폰트랴긴 특성류
위상수학에서, 폰트랴긴 특성류(Понтрягин特性類, 영어: Pontryagin class)는 실수 벡터다발의 특성류의 하나다. 그 복소화의 천 특성류로 정의할 수 있다.
정의[편집]
가 매끄러운 다양체 위의 실수 벡터다발이라고 하자. 에 임의로 틀다발(필바인)을 잡아, 곡률 를 정의할 수 있다. 이는 리 대수 의 값을 갖는 2차 미분형식이다.
그렇다면 다음과 같은 생성 함수를 생각할 수 있다.
- .
우변에서 가 홀수인 항들은 의 반대칭성에 의하여 사라진다. 는 미분형식으로 간주하면 의 틀다발에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지는 천-베유 이론(Chern–Weil theory)에 따라서 틀다발에 의존하지 않는다는 사실을 보일 수 있다. 즉, 코호몰로지 원소 는 실수 벡터 다발 의 위상수학적 불변량이다. 이를 차 폰트랴긴 특성류라고 한다.
총 폰트랴긴 특성류(total Pontryagin class) 는 모든 차수들의 폰트랴긴 특성류의 합이다. 즉 이다.
낮은 차수의 폰트랴긴 특성류[편집]
낮은 차수의 폰트랴긴 특성류는 다음과 같다.
성질[편집]
서로 위상 동형인 다양체는 같은 유리수 폰트랴긴 특성류를 갖는다.[1] 즉, 폰트랴긴 특성류는 매끄러움 구조에 의존하지 않는다.
천 특성류와의 관계[편집]
폰트랴긴 특성류는 실수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이고, 천 특성류는 복소수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이다. 실수 벡터 다발 의 폰트랴긴 특성류는 그 다발의 복소화 의 천 특성류로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
- .
천 특성류 는 차 코호몰로지 원소이므로, 폰트랴긴 특성류 는 차 코호몰로지 원소이다. (의 홀수차 천 특성류는 슈티펠-휘트니 특성류으로 나타낼 수 있다.)
역사[편집]
러시아의 수학자 레프 폰트랴긴이 1940년대에 정의하였다. 세르게이 페트로비치 노비코프가 1966년에 폰트랴긴 특성류가 위상수학적 불변량이라는 사실을 증명하였다.[1]
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
- ↑ 가 나 Новиков, С. П. (1966). “О многообразиях со свободной абелевой фундаментальной группой и их применениях (классы Понтрягина, гладкости, многомерные узлы)”. 《Известия Академии наук СССР. Отделение математических и естественных наук. Серия математическая》 (러시아어) 30 (1): 207–246. MR 196765. Zbl 0199.58202.
- Milnor, John Willard; Stasheff, James Dillon (1974). 《Characteristic classes》. Annals of Mathematics Studies (영어) 76. Princeton University Press. ISBN 978-069108122-9.
- Hatcher, Allen (2009년 5월). 《Vector bundles and K-Theory》 2.1판.