폰트랴긴 특성류

위상수학에서, 폰트랴긴 특성류(Понтрягин特性類, 영어: Pontryagin class)는 실수 벡터다발의 특성류의 하나다. 그 복소화의 천 특성류로 정의할 수 있다.

정의

$E$가 매끄러운 다양체 $M$ 위의 실수 벡터다발이라고 하자. $E$에 임의로 틀다발(필바인)을 잡아, 곡률 $F$를 정의할 수 있다. 이는 리 대수 ${\mathfrak {so}}(\dim E)$의 값을 갖는 2차 미분형식이다.

그렇다면 다음과 같은 생성 함수를 생각할 수 있다.

$\det(I+tF/2\pi )=\sum _{k=0}^{\infty }t^{2k}p_{k}(E)$.

우변에서 $k$가 홀수인 항들은 $F$의 반대칭성에 의하여 사라진다. $p_{k}$는 미분형식으로 간주하면 $E$의 틀다발에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지는 천-베유 이론(Chern–Weil theory)에 따라서 틀다발에 의존하지 않는다는 사실을 보일 수 있다. 즉, 코호몰로지 원소 $p_{k}\in H^{4k}(M,\mathbb {Q} )$는 실수 벡터 다발 $E$의 위상수학적 불변량이다. 이를 $k$차 폰트랴긴 특성류라고 한다.

총 폰트랴긴 특성류(total Pontryagin class) $p$는 모든 차수들의 폰트랴긴 특성류의 합이다. 즉 $p=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}(E)=\det(I+F/2\pi )\in H^{\bullet }(M,\mathbb {Q} )$ 이다.

낮은 차수의 폰트랴긴 특성류

낮은 차수의 폰트랴긴 특성류는 다음과 같다.

$p_{0}=1$

$p_{1}=-{\frac {1}{2(2\pi )^{2}}}\operatorname {tr} F^{2}$

$p_{2}={\frac {1}{8(2\pi )^{4}}}\left((\operatorname {tr} F^{2})^{2}-2\operatorname {tr} F^{4}\right)$

성질

서로 위상 동형인 다양체는 같은 유리수 폰트랴긴 특성류를 갖는다. 즉, 폰트랴긴 특성류는 매끄러움 구조에 의존하지 않는다.

천 특성류와의 관계

폰트랴긴 특성류는 실수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이고, 천 특성류는 복소수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이다. 실수 벡터 다발 $E$의 폰트랴긴 특성류는 그 다발의 복소화 $E\otimes \mathbb {C}$의 천 특성류로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$p_{k}(E)=(-)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M,\mathbb {Q} )$.

천 특성류 $c_{k}$는 $2k$차 코호몰로지 원소이므로, 폰트랴긴 특성류 $p_{k}$는 $4k$차 코호몰로지 원소이다. ($E\otimes \mathbb {C}$의 홀수차 천 특성류는 슈티펠-휘트니 특성류으로 나타낼 수 있다.)

역사

러시아의 수학자 레프 폰트랴긴이 1940년대에 정의하였다. 세르게이 페트로비치 노비코프가 1966년에 폰트랴긴 특성류가 위상수학적 불변량이라는 사실을 증명하였다.

같이 보기

• 천-사이먼스 형식

참고 문헌

• Milnor, John Willard; Stasheff, James Dillon (1974). 《Characteristic classes》. Annals of Mathematics Studies (영어) 76. Princeton University Press. ISBN 978-069108122-9. 
• Hatcher, Allen (2009년 5월). 《Vector bundles and K-Theory》 2.1판.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)