystyle \bullet -\bullet {\big \langle }{\textstyle \bullet \atop \textstyle \bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12922c222459a78c401ff549d0fedf486d45fcd5) |
![{\displaystyle \circ -\circ {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9aa34fa76909f12689d472113e26a4e6ba2d1d) |
콤팩트 형태
|
(7,21) |
D₄Ⅱ |
Spin(1,7) |
![{\displaystyle \circ -\bullet {\big \langle }{\textstyle \bullet \atop \textstyle \bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82431ba53e57534a77175c1bd77ba24ce8fc094b) |
|
(12,16) |
D₄Ⅱ, D₄Ⅲ |
SO*(8)=SO(2,6) |
![{\displaystyle \circ -\circ {\big \langle }{\textstyle \bullet \atop \textstyle \bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c135a40e9b0277f7e471bef58db98ac3de9c49c) |
|
(15,13) |
D₄Ⅱ |
Spin(3,5) |
![{\displaystyle \circ -\circ {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf4344c1b35837e25ab1bbb5ced4ca2c3338804) |
|
(16,12) |
D₄Ⅰ |
Spin(4,4) |
![{\displaystyle \circ -\circ {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9aa34fa76909f12689d472113e26a4e6ba2d1d) |
![{\displaystyle \circ -\bullet {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11070406e88de91aff117d2057d45e9a4119093b) |
분할 형태
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콤팩트 형태[편집]
Spin(8)의 최소 스피너는 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 8차원 벡터 표현과 같은 크기이며, 삼중성은 이 세 표현 위에 작용한다.
Spin(8)의 군의 중심은 클라인 4원군
![{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (8))\cong \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b2273cc0895a2a6e7d11a83ec4577379e7c0fa7)
이며, 이는 유한체
위의 2차원 벡터 공간
의 벡터들의 덧셈군으로 여겨질 수 있다. 이 군의 자기 동형군은
![{\displaystyle \operatorname {Aut} \left(\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (8))\right)\cong \operatorname {GL} (2;\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99291736bd61359861af065c6041f2ea422afbea)
이다. 구체적으로,
는 영벡터가 아닌 세 개의 벡터 (0,1), (1,0), (1,1)을 갖는데, 자기 동형군은 이 위의 순열로서 작용한다.
특수 직교군
에서, 이 중심군은
로 깨지며, 이에 따라 삼중성 역시 깨지게 된다. 이는 스피너가 특수 직교군의 표현을 이루지 못함에 대응한다.
물론, 모든 중심을 몫군을 취해 없애 사영 특수 직교군
을 취하면, 다시 삼중성이 존재하게 된다. 이는 벡터 표현 또한 사영 특수 직교군의 표현을 이루지 못함에 대응한다.
분할 형태[편집]
의 군의 중심은
이며, 위상수학적으로 그 호모토피 유형은
이므로, 그 기본군은
이다. 다시 말해,
의 범피복군의 군의 중심은
![{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)\cong \mathbb {F} _{2}^{\oplus 3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8157819000c8692872e75ad91894ab8a98c42ea1)
이다. 그 자기 동형군은 크기 168의 유한 단순군
![{\displaystyle \operatorname {GL} (3;\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{7})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2345704d3dee0de8597204edd9b80a58583b3abe)
이며, 삼중성은 그 위에 작용한다.
Spin(4,4)의 최소 스피너는 8차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 삼중성은 이 두 스피너와 8차원 벡터 표현 위에 작용한다.
SO(3,5)[편집]
Spin(3,5)의 최소 스피너는 복소수 8차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 실수 16차원 마요라나 스피너이다.
의 범피복군의 군의 중심은 마찬가지로
이다.
SO(2,6) = SO*(8)[편집]
실수 리 대수
은
과 일치한다. 이에 대응하는 리 군의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 (1,5)차원 민코프스키 공간의 등각군으로 해석될 수 있다.
동형 사상
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,6)\cong {\mathfrak {o}}^{*}(8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db223cb90623c7597d25eab842cd7207a9207b0)
은 6차원 회전군의 동형 사상
![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(1,3)\cong {\mathfrak {o}}^{*}(6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9afa30e2a44a11d3e88308ea7ae5dfec20f1264)
을 확장시킨다.
로런츠 형태 SO(1,7)[편집]
실수 리 대수
은 실수 16차원 마요라나 스피너 및 복소수 8차원 바일 스피너를 갖는다. 이는 6차원 유클리드 공간의 등각군으로 해석될 수 있다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
- Adams, John Frank (1981). 〈Spin(8), Triality, F4 and all that〉. Hawking, Stephen; Roček, Martin. 《Superspace and supergravity》 (영어). Cambridge University Press. 435–445쪽.
외부 링크[편집]