대수적 위상수학에서 특이 호몰로지(特異homology, 영어: singular homology 싱귤러 호몰로지[*])는 단체를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다.
가 위상 공간이며,
가 (1을 갖는) 환이라고 하자. 그렇다면,
의,
계수의 특이 호몰로지는 다음과 같이 정의된다.
차원 표준 단체(標準單體, 영어: standard simplex)
은 다음과 같다.
.
이는 선분과 삼각형, 사면체를 일반화한 것이다.
위의
차원 특이 단체(特異單體, 영어: singular complex)는 연속 함수
![{\displaystyle \sigma _{n}\colon \Delta ^{n}\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4487537ad3f11b0eb2064b26320e96415aca31a8)
를 뜻한다.
위의,
계수의
차원 사슬(영어: chain)은 모든
차원 특이 단체로 의하여 생성되는,
위의 왼쪽 자유 가군의 원소다. 이 자유 가군을
라고 쓰자. (만약
일 경우, 이는 자유 아벨 군이 된다.)
표준 단체
의 꼭짓점들을
이라고 하자. 표준 단체
의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은
개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어
![{\displaystyle [p_{0},p_{2},\dots ,p_{k-1},p_{k+1},\dots ,p_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930923ee0d5933bbc4605243260993e07fe51809)
의 꼴이다. 이를 편의상
![{\displaystyle [p_{0},p_{1},\dots ,p_{k-1},{\hat {p}}_{k},p_{k+1},\dots ,p_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d59db5b13ed35126a84c40059b697bc5b38e47eb)
로 쓰자.
차원 특이 단체
의 경계(境界, 영어: boundary)
는 다음과 같다.
.
경계 연산자
는 특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉
이다. 이는
위의 가군의 가군 준동형을 이룬다. 또한,
는 항상 0이다. 따라서
은 사슬 복합체를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 호몰로지
![{\displaystyle \operatorname {H} _{n}(X)=\ker \partial _{n}/\operatorname {im} \partial _{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8bacb58c58835eb4cae65ed00492a64749020dd)
들을 특이 호몰로지라고 한다. 이는
위의 왼쪽 가군을 이룬다. (사슬 가군은 자유 가군이지만, 호몰로지는 일반적으로 자유 가군이 아니다.)
특이 코호몰로지[편집]
위의 공사슬(共-, 영어: cochain)은 가군 준동형
이다. 공사슬의 집합은 아벨 군을 이루며,
으로 쓴다. 공사슬의 공경계(共境界, 영어: coboundary)
은 다음과 같다.
.
은 공사슬 복합체를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 코호몰로지
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(X)=\ker \delta _{n}/\operatorname {im} \delta _{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ba5cdf123ef488e6c5366cafc5d3444050c7a9)
들을 특이 코호몰로지(영어: singular cohomology)라고 한다.
가 체라면, 보편 계수 정리에 따라서 특이 코호몰로지는 특이 호몰로지의 대수적 쌍대 공간이다.
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;K)=\operatorname {H} _{\bullet }(X;K)^{*}=\hom _{K{\text{-Vect}}}(\operatorname {H} _{\bullet }(X;K),K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e1bfac3ee7136936b8b7d7cb74c943d82a8f31)
그러나 이는 (정수환을 포함한) 일반적인 환에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 특이 코호몰로지는 사슬을 쌍대화한 뒤 호몰로지를 취한 것이지, 호몰로지를 취한 뒤 쌍대화한 것이 아니다.
차원 초구
의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {H} _{k}(S^{n};R)={\begin{cases}R&k\in \{0,n\}\\0&k\not \in \{0,n\}\end{cases}}\qquad (n>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d2e925b632a84e5114fbc74d11a2f054ae4f24)
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(S^{n};R)={\begin{cases}R&k\in \{0,n\}\\0&k\not \in \{0,n\}\end{cases}}\qquad (n>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd03104d508953b73f81691f2bc180bc3f53724e)
![{\displaystyle \operatorname {H} _{k}(S^{0};R)={\begin{cases}R^{2}&k=0\\0&k\neq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914976ec4b32cca40d416051da517aab1673e841)
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(S^{0};R)={\begin{cases}R^{2}&k=0\\0&k\neq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea9c1f6fdbf87f611acd483d46ce5df1ae8f69c)
사영 공간[편집]
복소수 사영 공간
의 특이 호몰로지는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {H} _{k}(\mathbb {C} P^{n};R)={\begin{cases}R&2\mid q\leq 2n\\0&q\nmid q\lor q>2n\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46929201fd8c18da4a6617b1542d74b93782d43f)
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(\mathbb {C} P^{n};R)={\begin{cases}R&2\mid q\leq 2n\\0&q\nmid q\lor q>2n\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc8d30a0581233ed531300f61fa465530af41c7)
실수 사영 공간의 특이 호몰로지는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {H} _{k}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\lor 2\nmid i=n\\\mathbb {Z} /(2)&0<k<n,\;2\nmid k\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3658e1ef6193fb56747c01954beb3423218ecaa)
![{\displaystyle \operatorname {H} _{k}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {F} _{2})={\begin{cases}\mathbb {F} _{2}&k\leq n\\0&k\geq n\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2894205d1c8366b349d65fa7e7334ab693ffda)
![{\displaystyle \operatorname {H} _{k}(\mathbb {R} P^{n};K)={\begin{cases}K&k=0\lor 2\nmid i=n\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1781e469764885aff970878ab607e0e8a683c3)
여기서
는 표수가 2가 아닌 임의의 체이다.
원환면[편집]
차원 원환면
의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.
.
여기서
는 이항계수로,
인 경우 0으로 정의한다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]