H-공간(H-space)과 쌍대 H-공간(co-H-space)은 위상 공간으로부터 정의된 대수 구조이다.
위상 공간
가 주어졌을 때, H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 연속 함수
![{\displaystyle \mu \colon X\times X\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82bfd12e8ccac8a61de6dc0bb41d714d8258c163)
- 항등원
: 모든
에 대해
와
가 모두 항등 함수
와 호모토피 동치가 되게 한다.
H-공간은 항등원이 있는 마그마이지만 일반적으로 역원이 존재하지 않고 결합 법칙이 성립하지 않는다. 만약 군의 공리를 만족하는 경우 H-군(H-group)이라 부른다.
쌍대 H-공간[편집]
쌍대 H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 연속 함수
![{\displaystyle \mu \colon X\to X\vee X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a378b3bf8a37d44dd07ee2c02cd3d6a3dc7c4ba)
- 항등원
![{\displaystyle e\in X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fabe9e0f635ccdf836fff2e15a6090a09e9c5653)
예와 성질[편집]
위상군[편집]
위상군
와 그 연산
는 그 자체로 H-군을 이룬다.
초구의 경우 H-공간이 되는 것은
,
,
,
밖에 없다.
을 제외한 나머지 3개는 모두 H-군이며 리 군을 이룬다.
일 경우 초구
에 다음과 같은 CW 복합체 구조를 줄 수 있다:
- 0차원 세포 1개
. 이는
의 적도 위의 한 점이다.
차원 세포 1개. 즉,
차원 뼈대는 초구
이다. 이는
의 적도에 해당한다.
차원 세포 2개. 이들은 각각
의 북반구와 남반구에 대응한다.
적도에 있는
차원 세포
에 대한 몫공간
을 취하면 두 초구의 쐐기합을 얻는다.
![{\displaystyle w_{n}\colon \mathbb {S} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{n}/\mathbb {S} ^{n-1}\cong \mathbb {S} ^{n}\vee \mathbb {S} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da8358603a2e255bcc83ea8e9781f4f0dabfe7c)
이 몫공간 함수
을 연산자로 삼아서
위의 쌍대 H-공간을 정의할 수 있다.
현수 공간과 고리 공간[편집]
일반적으로 임의의 점을 가진 공간
에 대하여 그 축소 현수
는 쌍대 H-공간을 이룬다.
위에서 연산을 다음과 같이 정의한다.
![{\displaystyle (\operatorname {id} _{X}\wedge w_{1})\colon X\wedge \mathbb {S} ^{1}\to X\wedge (\mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1})\cong (X\wedge \mathbb {S} ^{1})\vee (X\wedge \mathbb {S} ^{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56c164d513435a1c87fde2910372eae9b166551)
여기서
는 분쇄곱,
는 쐐기합이고,
은 위 초구의 쌍대 H-공간에서 정의한 연산이다. 초구의 경우
이므로, 초구의 쌍대 H-공간 구조는 현수의 쌍대 H-공간 구조의 특수한 경우이다.
거꾸로 고리 공간
는 H-공간을 이룬다. 구체적으로,
위의 곱셈은 다음과 같다.
![{\displaystyle m\colon (\gamma ,\gamma ')\mapsto (\gamma \vee \gamma ')\circ w_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f7af02cb277e566a1c0a6c6a0addd2ec1f72756)
여기서
![{\displaystyle \gamma ,\gamma '\colon \mathbb {S} ^{1}\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62bd8095b123fedaaa2a46f88fac806eb3de367e)
![{\displaystyle \gamma \vee \gamma '\colon \mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1}\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2676205e13984715eecf5a38afdc713a8f69b144)
![{\displaystyle w_{1}\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d757ef2c293bf8d56f5f23459f4b285f24f4b4f)
이다.
에일렌베르크-매클레인 공간과 피터슨 공간[편집]
아벨 군
및 자연수
에 대하여, 에일렌베르크-매클레인 공간
는 다른 공간의 고리 공간이다.
![{\displaystyle K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac30e29071a0e81f45140e1daeae86ac73427efe)
그러므로 에일렌베르크-매클레인 공간
은 H-공간을 이룬다.
마찬가지로 유한 생성 아벨 군
및
의 경우 피터슨 공간
는 다른 공간의 축소 현수 공간이다.
![{\displaystyle P(G,n)\simeq \Sigma P(G,n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c19c7d48651684dbf6d5cc417df537ae138268)
그러므로 피터슨 공간
은 쌍대 H-공간을 이룬다.
호모토피류의 연산[편집]
호모토피 군은 초구에서 공간
으로 가는 호모토피류
로, 그 위에서의 연산은 호모토피 합성함수
에 의해 정의된다:
![{\displaystyle [f]\cdot [g]\colon x\mapsto (f\vee g)(h(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee0a6a12f7823d9cdb9848a5ead32bcc90c738ee)
일반적으로, 쌍대 H-공간
에서 공간
로 가는 호모토피류
위의 이항 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.
![{\displaystyle [f]\cdot [g]\colon x\mapsto (f\vee g)(\mu (x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/296c54b8ed1db714f61fd842adb3389eee9129a1)
거꾸로 공간
에서 H-공간
로 가는 호모토피류의 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.
![{\displaystyle [f]\cdot [g]\colon x\mapsto \mu (f(x),g(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5386373713b90c23a3bad401cc0436fe116c722)
위에서 만약 각각이 (쌍대) H-군의 구조를 가질 경우
은 군의 구조를 가진다.
에크만-힐튼 쌍대성에 의해 축소 현수
와 고리 공간
는 서로 수반 함자를 이루므로, 이에 의한 호모토피류의 군 구조도 서로 일치한다:
![{\displaystyle [X,\Omega Y]_{\bullet }\cong [\Sigma X,Y]_{\bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c221ae650753070cc0216dfb73440b97e48064b)
특히,
이므로 호모토피 군에 대해
가 성립한다.
장피에르 세르가 하인츠 호프의 이론에 영향을 받아 만들었고, 호프의 이름의 머리글자인 H를 붙였다.[1]
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
- ↑ J. R. Hubbuck. "A Short History of H-spaces", History of topology, 1999, pages 747–755.